Кучланиш ва дифференциаллар

2. ELASTIK NAZARIYASI ASOSIY TENGLAMALARI 
 
2 .1 . St a ti k t e n g la ma la r
1. Elastik jism ichki nuqtalarning muvozanat differensial tenglamalari 
(Nave tenglamalari): 
0










X
z
y
x
xz
xy
x



; 
0










Y
z
x
y
yz
yx
y



; 
(2.1) 
0










Z
y
x
z
zy
zx
z



. 
Bu yerda 
X, Y, Z
– birlik hajmga to‘g‘ri keluvchi hajmiy kuchlarning mos 
ravishda 
x
, 
y
, 
z
o‘qlaridagi proeksiyalari. 
2. Elastik jism sirtidagi nuqtalarning muvozanat tenglamalari: 
n
m
X
xz
xy
x








; 
n
yz
yx
m
y
Y








;
(2.2) 
m
n
Z
zy
zx
z








. 
Bu yerda 

X
, 

Y
, 

Z
– mos ravishda 
x
, 
y
, 
z
o‘qlariga parallel sirt kuchlari-
ga intensivligi. Ular musbat bo‘ladi, agar ularning yo‘nalishi koordinat 
o‘qlarining musbat yo‘nalishi bilam mos tushsa. 
l, m, n 
– sirt normalining 
yo‘naltiruvchi kosinuslari, bular (1.1) dan aniqlanadi. 
3. Urinma kuchlanishlarning juftligi qonuni: 

---

10 
yx
xy



;
zy
z
y



;
xz
zx



.
(2.3) 
(2.3) ni hisobga olsak (2.1) va (2.2) tenglamalarda noma’lumlar soni 
oltita: 
x

, 
y

, 
z

, 
xy

, 
yz

, 
zx

. Demak, fazoviy masalada nuqtada 
kuchlanganlik holati oltita kuchlanishlar orqali ifodalanadi. 
Masalani yechishda (2.1) va (2.2) tenglamalar hamma vaqt birga 
qo‘llaniladi. Bundan esa uchta muvozanat tenglamalari oltita noma’lum 
kuchlanishlardan iborat, bu holda masala statik aniqmas bo‘ladi. Masalani 
yechish uchun jismning geometrik o‘zgarishlarini ifodalovchi qo‘shimcha 
tenglamalar kerak bo‘ladi. 
2 .2 . G eo me t r i k t e n g la ma la r
1. Koshi tenglamalari: 
x
U
x




; 
y
V
y




; 
z
W
z




;
x
V
y
U
xy







; 
y
W
z
V
yz







; 
z
U
x
W
zx







. (2.4) 
Bu tenglamalar nuqtaning uchta noma’lum ko‘chishlari va shu nuqtadagi 
oltita noma’lum deformatsiyalarni, jami to‘qqizta noma’lumlarni o‘z 
ichiga olgan. 
2. Deformatsiyalarning birgalikda yoki uzviylik tenglamalari (Sen-
Venan tenglamalari): 
y
x
x
y
xy
y
x












2
2
2
2
2
; 
z
y
y
z
yz
z
y












2
2
2
2
2
; 
x
z
z
x
zx
x
z












2
2
2
2
2
; 
(2.5) 
z
x
y
x
z
y
y
zx
yz
xy
























2
2
; 
x
y
z
y
x
z
z
xy
zx
yz
























2
2
; 

---

11 
z
y
x
z
y
x
x
yz
xy
zx
























2
2
. 
Bu tenglamalarning fizik ma’nosi quyidagicha: Agar deformatsiyalar 
ifodasi (2.5) tenglamalarni qanoatlantirsa, bu deformatsiyagacha tutash 
bo‘lgan jism deformatsiyadan keyin ham tutash va uzluksizligicha qol-
ishini bildiradi. (2.4) formula bilan aniqlanuvchi deformatsiyalar hamma 
vaqt (2.5) tenglamalarni qanoatlantiradi, chunki (2.5) tenglamalar (2.4) 
formulalardan hosil qilingan. Deformatsiyalarni boshqa ko‘rinishda 
topishda ularning (2.5) tenglamalarni qanoatlantirishi ta’lab qilinadi. 
2 .3 . Fi zi k t e n g l a ma la r
Umumlashga Guk qonuni formulalar: 




z
y
x
x









1
;
G
xy
xy



; 




z
x
y
y









1
;
G
yz
yz



;
(2.6) 




y
x
z
z









1
;
G
zx
zx



. 
Bu yerda 

(kPa) – bo‘ylama elastiklik moduli. U chiziqli deformatsiya-
lanishlarda materialning elastiklik xossasini ifodalaydi; 
G
(kPa) – siljish 
moduli. Bu siljish deformatsiyasida materialning elastiklik xossasini ifoda-
laydi; 

- Puasson koeffitsienti. 
E va 

 
har bir material uchun tajriba yo‘li bilan aniqlanadi. 






1
2
G
.
(2.7) 
(2.6) tenglamalar elastik, bir jinsli izotrop jismda deformatsiya va 
kuchlanishlar orasida chiziqli bog‘lanishini ifodalaydi. 
Fizik tenglamalarni teskari shaklda, ya’ni kuchlanishlarni defor-
matsiyalar orqali ifodalash mumkin: 
x
x
G



2



:
xy
xy
G



; 
y
y
G



2



:
yz
yz
G



; (2.8) 

---

12 
z
z
G



2



:
zx
zx
G



, 
bu yerda
z
y
x







(2.9)
- nisbiy hajmiy deformatsiya; 







2
1
1




(2.10) 
- Lame koeffitsienti. 
 
2 .4 . M a s a la n i y e ch is h me t o di
Hisoblash uchun quydagilar berilishi kerak: 
1. Jismning geometrik o‘lchamlari.
2. Ta’sir qiluvchi kuchlar.
3. Mahkamlanish shartlari.
4. Material uchun 

, G, 

ning qiymatlari. 
Quydagilarni topish kerak: 
1. Oltita kuchlanishlar – 
x

, 
y

, 
z

, 
xy

, 
yz

, 
zx

. 
2. Oltita deformatsiyalar – 
x

, 
y

, 
z

, 
xy

, 
yz

, 
zx

. 
3. Uchta ko‘chishlar– 
U, V, W. 
Jami 15 ta noma’lum. 
Ularni aniqlash uchun quydagi tenglamalar mavjud:
1. Uchta Nave tenglamalari (2.2) munosabatlar bilan berilgan.
2. Oltita Koshi tenglamalari.
3. Oltita umumlashgan Guk qonuni formulalari. 
Jami 15 tenglama, endi matematik jihatdan masalani yechish mumkin. 
Bu noma’lumlardan qaysi birlarini birinchi navbatda aniqlash muhim. 
Shunga ko‘ra masalani yechish quydagicha guruhlarga ajratildi: 
1. Kuchlanishlarga nisbatan yechish, bunda asosiy noma’lumlar oltita 
kuchlanishlar bo‘ladi. 
2. Ko‘chishlarga nisbatan yechish, bunda asosiy noma’lumlar uchta 
ko‘chish vektori komponentalari bo‘ladi. 

---

13 
3. Aralash shaklda yechish, bunda asosiy noma’lumlarning bazilari 
ko‘chish va bazilari kuchlanishlar bo‘ladi. 
3. JISM NUQTASINING KUCHLANGANLIK HOLATI 
 
3.1. Bosh kuchlanishlarni hisoblash formulalari 
3.1-rasm 
Umumiy holda elastik 
jism ixtiyoriy nuqtasining 
kuchlanganlik holati 9 ta 
komponentalar 
bilan 
tavsiflanadi 
(3.1-rasm). 
Elastik jism elementining 
fazoviy 
oriyentasiyasida 
uning normal 
 

va urinma 
 

kuchlanishlari o‘zgaradi. 
Hamma vaqt shunday oriy-
entasiya mavjudki, bunda 
uning 
yoqlarida 
urinma 
kuchlanish bo‘lmaydi. 
Bunday element bosh element deb, qurilmalarning mustahkamligini 
aniqlovchi uning yoqlaridagi normal kuchlanishlar bosh kuchlanishlar deb 
yuritiladi. Yoqlar bosh yuzachalaga normal yo‘nalgan o‘qlar kuchlanish 
tenzorining bosh o‘qlari bo‘lib, ular boshlang‘ich koordinatalar 
sistemasidan bog‘liq emas. Ular 
3
2
1
,
,



kabi belgilanib, 
3
2
1





algebraik tengsizlikni qanoatlantirishi shart.
Elastik jism nuqtasining kuchlanganlik holati matematik nuqtai 
nazardan ushbu











z
y
x
T









zy
zx
yz
yx
xz
xy
(3.1)
kuchlanish tenzori bilan xarakterlanadi. 

---

14 

T
kuchlanish tenzori komponentalarining ma’lum qiymatlarida bosh 
kuchlanishlarni topish uchun ushbu 
0
z
y
x
















zy
zx
yz
yx
xz
xy
(3.2) 
yoki 
0
3
2
2
1
3




I
I
I



(3.3) 
kubik tenglamani yechish zarur, bunda tenglamaning koeffitsiyentlari 

3
2
1
,
,
I
I
I
kuchlanish tenzori invariantlari bo‘lib, ular quyidagi ifoda-
lardan topiladi: 
z
y
x
I






1
, 
x
zx
xz
z
z
zy
yz
y
y
yz
xy
x
I
















2
, 
2
z
2
y
2
x
z
y
x
z
y
x
3
2
zx
zx
yz
zx
yz
xy
zy
zx
yz
yx
xz
xy
I



























. (3.4) 
Agar 
0
3

I
bo‘lsa, jismning kuchlanganlik holati uch o‘qli yoki hajmiy; 
0
,
0
2
3


I
I
bo‘lsa, ikki o‘qli yoki yassi; 
0
,
0
,
0
1
2
3



I
I
I
bo‘lsa, bir 
o‘qli yoki chiziqli deb ataladi.
(3.1) tenglama hamma vaqt uchta yechimga ega bo‘lib, ular quyidagi 
munosabatlardan aniqlanadi: 
3
3
cos
3
2
1
1
I
p




;
3
3
3
cos
3
1
3
,
2
I
p






 





, 
(3.5) 
bu yerda 
3
2
2
1
1
3
2
2
1
3
2
3
;
3
2
cos
;
3
I
I
I
I
q
p
q
I
I
p



























. 
Kuchlanish tenzori invariantlari bosh kuchlanishlar orqali quyidagicha 
hisoblanadi: 
0
3
2
1
1
3








I
;
1
3
3
2
2
1
2










I
;
3
2
1
3




I
, 
bu yerda 
0

- o‘rtacha kuchlanish:

---

15 
3
3
3
2
1
0













z
y
x
.