Kvadratlanuvchi shaklllar va ularning asosiy xossalari

1. 
   Kvadratlanuvchi shaklllar va ularning asosiy xossalari.
   

Agae berilgan (S) tekis figuraning ichida yotuvchi {(An)} ko’pburchaklar ketma-ketligi va (S) tekis figurani o’z ichiga oluvchi {(Bn)} ko’pburchaklar ketma-ketligi mavjud bo’lib, ularning yuzlaridan tuzilgan {An} va {Bn} ketma-ketliklar umumiy limitga ega bo’lsa, bu limit (S) figuraning yuzi deyiladi. Yuzaga ega bo’lgan shakl kvadratlanuvchi shakl deb ataladi.

1. 
   (S) kvadratlanuvchi shakl bo’lsa son uchun (A) (S) (B) shartlarni qanoatlantiradigan shunday (A) va (B) ko’pburchaklar topiladiki, B-A< bo’ladi.
   
2. 
   (S) kvadratlanuvchi shakl nul yuzali egri chiziq bilan chagaralangan.
   

Tenglamasi y=f(x) ( yoki x=g(y) ko’rinishda bo’lgan har qanday uzliksiz egri chiziq nul yuzali bo’ladi.

2. 
   Ortogonal va ortonormal sistemalar. Trigonometrik sistemalar.
   

Agar [a,b] kesmada aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar uchun bo’lsa, f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] kesmada o’zaro ortogonal deyiladi.
Aytaylik, hadlari [a,b] kesmada uzliksiz bo’lgan yoki bo’lakli uzluksiz bo’lgan fn(x) funksional ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
Tarif. Agar {fn(x)} funksional ketma-ketlikning hadlari uchun tengliklar o’rinli bo’lsa, {fn(x)} funksiyalar sistemasi [a,b] kesmada ortogonal deyiladi. Masalan: 1, cos(x), sin(x), cosn(x), sinn(x) trigonometrik sistemalar ixtiyoriy [a,a+2 ] kesmada ortogonal bo’ladi.
Tarif. Ushbu son funksiyaning normasi deyiladi. Har bir hadining normasi 1 ga teng bo’lgan ortogonal sistema ortonormal sistema deyiladi.
Agar { } sistema [a,b] kesmada ortogonal bo’lsa, u holda sistema ham [a,b] kesmada ortogonal bo’

3. 
   1-tur egri chiziqli integrallar.
   

Agar da funksiyaning AB yoydagi integral yig’indi chekli limitga ega bo’lib, u AB yoyni bo’laklarga bo’lish usuliga va bo’lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasa, bu limit funksiydan AB yoyi uzunligi bo’yicha olingan birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Bu holda funksiya AB yoy bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Xossalari:

1. 
   Agar funksiya AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
   
2. 
   Agar va funksiyalarning har biri AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiyalar ham AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lib, ds tenglik o’rinli bo’ladi.
   
3. 
   (additivlik) Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo’lib, funksiya AC va CB yoylarning har birida integrallanuvchi bo’lsa, u holda u AB yoy bo’yicha ha integrallanuvchi bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
   
4. 
   Agar integral mavjud bo’lsa, u holda integral ham mavjud bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
   

4. 
   2-tur egri chiziqli integrallar.
   

Agar da , yig’indi funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo’yicha tuzilgan integral yig’indi chekli limitga ega bo’lib, u AB yoyni bo’lakalarga bo’lish usuliga va bo’lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmasa, u holda bu limit funksiyaning AB yoy bo’ylab, x koordinata bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi. bu holda funksiya AB yoy bo’ylab integrallanuvchi deyiladi. Xossalari:

1. 
   Agar funksiya AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiya ham AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
   
2. 
   Agar va funksiyalarning har biri AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lsa, u holda funksiyalar ham AB yoy bo’yicha integrallanuvchi bo’lib, ds tenglik o’rinli bo’ladi.
   
3. 
   (additivlik) Agar AB yoy biror C nuqta orqali ikkita AC va CB yoylarga ajratilgan bo’lib, funksiya AC va CB yoylarning har birida integrallanuvchi bo’lsa, u holda u AB yoy bo’yicha ha integrallanuvchi bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.
   
4. 
   Agar integral mavjud bo’lsa, u holda integral ham mavjud bo’lib, tenglik o’rinli bo’ladi.