Machine Translated by Google

Machine Translated by Google

Heine-Borel lemmasi (shuningdek, Borel-Lebesgue lemmasi yoki chekli qoplama lemmasi) tahlilda asosiy rol o'ynaydigan quyidagi faktdir:
Segmentni qamrab oluvchi har qanday cheksiz intervallar tizimidan raqam chizig'i, siz yakuniy quyi tizimni tanlashingiz mumkin, shuningdek ushbu segmentni qamrab oladi.
Ushbu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish ham deyiladi Geyne-Borel lemmasi (yoki Borel-Lebeg lemmasi) orqali beriladi.
So'zlash
Umumiy holatda Geyne-Borel lemmasini shakllantirish uchun kiriting qamrov tushunchasi. Tizimni sozlash
S = {Sa}
a indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamining qopqog'i deyiladi if
Xy Sa
ayA
Agar qopqoqning bir qismi S bo'lsa, S = {Sa | deb ayting a у A}, bu yerda A A ning kichik to'plami bo'lib, o'zi X to'plamning qopqog'ini hosil qiladi, keyin S X to'plamning S qopqog'ining pastki qopqog'i deb ataladi.
Keling, Geyne-Borel lemmasini umumiy shaklda tuzamiz. R n fazoda X yopiq chegaralangan to'plam bo'lsin . Keyin Xto'plamini qamrab oluvchi har qanday ochiq to'ptoiQjylflKjftzimidan X to'plamini ham qamrab oluvchi chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatish
Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: R n fazodagi yopiq chegaralangan to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki qoplama mavjud. Agar qopqoqdan iborat bo'lsa, ochiq deyiladi ochiq to'plamlardan.
Bundan tashqari, teskari taklif mavjud: har qanday ochiq uchun XyRn to'plamining o'sha qopqog'ida cheklangan pastki qopqoq mavjud edi Xto'plami yopiq va chegaralangan bo'lishi kerak. Biroq, Heine-Borel lemmasi faqat to'g'ridan-to'g'ri bayonotdir,
ya'ni chegaralangan pastki qoplamning mavjudligi uchun etarli shartlar.
Isbot
Heine-Borel lemmasining isboti turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. yo'llari. Quyida ikkita dalilning konturlari keltirilgan.
Birinchi dalil
Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan u Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi chegara nuqtasi haqida sa.
[a, b] segmenti cheksiz S intervallar sistemasi bilan qoplansin. Faraz qilaylik, S dan chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. [a, b] segmentini ikkiga teng ikkita qismga bo'ling: 2 , b], Ulardan kamida bittasini S dan [a, ^y-] va [^oraliqlarning cheklangan quyi tizimi qamrab olmaydi. Uni [a1, Ы ] belgilang va buning uchun takrorlang
biseksiya jarayoni.
Har bir qadamda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etamiz, biz olamiz
uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligi
lu shunday bo'ladiki, bu ketma-ketlikning har bir segmentini S dan chekli oraliqlar bilan qoplab bo'lmaydi. Ammo, agar p segmentlar qisqaradigan nuqta bo'lsa, u holda p [a, b] segmentida yotganligi sababli, u S tizimining qandaydir s oralig'iga kiritilishi kerak. Keyin [ak, bk] ketma-ketlikning barcha segmentlari, qaysidir sondan boshlab, s oralig'i bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarni tanlashga zid keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining to'g'riligini isbotlaydi.
Bu isbot aniq o'zgartirishlar bilan ham amalga oshiriladi
fazo R n ixtiyoriy o'lchamli. Ko'rsatilgan dalilni va ichida topish mumkin (o'zboshimchalik bilan metrik bo'shliq uchun darhol oxirgi kitobda).
Ikkinchi dalil
Heine-Borel lemmasining yana bir isboti Lebesga bog'liq. U lemma ichki segmentlaridan foydalanmaydi, lekin tayanadi printsip ko'rinishidagi haqiqiy sonlar to'plamining to'liqlik xossasi haqiqiy yuqori chegaraning mavjudligi.
Intervallar sistemasi S [a, b] segmentni qoplasin. Barcha x у [a, b] nuqtalar to'plamini M bilan belgilang, ular uchun [a, x] segmenti S dan chekli oraliqlar bilan qoplanishi mumkin. Ko'rinib turibdiki, agar [a, x ], x < x ko'rinishdagi har qanday segment (bu erda x - sup M) S dan chekli oraliqlar bilan qoplanishi mumkin bo'lsa, u holda [a, x segmenti uchun ham xuddi shunday bo'ladi. ]: buning uchun x nuqtani qamrab oluvchi s у S intervalini olamiz va uni qandaydir [a, x ] segmentining chekli qoplamiga qo'shsak, bu yerda x < x, x у s, [ segmentining chekli qoplamini olamiz. a, x], Bundan tashqari, olingan chekli oraliqlar quyi tizimi nafaqat [a, x] segmentini, balki [a, x] shaklidagi ba'zi bir segmentni ham qamrab oladi, bu erda x > x.
Birinchisidan kelib chiqadiki, M to'plamning eng kichik yuqori chegarasi M to'plamga tegishli. Ikkinchisidan esa u b ga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, b у M, ya'ni [a, b] segmenti S dan chekli oraliqlar bilan qoplanishi mumkin.
Tahlilda qo'llanilishi
Uyalangan segmentlardagi Koshi-Kantor lemmasi va chegara nuqtasidagi Bolzano-Veyershtrass lemmasi bilan bir qatorda, cheklangan qamrov bo'yicha Geyn- Borel lemmasi tahlilning asosiy da'volaridan biridir. U bir qator muhim natijalarni isbotlash uchun ishlatilishi mumkin.
Geyne-Borel lemmasi ba'zi mahalliy mulkni kengaytirish zarur bo'lgan hollarda muvaffaqiyatli qo'llanilishi mumkin
butun to'plam. Keling, dalil misolida aytilgan narsalarni ko'rsatamiz birxil uzluksizlik haqidagi teoremalar.
f funksiyaning (a, b) oraliqdagi uzluksizligi (a, b) oraliqdagi istalgan x nuqta va
ixtiyoriy e > 0 uchun x nuqtaning Ud(x) qo'shnisi mavjudligini bildiradi, bunda istalgan
ikkita dan funksiya qiymatlari eng ko'p e bilan farqlanadi:
^x , x у Ud(x) у |f(x ) у f(x )| e
Biz e > 0 ni tuzatamiz va [a, b] segmentining har birx nuqtasi uchun ko'rsatilgan qo'shni Ud(x) ni tanlaymiz (har birx o'z d = d(x) ga ega bo'ladi). Olingan intervallar tizimi segmentning ochiq qopqog'ini hosil qiladi, undan Geine-Borel lemmasi bo'yicha biz chekli pastki qoplamani S tanlaymiz. Ko'rinib turibdiki, d > 0 ni tanlash mumkin, shunda d uzunlikdagi har qanday segment to'liq S qamrov oralig'ining birida joylashgan bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, agarx
, x d dan ko'p bo'lmagan farq qiladi, keyin ular birxil qamrov oralig'ida joylashgan, ya'ni qiymatlar bu nuqtalardagi funktsiyalar e dan ko'p bo'lmagan farq qiladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy e > 0 uchun d > 0 ni topamiz, shunday qilib
^x ,x у [a, b] |x у x | d у |f(x ) у f(x )| e Bu f funksiya [a, b] segmentida birxil uzluksiz ekanligini bildiradi.
Umumlashtirish
Heine-Borel lemmasini ixtiyoriy metrik proga umumlashtirish mumkin mamlakat shunday:
M metrik fazoning har qanday ochiq qoplamasi cheklangan pastki qoplamani o'z ichiga olishi uchun M fazoning to'liq va to'liq chegaralangan bo'lishi zarur va etarli.
R n fazoda bo'lgani kabi , Geyne-Borel lemmasi chaqiradi
Bu taklifning faqat ikkinchi qismi, shartlarning etarliligi haqida chekli pastki qoplamaning mavjudligi.
Ma'lum bo'lishicha, M metrikfazoga ega Heine-Borel mulki, agar u com bo'lsa
ixcham fazo, ya'ni uning cheksiz har qanday kichikto'plamlari
M ga tegishli chegara nuqtasiga ega. Shunday qilib, ixcham metrik fazoni shunday aniqlash mumkin edi
har bir ochiq qopqog'ida chekli pastki fazo mavjud bo'lgan bo'shliq qoplama.
Metrik bo'shliqlardan umumiyroq tushunchaga o'tishda topologik bo'shliqlar, bu ikki shartteng emasligi ma'lum bo'ldi
kuchli: agar topologik fazo Geyne-Borel xossasiga ega bo'lsa, uning har bir cheksiz kichikto'plami chegara nuqtasiga ega, lekin buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Yilni topologik fazoning ta'rifi sifatida kuchliroq Heine-Borel xossasi qabul qilindi. Bu erda eski ixchamlik sharti, ya'ni har qanday cheksiz kichikto'plam uchun chegara nuqtasi mavjudligi ma'lum bo'ldi.
quyidagi shartga ekvivalentdir: har bir hisoblanuvchi ochiq qopqoq chegaralangan pastki qoplamani o'z ichiga oladi. Bu bo'shliqlar deyiladi
hisoblash mumkin bo'lgan ixcham.
Tarix ma'lumotnomasi
Bugungi kunda Geyne-Borel lemmasi deb nomlanuvchi matematiktaklifning tarixi 19-asrning ikkinchi yarmida, matematiklar matematiktahlilning qat'iy qurilishi uchun ishonchli asoslarni izlash bilan band bo'lgan paytdan boshlandi. Boshqalar qatorida, qat'iy isbotni talab qiladigan tahlilning asosiy natijalaridan biri oraliqda uzluksiz har qanday funktsiya birxil ekanligini bildiruvchi teorema edi.
lekin doimiy ravishda. Dirixlet 1862 yilgi ma'ruzalarida birinchi bo'lib bu teoremani isbotladi, ular faqat 1904 yilda nashr etilgan. Bunda, agar segment cheksiz oraliqlar bilan qoplangan bo'lsa, ular orasida chekli sonni tanlash mumkin, deb bilvosita foydalandi.
ushbu segmentni ham qamrab oladi. Keyinchalik, shunga o'xshash mulohazalar bilan
E. Heine, K. Weierstrass tomonidan ishlatilgan. Birinchi bo'lib shakllantirish va Geyne-Borel lemmasini zamonaviyga yaqin shaklda isbotladi, 1895 yilda E. Borel edi. Biroq, uning formulasi sanoqli sonli intervallardan iborat qoplamalar bilan cheklangan. U 1898 yilda E. Borelning shogirdi A. Lebesg tomonidan ixtiyoriy cheksiz muqovalar uchun umumlashtirilgan. yil.
Matematik adabiyotlarda bu taklifni turli nomlar ostida topish mumkin. Geyne lemmasining eng keng tarqalgan nomi
- Ushbu maqolaning sarlavhasida joylashtirilgan Borel. Biroq, ko'pincha quyidagilar qo'llaniladi: Borel-Lebesgue lemmasi, Borel lemmasi. DA ba'zi kitoblarda bu taklif lemma emas, balki teorema deb ataladi: Geyne-Borel teoremasi, Borel-Lebeg teoremasi. Shuningdek, topilgan
chekli qopqoq lemmasining nomi.