Maktab geometriya kursining xarakteristikasi

2-mavzu. Maktab geometriya kursining xarakteristikasi.
Maktab geometriya kursini aksiomatik qurish muommolari. Planametriya kursining birinchi darslarining o`qitish metodikasi
Reja:

1. 
   Maktab geometriya kursining xarakteristikasi
   
2. 
   Maktab geometriya kursini aksiomatik qurish muommolari
   
3. 
   Planametriya kursining birinchi darslarining o`qitish metodikasi
   

Matematikada va maktab matematika kursida aksiomatik metod. Ma’lumki, maktab geometriya kursi deduktiv asosida mantiqiy qurilgan fan bo’lib, u asosan planimetriya va stereometriya bo’limlaridan iboratdir. Geometriyaning planimetriya bo’limida tekislikdagi geometrik figuralaming qonuniyatlari, stereometriya bo’limida esa fazoviy geometrik figuralarning qonuniyatlari o’rganiladi. Uning deduktiv qurilgani shu bilan izohlanadiki, geometriya kursini umumiylikdan xususiylikka tomon o’rganiladi. Chunki, avallo, tekislikda yotuvchni ixtiyoriy nuqtalar to’plamiga geometrik figura deb ta’rif beriladi, so’ngra ana shu geometrik figuraning xususiy hollari o’rganiladi. Masalan, ko’pburchak va uning qabariq, botiq turlari o’rganiladi, so’ngra qabariq ko’pburchakning turlari bo’lmish to’rtburchak, parallelogramm, trapetsiya, romb va kvadratlaming xossalari o’rganiladi. Demak, bu yerda o’rganish jarayoni umumiylikdan xususiylik tomon amalga oshiriladi. Geometriya kursining mantiqiyligi deganda: a) ta’riflanmaydigan boshlang’ich tushunchalar qabul qilinadi (nuq ta, to’g’ri chiziq, tekislik va masofa); b)boshqa geometrik figuralar ta’riflanmaydigan tushunchalar yordamida ta’riflanadi; d)aksiomalar sistemasi qabul qilinadi; e)ta’rif va aksiomalar yordamida teoremalar isbotlanadi. Yuqoridagi aytib o’tilgan bosqichlar geometriya kursining mantiqiy qurilganligini ko’rsatadi. Maktab matematika kursida aksiomatik metod va matematik strukturalar g‘oyasi propedevtikasi. Maktab matematika kursida matematik hukmlar aksioma, postulat va teorema ko’rinishda beriladi. Aksioma grekcha axioma so’zidan olingan bo’lib, uning lug’aviy ma’nosi «obro’ga ega bo’lgan gap» demakdir. Shuning uchun ham aksiomaga maktab matematika kursida quyidagicha ta’rif berilgan: «Isbotsiz qabul qilinadigan matematik hukm aksioma deyiladi». Aksioma asosan eng sodda geometrik figura yoki sodda matematik qonuniyatlarning asosiy xossalarini ifodalovchi hukmdir. Masalan, maktab geometriya kursida o’iganish uchun qabul qilingan aksiomalarni qaraylik; 1.«Tekislikda yotuvchi ixtiyoriy bitta nuqtadan shu tekislikdagi to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan faqat bitta to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin». 2.«Tekislikdagi har qanday ikki nuqtadan faqat bitta to’g’ri chiziq o’1kazish mumkin». Ma’lumki, matematika fani aksiomalar sistemasi asosida qurilgandir. Matematika fanining mantiqiy asosda qurilishini yaratish uchun aksiomalarning bo’lishligi haqida fikr Gretsiyada bundan ming yil aval paydo bo’lgan edi. XIX asrning oxiri va XX asrning boshlarida matematika fanining turli bo’limlarida aksiomalar chuqur o’rganildi va rivojlantirildi. Matematika kursidagi aksiomalar sistemasi asosan quyidagi uch talabga javob berishi kerak. 1.Aksioma sistemasi ziddiyatsiz bo’lishi kerak. Bu degan so’z, biror aksiomadan chiqarilgan natija shu aksioma yordamida hosil qilingan boshqa natijaga yoki boshqa aksiomadan chiqarilgan xulosaga zid kelmasligi kerak. 2. Aksiomalar sistemasi mustaqil bo’lishi kerak, ya’ni hech bir aksioma ikkinchi bir aksiomadan kelib chiqadigan bo’lmasligi kerak. 3. Aksiomalar sistemasi shu fanga oid istalgan bir yangi tushunchani isbot etish uchun yetarli bo’lishi kerak, ya’ni biror matematik jumlani isbotlashda hech qachon o’z-o’zidan tushunilishiga yoki tajribaga tayanilmaydi, bu matematik jumla boshqa teoremalar oxirida aksiomalar bilan asoslanishi kerak bo’ladi.
Maktab geometriya kursida quyidagi aksiomalar sistemasi mavjud. 1. Tegishlilik aksiomasi: a) har qanday to’g’ri chiziq nuqtalar to’plamidan iboratdir. b) har qanday ikki nuqtadan bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. d) har qanday to’g’ri chiziqni olmaylik, shu to’g’ri chiziqqa tegishli bo’lgan va tegishli bo’lmagan nuqtalar mavjud. 2.Masofa aksiomasi: a) har bir kesmaning uzunligi shu kesmaning har qanday nuqtasi ajratgan masofalar uzunliklarining yig’indisiga teng: b) A nuqtadan V nuqtagacha bo’lgan masofa V nuqtadan A nuqtagacha bo’lgan masofaga teng: |AS| =|BA|. c) Ixtiyoriy uchta A, V, S nuqta uchun A dan S gacha bo’lgan masofa A dan V gacha va V dan S gacha bo’lgan masofalar yig’indisidan katta emas:
|AC| ≤|AB| +|BC|
3.Tartib aksiomasi: a) to’g’ri chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi va faqat bittasi qolgan ikkitasi orasida yotadi. b) to’g’ri chiziq tekislikni ikki yarim tekislikka ajratadi. 4. Harakat aksiomasi: a) Agar |AB| masofa musbat bo’lib, u |A₁B₁| masofaga teng bo’lsa, A nuqtani A₁ nuqta va V nuqtani B₁ nuqtaga akslantiruvchi faqat ikkita siljitish mumkin. 5. Paralellik aksiomasi: Berilgan nuqtadan to’g’ri chiziqqa bitta va faqat bitta parallel to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin.
2.«Postulat» so’zi lotincha so’z bo’lib, uning lug’aviy ma’nosi «talabni belgilovchi» demakdir. Postulat — bu ma’lum bir talab yoki shartlarni ifodalovchi matematik hukm bo’lib, bundagi talab va shartlarni ba’zi bir tushuncha yoki tushunchalar orasidagi munosabatlar orqali qanoatlantiradi. 1-misol. Evklidning «Negizlar» kitobida paralellik aksiomasi «beshinchi postulat» deb atalgan qadimgi matematiklar ana shu paralellik aksiomasini XIX asrning boshlarigacha isbotlashga urinib keldilar. Bu urinishlar har doim muvaffaqiyatsizlik bilan tugadi. Paralellik aksiomasining to’g’riligi hech kimda shubha tug’dirmasada, uni mavjud aksiomalarning va ilgari isbot qilingan geometrik faktlarning asosi uchun qabul qilish mumkin emasmikan, ya’ni u o’zicha teoremadan iborat emasmikan, degan savol barcha matematiklarni qiziqtirar edi. Parallel to’g’ri chiziqlar aksiomasini teskarisidan faraz qilish usuli bilan, ya’ni nuqta orqali berilgan to’g’ri chiziqqa parallel bir nechta to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin, deb qabul qilib isbotlashga urinishlar matematik qonuniyatlarga zid bo’lgan holatlarni keltirib chiqarishi kerak edi, ammo bunday bo’lmadi. Buyuk rus matematigi N.I.Lobachevskiy va undan bexabar holda venger matematigi Ya.Boya nuqta orqali berilgan to’g’ri chiziqqa parallel bir necha to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin, degan farazni qabul qilib, boshqa “noevklid geometriya” ni qurish mumkinligini isbot qildilar. Lobachevskiy geometriyasi ana shunday dunyoga keldi.
Teorema so’zi grekcha so’z bo’lib, uning lug’aviy ma’nosi «qarab chiqaman» yoki «o’ylab ko’raman» demakdir, shuning uchun ham maktab matematika kursida teoremaga quyidagicha ta’rif berilgan: «Isbotlashni talab etadigan matematik hukm teorema deyiladi». Maktab matematika kursida teoremalaming quyidagi turlari mav- juddir: 1.To’g’ri teorema. 2.Teskari teorema. 3.To’g’ri teoremaga qarama-qarshi teorema. 4.Teskari teoremaga qarama-qarshi teorema. To’g’ri va unga nisbatan teskari bo’lgan teorema tushunchalarini o’quvchilaming ongida shakllantirishni — VI sinf geometriya kursining birinchi darslaridan boshlab amalga oshirish kerak. Masalan, quyidagi ikkita tushunchani olib qaraylik. 1.Bu figura parallelogrammdir. 2.Bu figura to’rtburchakdir. Berilgan bu ikkala hukm o’zaro bog’liqdir. Boshqacha aytganda, birinchisining haqiqatligidan ikkinchining haqiqatligi kelib chiqadi, ammo ikkinchisining mavjudligidan birinchisining haqiqatligi har doim ham kelib chiqavermaydi. Agar bu bog’lanishni simvolik ravishda yozadigan bo’lsak u quyidagicha bo’ladi: Parallelogram => to’rtburchak Bu yerda biz paralellogramlar sinflni to’rtburchaklar sinfiga kiritdik. Yuqoridagidek bog’lanishlar geometriya kursining birinchi darslaridan boshlab tekshirayotgan matematik hukmlarning ichki o’zaro bog’lanishini ochib beradi. Masalan, «Ichki almashinuvchi burchaklar o’zaro teng» degan hukmni simvolik holda quyidagicha yozish mumkin: Ichki almashinuvchi burchaklar => teng burchaklar Bu yerga agar ichki almashinuvchi burchaklar mavjud bo’lsa, u holda ular teng bo’ladi, degan fikr tasdiqlanadi. Agar yo’nalish teskari tomonga qo’yilsa, bunday mulohaza hosil bo’ladi: «Agar burchaklar teng bo’lsa, u holda ular ichki almashinuvchi burchaklardir». Maktab geometriya kursida shunday teoremalar borki, ularning shartidan xulosasining to’g’riligi va aksincha, xulosasidan shartining to’g’riligi kelib chiqadi. Masalan: 1.Agar to’g’ri chiziq burchak bissektrisasi bo’lsa, u berilgan burchakni teng ikkiga bo’ladi. Bunga teskari bo’lgan teorema ham o’rinlidir: «Agar to’g’ri chiziq burchakni teng ikkiga bo’lsa, bu to’g’ri chiziq shu burchakning bissektrisasidir». Bu aytilganlarni simvolik ravishda bunday yozish mumkin:
Agar to’g’ri chiziq burchak <= Burchak teng bissektrisasi bo’lsa ikkiga bo’linadi.
Bundan ko’rinadiki, teorema shartining mavjudligidan uning xulosasining haqiqiyligi kelib chiqsa va aksincha, uning xulosasining mavjudligidan haqiqatligi kelib chiqsa, teoremaning shart va xulosalarida qatnashayotgan «agar» va «u holda» bog’lovchilarining o’rinlari o’zgaradi. Agar biz shartli ravishda berilgan teoremani to’g’ri teorema desak, bu teoremadagi shart va xulosalarning o’rinlarini almashtirish natijasida hosil qilingan teoremani teskari teorema deb ataladi.

To’g’ri teorema: Agar uchburchakning tomonlari teng bo’lsa, u holda bu tomonlar qarshisida teng burchaklar yotadi. Berilgan: C
Isbot qilish kerak:

A B
Isboti. ABC asosi AB bo’lgan teng yonli uchburchak bo’lsin. : ekanligi isbotlanadi. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko’ra CAB burchak CBA burchakka teng bo’ladi, chunki CA=CB va . Bu uchburchaklarning tengligidan:

Teskari teorema. Agar uchburchakning burchaklari o’zaro teng bo’lsa, u holda bu burchaklar qarshisida teng tomonlar yotadi. Berilgan: Isbot qilish kerak: BC=AB. Isboti. 1) BK tomon AB tomondan katta bo’la olmaydi, aks holda avvalgi isbot qilingan teoremaga ko’ra bo’lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir. 2) BC tomon AB tomondan kichik ham bo’la olmaydi, aks holda avvalgi isbot qilingan teoremaga ko’ra bo’lar edi, bu esa teorema shartiga ziddir. Demak, BC = AB

Mustahkamlash uchun savollar.

1.Aksiomatik metod qanday metod?
2. Maktab matematika kursida aksiomatik metod deganda nimani tushunasiz? 3.Matematik strukturalar g‘oyasi pronedevtikasi haqida nimani bilasiz?
4. Maktab geometriya kursida qanday aksiomalar sistemasi mavjud?
5. Teorema va uning turlari haqida so’zlab bering.
6. Planametriya nima?