Ma’ruza. №2 mavzu: funksiyaning hosilasi. Funksiyaning ekstremumlari. Reja

Elementar va murakkab funksiyalarning hosila jadvali.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    
11. 
    
    
12. 
    
    
13. 
    
    
14. 
    
    

Ta’rif. Agar hosila differensiallanuvchi funksiya bo’lsa, uning hosilasi funksiyaning II tartibli hosilasi deyiladi. Berilgan funksiyaning II tartibli hosilasi , yoki , kabi belgilanadi va ta’rifga asosan formula bilan hisoblanadi. III tartibli hosila kabi aniqlanadi va yoki kabi belgilanadi. Bu jarayonni davom ettirilib, n-tartibli hosila tushunchasi quyidagi rekkurent formula orqali kiritiladi:
, n=2,3,4, …
Izoh: Hosila tartibi tushunchasi kiritilgach, qulaylik uchun funksiyaning o’zi 0-tartibli hosila, ya’ni , esa I tartibli hosila, ya’ni deb qaraladi.
Ta’rif : Agar funksiya uchun n-tartibli hosila mavjud bo’lsa, u n marta differensiallanuvchi funksiya deb ataladi. Ba’zi funksiyalar uchun n-tartibli hosila ifodasini birdaniga yozish mumkin. Masalan,

3. 
   Hosilaning mexanik va geometrik ma’nosi. Aytaylik, funksiya intervalda berilgan va uzluksiz bo’lsin. Bu funksiyaning grafigi chizmada ko’rsatilgan AB egri chiziqni tasvirlasin.
   

AB chiziqda nuqta bilan birga ushbu

Nuqtani olib, ular orqali kesuvchini o’tkazamiz. Bu kesuvchining Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchakni bilan belgilaymiz.
Ta’rif: kesuvchining M nuqta AB egri chiziq bo’ylab ga intilgandagi limit holati egri chiziqqa nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi.
Urinmaning ox o’qining musbat yo’nalishi bilan tashkil etgan burchakni deylik. Chizma va ta’rifdan da M nuqta ga intilishini ko’ramiz. Demak, da bo’ladi.
funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsin.
Ta’rifga ko’ra

M dan:

bo’ladi. Bu tenglikdan esa
bo’lishi kelib chiqadi. Endi da limitga o’tib topamiz:




Demak, Bundan esa,
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, funksiyaning nuqtadagi hosilasi shu funksiya grafigiga nuqtada o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientidan iborat ekan.
Funksiyaning urinma va normal tenglamasi. funksiyaning nuqtadagi hosilasi urinmaning burchak koeffitsienti bo’ladi. Unda funksiya grafigiga nuqtadan o’tkazilgan urinmaning tenglamasi
bo’ladi.
Ko’p hollarda egri chiziqqa nuqtasida o’tkazilgan normalning tenglamasini ham bilishimiz kerak. Ma’lumki, egri chiziqqa nuqtada o’tkazilgan normal shu nuqtadagi urinmaga perpendikulyar bo’lar edi. Demak, normalning tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi.

3. 
   Funksiyaning ekstremumlari. Aytaylik, funksiyaning da berilgan bo’lib, bo’lsin.
   

Ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi topilsaki, uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga erishadi deyiladi. Bunda nuqta funksiyaga maksimum qiymat beradigan nuqta, esa funksiyaning maksimum qiymati deyiladi.
Funksiyaning maksimum qiymati quyidagicha belgilanadi:

Ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi topilsaki, uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda funksiya nuqtada minimumga erishadi deyiladi. Bunda nuqta funksiyaga minimum qiymat beradigan nuqta, esa funksiyaning minimum qiymati deyiladi.
Funksiyaning minimum qiymati quyidagicha belgilanadi:

Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari umumiy nom bilan uning ekstremum qiymatlari deb ataladi.

Yuqoridagi keltirilgan ta’riflardan ko’rinadiki, funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari, uning dagi eng katta va eng kichik qiymatlari bo’ladi.
Misol. funksiyani ko’ramiz. Bu funksiya nuqtada minimumga erishadi. Haqiqatdan ham, nuqtaning ) atrofidagi barcha x nuqtalar uchun
ya’ni
Bo’ladi:
Funksiya ekstremumining zaruriy sharti.
funksiya (a,b) da berilgan bo’lsin. Bu funksiya 1) ( nuqtada maksimumga chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda

bo’ladi.
Shuni isbotlaymiz. Birinchidan, f(x) funksiya nuqtada maksimumga(minimumga) erishganligi sababli shu nuqtaning atrofidagi barcha x nuqtalar uchun
(
bo’ladi. Demak, funksiya da o’zining eng kata (eng kichik) qiymati ga erishadi.
Ikkinchi tomondan, funksiya nuqtada chekli hosilaga ega. Unda Ferma teoremasiga ko’ra bo’ladi.
Biroq funksiyaning hosilasi nolga teng bo’lgan nuqtada berilgan funksiya har doim ham ekstremumga erishavermaydi. Masalan, funksiyaning hosilasi funksiyaning hosilasi bo’lib, u nuqtada nolga teng: . Lekin bu funksiya x=0 nuqtada ekstremumga erishmaydi (chunki bo’lib, u o’suvchidir).
Shunday qilib, funksiya hosilasining nolga aylanishi funksiya ekstremumga erishishining zaruriy sharti ekan.
Odatda funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
Eslatma. Funksiya hosilaga ega bo’lmagan nuqtada ham ekstremumga ega bo’lishi mumkin. Masalan, funksiya nuqtada hosilaga ega emas. Biroq, bu funksiya nuqtada minimumga erishadi.
Funksiya ekstremumini aniqlash uchun quyidagi qoidaga kelamiz.

1. 
   berilgan funksiyaning hosilasi ni topib, tenglamani yechamiz. Aytaylik, bu tenglamaning yechimlaridan biri bo’lsin;
   
2. 
   bu nuqtaning atrofini olamiz;
   
3. 
   agar
   

uchun ;
uchun ;
bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini “ ” dan “ “ ga o’zgartirsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga erishadi. Funksiyaning maksimum qiymati bo’ladi;

4. 
   agar
   

uchun ;
uchun ;
bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini “ ” dan “ “ ga o’zgartirsa, u holda funksiya nuqtada minimumga erishadi. Funksiyaning minimum qiymati bo’ladi;

5. 
   agar
   

uchun ;
uchun ;
yoki
uchun ;
uchun ;
bo’lsa, ya’ni hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini o’zgarirmasa, unda funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
Misol. funksiyaning ekstremumlari topilsin.
Avvalo berilgan funksiyaning hosilasini hisoblaymiz:

So’ngra ya’ni
Tenglamani yechamiz:

Demak, nuqtalar berilgan funksiyaning statsionar nuqtalari bo’ladi.
Endi funksiya hosilasini quyidagicha yozib olamiz:

statsionar nuqtalarning atroflarini atroflarini olib, unda funksiya hosilasi ning ishorasini tekshiramiz. nuqtaning atrofini olaylik.
Unda uchun bo’ladi, chunki bunday x nuqtalar uchun bo’ladi.
uchun bo’ladi.
bunday x nuqtalar uchun bo’ladi.
Shunday qilib, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartiradi. Demak, berilgan funksiya nuqtada maksimumga erishadi va va funksiyaning maksimum qiymati
max
nuqtaning atrofini olaylik.
Unda
unda
bo’ladi, chunki bunday x nuqtalar uchun bo’ladi.
Shunday qilib, hosila nuqtani o’tishda o’z ishorasini dan ga o’zgartiradi. Demak, berilgan funksiya nuqtada minimumga erishadi va funksiyaning minimum qiymati:

Funksiya ikkinchi tartibli hosilaga ega bo’lsa, unda berilgan funksiyaning ekstremumini topish birmuncha oson bo’ladi.
funksiya da hosilaga ega bo’lib, nuqtada nolga aylansin:

Agar funksiyaning nuqtada ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo’lib,


bo’lsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
Agar funksiya uchun

bo’lsa, u holda funksiya nuqtada minimumga erishadi.
Shunday qilib, funksiya ekstremumini aniqlash uchun quyidagi qoidaga (ikkinchi qoidaga) kelamiz:

1. 
   Berilgan funksiyaning hosilasi ni topib,
   

Tenglamani yechamiz. Aytaylik, bu tenglamaning yechimlaridan biri bo’lsin.

2. 
   funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi
   ni topib, uning nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz. Agar:
   

1. 
   bo’lsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga;
   
2. 
   bo’lsa, u holda funksiya nuqtada minimumga;
   

erishadi.
Misol. funksiyaning ekstremumlari topilsin.
Avvalo berilgan funksiyaning hosilasini hisoblaymiz.

So’ngra
ya’ni
tenglamani yechamiz. Bu tenglamaning yechimlari bo’ladi. Demak, nuqtalar berilgan funksiyaning statsionar nuqtalaridir.
Endi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:


nuqtada
nuqtada
nuqtada
bo’ladi. Demak, berilgan funksiya nuqtada maksimumga, nuqtada minimumga erishadi va max min bo’ladi.