Ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss va Kramer usullari

4. ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss va Kramer usullari

Reja:

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli

2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli
   

Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemalari.

Uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + 𝑎₁₃𝑥₃ = 𝑐_1
{𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + 𝑎₂₃𝑥₃ = 𝑐₂
𝑎₃₁𝑥₁ + 𝑎₃₂𝑥₂ + 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑐₃

(1)

Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishda noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni tenglab birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirish natijasida bitta noma’lumli tenglama hosil qilinib undan noma’lumning qiymati topilgan edi. Xuddi shu ishni (1) sistemaga tatbiq etsak, natijada (1) sistemaga ekvivalent quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz:
𝑥₁ ∙ ∆= ∆_𝑥1

Bunda
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
_{𝑥₂ ∙ ∆= ∆_𝑥2
𝑥₃ ∙ ∆= ∆_𝑥3
^𝑐1 ^𝑎12 ^𝑎13
(A)


^𝑎11 ^𝑐1 ^𝑎13

^{∆= |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^{|; ∆𝑥}₁ ^{= |𝑐}2 ^𝑎22 ^𝑎23^{|; ∆𝑥}₂ ^{= |𝑎}21 ^𝑐2 ^𝑎23^|;

^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑐3 ^𝑎32 ^𝑎33
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑐1
^∆𝑥₃ ^{= |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑐2^|
𝑎31 ^𝑎32 ^𝑐3
^𝑎31 ^𝑐3 ^𝑎33

Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan uchinchi tartibli ∆ determinant
(1.16) sistemaning determinanti deyiladi. ∆_𝑥1 , ∆_𝑥2 va ∆_𝑥3 determinantlar yordamchi determinantlar deyiladi.
Agar (A) sistemada ∆≠ 0 bo`lsa, u holda

𝑥 = ^∆𝑥1; 𝑥

= ^∆𝑥2 ; 𝑥

₌ ∆_𝑥3

(2)

1 _∆ 2 _∆ 3 _∆
𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃ ning (2) formulalar bo`yicha topilgan qiymatlari (1) sistemaning
yechimlari bo`lishini bevosita tekshirib ko`rish bilan ishonch hosil qilish mumkin.

2. 
   tengliklar Kramer formulalari deyiladi.
   
   2. 
      formulalarda quyidagi hollar sodir bo`lishi mumkin.
      
      1. 
         ∆≠ 0. Bu holda (2) formulalardan sistema yagona yechimga ega ekani kelib chiqadi.
         

1. 
   – misol. Ushbu sistemani yeching:
   

𝑥₁ + 2𝑥₂ − 𝑥₃ = 2
{^{2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 = 8} 3𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃ = 8
Yechish. Bu yerda

1 2 −1
^{∆= |}2 −3 2
3 1 1
1 2 −1
2 3 −1
^{| = −8 ∆𝑥}₁ ^{= |}2 −3 2
8 1 1
1 2 2

| = −8

^∆𝑥₂ ^{= |}2 2 2 ^{| = −16 ∆𝑥}₃ ^{= |}2 −3 2^{| = −24}
3 8 1 3 1 8
(2) formulalardan quyidagilarni topamiz:

𝑥 = ⁻⁸ = 1; 𝑥

= ⁻¹⁶ = 2; 𝑥

₌ −24 _{= 3}

Javob: (1;2;3)
¹ −8
² −8
³ −8

2. 
   ∆= 0 va ∆_𝑥1 , ∆_𝑥2 , ∆_𝑥3 determinantlardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, u holda (1) sistema yechimga ega emas. Aniqlik uchun ∆<sub>𝑥1</sub> = ∆<sub>𝑥2</sub> = 0 bo`lib,
   

∆_𝑥3 ≠ 0 bo`lsin. U holda (2) dan:
𝑥 = ^∆𝑥3 ⟹ ∆ ∙ 𝑥 = ∆

3 _∆ 3 𝑥₃
Ammo, oxirgi tenglikning o`ng tomoni noldan farqli (∆<sub>𝑥3</sub> ≠ 0), chap tomoni esa nolga teng, buning bo`lishi mumkin emas. Demak, yechimga ega emas.

2. 
   – misol. Ushbu
   

2𝑥₁ + 3𝑥₂ + 𝑥₃ = 2
{ ^{𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 = 3} 4𝑥₁ + 6𝑥₂ + 2𝑥₃ = 0
tenglamalar sistemasi yechimga ega emas, chunki ∆= 0 (tekshirib ko`rishni
o`quvchini o`ziga havola qilamiz.)
1. ∆= 0 va ∆_𝑥1 = ∆_𝑥2 = ∆_𝑥3 = 0 bo`lsa, (1) sistema yoki yechimga ega emas, yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.

3. 
   – misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:
   

𝑥₁ − 𝑥₂ + 2𝑥₃ = 2
{^{2𝑥1 − 2𝑥2 + 4𝑥3 = 4} 3𝑥₁ − 3𝑥₂ + 6𝑥₃ = 3
Yechish. Bu sistema uchun
∆= 0, ∆_𝑥1 = ∆_𝑥2 = ∆_𝑥3 = 0
Sistema yechimga ega emas, chunki sistemadagi birinchi va uchinchi
tenglamalar birgalikda bo`la olmaydilar. Haqiqatan ham, birinchi tenglamani 3 ga ko`paytirib, undan uchinchi tenglamani ayirsak, mumkin bo`lmagan 0=3 tenglikka ega bo`lamiz.

4. 
   – misol. Ushbu
   

2𝑥₁ + 3𝑥₂ − 𝑥₃ = 3
{ ^{4𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥3 = 6} 3𝑥₁ − 𝑥₂ + 2𝑥₃ = −1
sistema uchun ∆= ∆_𝑥1 = ∆_𝑥2 = ∆_𝑥3 = 0 . sistemadagi ikkinchi tenglama birinchi
tenglamani 2 ga ko`paytirishdan hosil bo`lgani uchun berilgan sistema ushbu
_{ 2𝑥₁ + 3𝑥₂ − 𝑥₃ = 3 3𝑥₁ − 𝑥₂ + 2𝑥₃ = −1

sistemaga teng kuchli va cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega. 𝑥₃ ga ixtiyoriy qiymatlar berib, 𝑥₁ va 𝑥₂ ning unga mos qiymatlarini topamiz. Masalan, 𝑥₃ = 1 da
_{ 2𝑥₁ + 3𝑥₂ = 4 3𝑥₁ − 𝑥₂ = −3
sistemani hosil qilamiz, uni yechib 𝑥 = − ⁵ , 𝑥 = ¹⁸ ni topamiz. 𝑥 = 0 da 𝑥 =

1, 𝑥₃ = 0 ga ega bo`lamiz.
1 ₁₁ 2 ₁₁ 1 2

n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari.

n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishga ega:
𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐_1
{ 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₂
… … … … … … … … … … … … … … …
𝑎_𝑛1𝑥₁ + 𝑎_𝑛2𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐_𝑛

(3)

Bu yerda 𝑎_𝑖𝑘 sonlarga sistemaning koeffitsientlari, 𝑐_𝑖 ozod hadlar, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛
– noma’lumlar deyiladi.
Ta’rif. Agar (3) sistemaning har bir tenglamasidagi 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 noma’lumlar o`rniga mos ravishda 𝛼<sub>1</sub>, 𝛼<sub>2</sub>, … , 𝛼<sub>𝑛</sub> qiymatlar qo`yilganda sistemaning barcha tenglamalari ayniyatga aylansa, 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 sonlar (3) sistemaning yechimi deyiladi.
Sistemaning yechimi mavjud bo`lish – bo`lmasligi quyidagi determinantga bog’liqdir:
^𝑎11 ^𝑎12 ^{… 𝑎1𝑛}
∆= |^{𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛} | (4)

…
^𝑎𝑛1
…
^𝑎𝑛2
… …
… 𝑎_𝑛𝑛

4. 
   determinant (3) sistemaning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan. Agar ∆≠ 0 bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi va bu yechim
   

formulalar yordamida topiladi.
𝑥_𝑖
= ∆_𝑥𝑖
∆
(𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅)

Bunda ∆_𝑥1 determinant ∆ determinantning birinchi ustun elementlarini (3) tenglamalar sistemasining ozod hadlari bilan almashtirishdan hosil qilinadi; ∆_𝑥2 esa
∆ determinantning ikkinchi ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan
hosil bo`ladi; ∆<sub>𝑥3</sub> … ∆<sub>𝑥𝑛</sub> lar ham shunga o`xshash hosil qilinadi.
(3) tenglamalar sistemasini yechishning bunday usuli Kramer usuli deyiladi.
Demak, (3) sistemani yechish uchun (n+1) ta determinant tuzish va hisoblash kerak bo`ladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.

Biz yuqorida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lgan chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tanishdik va bunday sistemaning determinant noldan farqli bo`lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo`lishini ko`rdik.
Endi ixtiyoriy, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bunday sistema uchun yechim yagona bo`lmasligi yoki umuman yechim mavjud bo`lmasligi ham mumkin. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo`lmasa, sistema birgalikda

bo`lmagan sistema deyiladi. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lsa, bunday sistema birgalikda deb hisoblanadi.
Koeffitsientlari sonlardan iborat bo`lgan tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun qulay bo`lgan noma`lumlarni ketma – ket yo`qotish (chiqarish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko`rsatamiz.
Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₁

_{ 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₂
… … … … … … … … … … … … … … …
(5)

𝑎_𝑚1𝑥₁ + 𝑎_𝑚2𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐_𝑚

4. 
   da 𝑎₁₁ ≠ 0 deb faraz qilaylik. Dastlab birinchi tenglamadan tashqari barcha
   

tenglamalardan 𝑥₁ ni yo`qotib, (5) sistemani o`zgartiramiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 𝑎₁₁ ≠ 0 ga bo`lib chiqamiz. Natijada (5) sistemaga ekvivalent bo`lgan yangi sistemani hosil qilamiz:

𝑥 + ^𝑎12 𝑥
+ ⋯ + ^𝑎1𝑛 𝑥
= 𝑐 /𝑎

_ﻟ 1 _𝑎11 2
^𝑎11 ^𝑛
1 11

𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₂
^❪ … … … … … … … … … … … … … … …

4. 
   

𝗅𝑎_𝑚1𝑥₁ + 𝑎_𝑚2𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐_𝑚
Endi (6) sistemaning birinchi tenglamasini 𝑎₂₁ ga ko`paytiramiz va uni ikkinchi tenglamadan ayiramiz. So`ngra birinchi tenglamani 𝑎₃₁ ga ko`paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada quyidagi, yana (5) sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:
𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎₁̀_𝑘𝑥_𝑘 + 𝑎₁̀_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₁̀

^ﻟ 𝑎₂₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎₂̀_𝑘𝑥_𝑘 + 𝑎₂̀_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐₂̀ ^I … … … … … … … … … … … … … … … …
𝑎 ̀ 𝑥 + ⋯ + 𝑎 ̀ 𝑥 + 𝑎 ̀ 𝑥 = 𝑐

4. 
   (7)
   

_❪ 𝑖2 2
𝑖𝑘 𝑘
𝑖𝑛 𝑛 𝑖

bunda
_I … … … … … … … … … … … … … … … …

𝗅 𝑎_𝑚̀ ₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑚̀ _𝑘𝑥_𝑘 + 𝑎_𝑚̀ _𝑛𝑥_𝑛 = 𝑐_𝑚̀

𝑎 ̀ = ^𝑎1𝑘 ; 𝑎 ̀ =
₋ ^𝑎1𝑘 _𝑎
𝑖 = 2,3, … 𝑚
( )

1𝑘
^𝑎11
𝑖𝑘
𝑖𝑘
^𝑎11
𝑖1
𝑘 = 2,3, … 𝑛

𝑐 ̀ = ^𝑐1 ; 𝑐̀ =
₋ 𝑐_{1 𝑎}
⁽𝑖 = 2,3 … 𝑚⁾

1 _𝑎11 𝑖
^{𝑖 𝑎}11
𝑖1

Endi (7) sistemaning ikkinchi tenglamasini 𝑎₂₂ koeffitsientga bo`lamiz va
hosil bo`lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma – ket 𝑎₃₂, 𝑎_𝑚̀ ₂ koeffitsientlarga ko`paytirib uchinchi tenglamadan boshlab navbati bilan ayiramiz. Natijada (7) ga teng kuchli sistema hosil bo`ladi.
Agar (5) sistema birgalikda bo`lsa, u holda natijada quyidagi
𝑥₁ + 𝑏₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑏_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝐵₁

{
𝑥₂ + ⋯ + 𝑏_2𝑘𝑥_𝑘 + ⋯ + 𝑏_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝐵₂
… … … … … … … … … … … … …
𝑥_𝑝 + ⋯ + 𝑏_𝑝𝑛𝑥_𝑛 = 𝐵_𝑝

4. 
   

sistemaga (bunda p) yoki

𝑥₁ + 𝑏₁₂𝑥₂ + ⋯ 𝑏_1𝑘𝑥_𝑘 + ⋯ + 𝑏_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝐵₁

^ﻟ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑏_2𝑘𝑥_𝑘 + ⋯ + 𝑏_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝐵₂ ^I … … … … … … … … … … … … …
_❪ 𝑥_𝑘 + ⋯ + 𝑏_𝑘𝑛𝑥_𝑘 = 𝐵_𝑘

4. 
   (9)
   

_I … … … … … … … …
𝗅 𝑥_𝑛 = 𝐵_𝑛
sistemaga ega bo`lamiz. (8) sistema pog’onali sistema, (9) sistema esa uchburchak sistema deb ataladi.
(9) sistema uchburchak bo`lgan holda so`nggi tenglamadan 𝑥<sub>𝑛</sub> ni topamiz, so`ngra 𝑥_𝑛 ning qiymatini oldingi tenglamaga qo`yib 𝑥<sub>𝑛−1</sub> ni topamiz va hokazo.
Demak, agar (5) tenglamalar sistemasi bir qator elementar almashtirishlarni
bajargandan so`ng (9) uchburchak sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistemaning birgalikda va u yagona yechimga ega ekenligi kelib chiqadi.
Agar (5) sistema (8) pog’onali sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistema yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
(8) tenglamalar sistemasini quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:
𝑥₁ + 𝑏₁₂𝑥₂ + ⋯ + 𝑏_1𝑝𝑥_𝑝 = 𝐵₁ − 𝑏_1𝑝+1𝑥_𝑝+1 − ⋯ − 𝑏_1𝑛𝑥_𝑛,

ﻟ
𝑥₂
+ ⋯ + 𝑏_2𝑝
𝑥_𝑝
= 𝐵₂
^{− 𝑏}2𝑝+1
^𝑥𝑝+1
− ⋯ − 𝑏_2𝑛
𝑥_𝑛

_❪ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
^{𝗅 𝑥}𝑝 ^{= 𝐵}𝑝 ^{− 𝑏}𝑝,𝑝+1^𝑥𝑝+1 ^{− ⋯ − 𝑏}𝑝𝑛^𝑥𝑛
Bu sistemadagi 𝑥_𝑝+1, … , 𝑥_𝑛 noma’lumlarga ixtiyoriy 𝛼_𝑝+1, … , 𝛼_𝑛 qiymatlar berib, uchburchak sistemani hosil qilamiz. Undan esa qolgan barcha 𝑥_𝑝, 𝑥_𝑝−1, … , 𝑥₁ noma’lumlarni ketma – ket topamiz. 𝛼_𝑝+1, … , 𝛼_𝑛 sonlar turli qiymatlarni qabul qilishligidan (5) sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega ekanligi kelib chiqadi.

5. 
   – misol. Quyidagi sistemani Gauss usul bilan yeching:
   

𝑥₁ + 2𝑥₂ − 3𝑥₃ + 5𝑥₄ = 1
𝑥₁ + 3𝑥₂ + 3𝑥₃ + 22𝑥₄ = −1
^{ 3𝑥₁ + 5𝑥₂ + 𝑥₃ − 2𝑥₄ = 5
2𝑥₁ + 3𝑥₂ + 4𝑥₃ − 7𝑥₄ = 4
Yechish. Birinchi tenglamani ketma – ket 1,3,2 sonlarga ko`paytirib, so`ngra ikkinchi, uchinchi va to`rtinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak,
𝑥₁ + 2𝑥₂ − 3𝑥₃ + 5𝑥₄ = 1

sistemaga ega bo`lamiz.
_{ 𝑥₂ − 10𝑥₃ + 17𝑥₄ = −2
−𝑥₂ + 10𝑥₃ − 17𝑥₄ = 2
−𝑥₂ + 10𝑥₃ − 17𝑥₄ = 2

Endi ikkinchi tenglamani uchinchi va to`rtinchi tenglamalarga qo`shib, natijada quyidagi sistemani hosil qilamiz:
𝑥₁ + 2𝑥₂ − 3𝑥₃ + 5𝑥₄ = 1

Oxirgi ikkita tenglama
_{ 𝑥₂ − 10𝑥₃ + 17𝑥₄ = −2
0 = 0
0 = 0

0 ∙ 𝑥₁ + 0 ∙ 𝑥₂ + 0 ∙ 𝑥₃ + 0 ∙ 𝑥₄ = 0
ko`rinishdagi tenglama bo`lib, u noma’lumning har qanday qiymatida ham o`rinli
bo`lgani uchun uni tashlab yuboramiz.
Ikkinchi tenglamani qanoatlantiradigan noma`lumning qiymatini topsh uchun
𝑥<sub>3</sub> va 𝑥<sub>4</sub> larga ixtiyoriy qiymatlarni beramiz. Masalan, 𝑥<sub>3</sub> = 𝛼, 𝑥<sub>4</sub> = 𝛽 bo`lsin, u holda 𝑥₂ = 10𝛼 − 17𝛽 − 2 bo`ladi. Bu 𝑥<sub>2</sub>, 𝑥<sub>3</sub>, 𝑥<sub>4</sub> larning qiymatlarini birinchi tenglamaga qo`yib 𝑥₁ = −17𝛼 + 29𝛽 + 5 ni topamiz. Sistemaning yechimi
𝑥₁ = −17𝛼 + 29𝛽 + 5;
𝑥₂ = 10𝛼 − 17𝛽 − 2; 𝑥₃ = 𝛼; 𝑥₄ = 𝛽
bo`lib 𝛼 va 𝛽 ning ixtiyoriy qiymatlarida berilgan sistemaning hamma yechimlarini
beradi.

6. 
   – misol. Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching:
   

𝑥₁ + 𝑥₂ − 3𝑥₃ = 7
{^{2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1} 2𝑥₁ − 𝑥₂ + 2𝑥₃ = 6
Yechish. Birinchi tenglamaning barcha hadlarini 2 ga ko`paytirib, undan
ikkinchi va uchinchi tenglamalarni ayiramiz. Natijada quyidagi ko`rinishdagi sistemaga ega bo`lamiz:
𝑥<sub>1</sub> + 𝑥<sub>2</sub> − 3𝑥<sub>3</sub> = 7
{ <sup>−𝑥2 − 7𝑥3 = 13</sup>
3𝑥<sub>2</sub> − 8𝑥<sub>3</sub> = 8
Ikkinchi va uchinchi tenglamalar faqat 𝑥<sub>2</sub> va 𝑥<sub>3</sub> nomalumlarga ega. Ikkinchi
tenglamaning hadlarini 3 ga ko`paytirib, uchinchi tenglamaga qo`shamiz. Natijada quyidagi sistema hosil bo`ladi:
𝑥₁ + 𝑥₂ − 3𝑥₃ = 7
{ ^{−𝑥2 − 7𝑥3 = 13}
−𝑥₃ = 13
Uchinchi tenglamadan: 𝑥₃ = −13, buni ikkinchi tenglamaga qo`yib 𝑥<sub>2</sub>
noma`lumni topamiz:
−𝑥₂ − 7 ∙ ⁽−13⁾ = 13,
𝑥₂ = 78
𝑥₃ va 𝑥₂ noma’lumlarning qiymatlarini birinchi tenglamaga qo`yib 𝑥₁
noma’lumni topamiz.
𝑥₁ + 78 − 3 ∙ ⁽−13⁾ = 7, 𝑥₁ = −110
Javob: (-110, 78, -13)

Nazorat savollari:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Sistemaning yechimi deb-chi?
   
3. 
   Qanday sistemalarga birgalikda, aniq, aniqmas va birgalikda bo`lmagan sistemalar deyiladi?
   
4. 
   n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi uchun Kramer teoremasini nimani aniqlab beradi?
   
5. 
   Aniqmas chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yechish mumkinmi?
   
6. 
   Gauss usuli qanday usul?