Ma’ruza sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvi

Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti.
Qatorlarning yaqinlashishi va uzoqlashishi masalasini koʻrib chiqamiz.
Qator yaqinlashuvchi boʻlishining zaruriy sharti:Agar qator yaqinlashsa, u holda .
Qator uzoqlashuvchi boʻlishining 9qator uzoqlashishining) etarli sharti : Agar boʻlsa, qator uzoqlashadi.
Teorema: Agar qator yaqinlashsa, n cheksiz oʻsib borganda uning n- hadi nolga intiladi.
Isboti; Faraz qilaylik,

qator yaqinlashsin, ya’ni tenglik ham oʻrinli, chunki boʻladi. Birinchi tenglikdan ikkinchi tenglik hadlab ayirib, quyidagini hosil qilamiz., lekin
yoki ,lekin ga teng.
Demak,
Natija: Agar da qatorning n- hadi nolga intilmasa, u holda qator uzoqlashadi.
Misol: qator uzoqlashadi, chunki
Bu alomat faqat zaruriy shartlardir, etarli emas, ya’ni n- hadining nolga intlishidan, qatorning yaqinlashishi kelib chiqmasligini, qator uzoqlashuvchi ham boʻlishi mumkinligini takidlaymiz.
Masalan, garmonik qator deb aytiladigan ushbu

Qator boʻlsa ham, uzoqlashadi.
Qatorning xossalari.
Teorema-1: Agar berilgan qatorning bir qancha hadlarini tashlash bilan hosil qilingan qator yaqinlashsa, berilgan qatorning oʻzi ham yaqinlashadi. Aksincha, agar berilgan qator yaqinlashsa, uning bir qancha hadlarini tashlash bilan hosil qilingan qator ham yaqinlashadi.
Demak, qatorning chekli sondagi hadlarini yaqinlashishiga ta’sir qilmaydi.
Teorema. 2: Agar (2) qator yaqinlashsa va yigʻindisi S ga teng boʻlsa, (3)nqator ham yaqinlashadi va yigʻindisi cS ga teng boʻladi, bunda c biror belgilangan oʻzgarmas son.
Isboti: (2) qatorning n- qismiy yigʻindisini bilan, (3) qatorning qismiy yigʻindisini esa bilan belgilaymiz. U holda

Bundan boʻlgani uchun (3) qator n- qismiy yigʻindisining limiti mavjud ekanligi kelib chiqadi. Demak, (3) qator yaqinlashadi va uning yigʻindisi cS ga teng.
Teorema 3: Agar


qatorlar yaqinlsa va ularning yigʻindilari mos ravishda va ga teng boʻladi.