Matematik induksiya metodi va uning bazi tadbiqlari

Matematik induksiya metodi va uning bazi tadbiqlari
MUNDARIJA
1 . Kirish
2. Asosiy qism
I-bob Matematik induksiya metodining natural sonlar arifmetikasi, ayniyatlarni, tengsizliklarni isbotlash hamda yig'indi va ko'paytmalarni hisoblashda qo'llanilishi.
1-§Deduktiv va induktiv fikrlash.To'la va to'lamas induksiya.
2-§Matematik va umumlashgan matematik induksiya metodi haqida.
3-§Natural sonlar arifmetikasi va matematik induksiya metodi .
4-§Ayniyatlarni isbotlash va yig'indi va ko'paytmalarni hisoblashda matematik induksiya.
5-§Tengsizliklarni isbotlashda matematik induksiya .
II-bob Matematik induksiya metodining sonli ketma-ketliklarning limitini hisoblash hamda trigonometriya va geometriyaning ba'zi masalalariga tadbiqi.
6-§ Sonli ketma-ketliklarni limitini hisoblashda matematik induksiya metodining qo'llanishi .
7-§Trigonometriyaning ba'zi masalariga matematik induksiya metodining qo'llanishi .
8-§Geometriyaning ba'zi masalalariga matematik induksiya metodining qo'llanishi.
3 Xulosa
4 Foydalanilgan adabiyotlar

Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni asosiy qonuniyatlarini bilib olish bilan birga shu fandagi taqdiq qilish metodlarini o'zlashtirishni ham u o'rganadigan obektlarni qonuniyatlarni ochuvchi qator metodlarni yaratilgan.Ularning ba'zilari muayyan masalalar uchun maxsus yaratilgan bo'lsa ,ayrimlari umummatematik ahamiyatga egadir .

Ana shunday umumiy harakterdagi metodlarni mukammal egallash matematika fani sohasida yaxshi mutaxassis bo'lishining ,uning ichki sirlarini anglab etishining zaruriy shartidir .
Matematik induksiya metodi matematikaning turli-tuman ,hatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo'llaniladigan metoddir.Avvalo bu metod o'zining juda sodda bo'lgan g'oyasi bilan etiborga sazovor. |Ikkinchidan ,bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning anniq bayonini keltirishda malum "topog'onlik "ni talab etishi bilan ham harakterlidir.
Matematik induksiya elementar matematikaning barcha sohalardagina emas ,balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo'limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omillidir.
Ushbu bo'lim matematik induksiya metodining asosiy prinsiplarini bayon etishda ,uning turli sohalarga tadbiqlarini ko'rsatishga va shular orqali bu metodni o'zlashtirishni taminlashga mo'ljallangan.

Deduktiv va induktiv fikrlash.To'la va to'lamas induksiya

Odatda , biror jarayon yoki vokea to'g'risida fikr yuritishning ikki formasi farq qilinadi :deduktiv fikrlash va induktiv fikrlash.
Deduksiya-fikrlashning umumiy tasdiqlardan xususiy tasdiqlarga o'tish formasidir (deduksiya so'zi mantiqiy xulosani bildiradi). Misollar ko'raylik.
a-misol.
Bir va o'zidan boshqa bo'luvchilarga ega bo'lgan sonlar murakkab sonlar to'plamini tashkil etadi. (A)
9 soni 1 va 9 dan boshqa3 ga bo'linadi. (B)
9 murakkab son. (V)
b-misol
Barcha to'rtburchaklar ko'pburchaklar oilasiga tegishli . (A)
ABCD trapedsiya -to'rtburchak . (B)
ABCD trapedsiya ko'pburchaklar oilasiga tegishli . (V)
Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (V) xususiy tasdiq hosil qilinadi.
INDUKSIYA –fikrlashning xususiy tasdiqlardan umumiy tasdiqga o'tish formasidir .
v-misol
140 soni 5 ga bo'linadi . (A)
Nol bilan tugaydigan barcha sonlar 5 ga bo'linadi. (B)
(A)xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilingan.
(B) tasdiq to'g'ridir .
g-misol .
140 soni 5ga bo'linadi .
Barcha 3xonali sonlar 5 ga bo'linadi.

1. 
   hususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq noto'g'ridir. b va g misollardan ko'rinadiki induksiya to'g'ri hamda noto'g'ri hulosalarga olib kelishi mumkin .
   

Tadqiqotchi biror faktni isbotlashda avval,turli mulohazalar yordamida bu faktning borligini fahmlashi ,uni isbotlashga kirishishdan avval esa isbotlash g'oyalarini anglab yetish kerak bo'ladi.
Deduksiya va induksiya bir-birini to'ldiruvchi fikrlash formalaridir.Haqiqatan ham , isbotlanishi kerak bo'lgan tasdiqlar (gipotezalar ) kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo'l bilan hosil qilinadi,so'ngra bu tasdiqning to'g'riligi isbotlashning biror deduktiv metodi yordamida ko'rsatiladi .
Induksiya metodi fizika,kimyo va boshqa tabbiy fanlarda,shuningdek,matematikada ham keng qo'llaniladi,yani bu metod yordamida turli matematik tasdiqlar (gipotezalar)hosil qilinadi. Bunga misollar keltiraylik :
1-misol ikki sonning ketma-ket kelgan 3ta darajasining yig'indisini qaraylik:
2+2² +2³=14
Hosil bo'lgan son 7 ga bo'linadi .Endi
2²+2³+2⁴=28
Hosil bo'lgan son 7 ga karrali .Navbatdagi darajalarni ko'raylik:
2³+ 2⁴+2⁵=56
Hosil bo'lgan son 7 ga karrali .
Bajarilganlarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin .2 sonning ixtiyoriy 3ta ketma –ket kelgan darasining yig'indisi 7 ga karralidir ,yani ixtiyoriy n N uchun 2 +2ᶯ⁺¹+2ᶯ⁺² yig'indi 7 ga qoldiqsiz bo'linadi.
2-misol .1,2,3 sonlarning kublarini qaraylik:
1³+2³+3³=36
o'ng tomonda 6 ning kvadrati hosil bo'ladi .Qo'shiluvchilarni 1taga ortiraylik,u xolda
1³+2³+3³+4³=100.
Bu xolda xam o'ng tomondan butun son-o'nning kvadrati xosil bo'ldi.Qo'shiluvchilarning sonini yana bittaga orttiramiz,u xolda
1³+2³+3³+4³+5³=225
Bu holda ham o'ng tomonda butun son -o'n beshning kvadrati hosil bo'ldi.Bu tekshirishlar natijasini quyidagicha yozib olaylik .
1³=1=1²
1³+2³=9=3²
1³+2³+3³=36=6²
1³+2³+3³+4³+5³=225=15²
Shuningdek:
1³+2³+3³+4³+5³+6³=441=21²
1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³=784=28²
Tuzilgan jadvalga asoslanib ,induktiv ravishda ushbu gipotezani hosil qilamiz :birinchi n ta natural sonlar kublarining yig'indisi aniq kvadratdir.
Tekshirishimizni davom ettiraylik .O'ng tomonda hosil bo'lgan kvadratlar haqida nima deyish mumkin?Hosil bo'lgan kvadratlarning asoslari uchun quyidagi jadvalni tuzaylik:
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
21=1+2+3+4+5+6+7
Bu mulohazalarni e'tiborga olib yuqorida keltirilgan gipotezani quyidagicha, aniq formada,bayon etishimiz mumkin.Birinchi n ta natural sonlar kublarining yig'indisi shu sonlar yig'indisining kvadratiga teng ,yani n=1,2,3……sonlar uchun
1³+2³+3³+4³+5³+6³+….+n³=(1+2+3+….+n)². (1.1)
3-misol Ushbu ko'phadni qaraylik:
P(x)=x²+x+41.
Bu ko'phaddagi x o'rniga ketma –ket 0,1,2,3,4,5 sonlarni qo'yaylik natijada ushbu
P(0)=41 ,P(1)=43,P(2)=47,P(3)=53,P(4)=61,P(5)=71
tub sonlar hosil bo'ladi.So'ngra x o'rniga -1,-2,-3,-4,-5 larni qo'ysak :
P(-1)=41, P(-2)=43,P(-3)=47 ,P(-4)=53,P(-5)=61
yana tub sonlarga ega bo'lamiz.Shuningdek, x o'rniga ±6,±7,±8larni qo'ysak:
P(-6)=71: P(6)=83: P(-7)=83: P(7)=97: P(-8)=97: P(8)=97
Tub sonlar hosil bo'ladi.
Olingan natijalarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin :
P(x)uchhaddagi x o'rniga ixtiyoriy butun sonni qo'yish natijasida tub son hosil bo'ladi.
Yuqoridagi har uchta misolda ham gipotezalar induksiya yordamida hosil qilindi ,ammo yuritilgan mulohazalar keltirilgan gipotezalarning isboti bo'lib xizmat qila olmaydi.
Avval aytilganidek, induksiya yordamida ochilgan qonuniyatlar to'g'ri bo'lishi ham,noto'g'ri bo'lishi ham mumkin .
Shu sababli ,induksiya yordamida hosil qilingan qonuniyatlarning to'g'ri yoki noto'g'ri ekani biror deduktiv metod yordamida qatiiy isbotlanmog'i kerak.
1-misoldagi gipotezaning to'g'riligini quyidagicha tekshirsa bo'ladi:
2ᶯ+2ᶯ⁺¹+2ᶯ⁺²=2ᶯ*7
3-misoldagi gipoteza esa hatodir ,yani shunday musbat butun x₀ sonni topish mumkinki,P(x₀) tub son bo'lmaydi.Bunda x₀ sifatida x₀=40 ni olish mumkin.U holda P(40)=41².-murakkab son .Shuningdek ,x₀=-41 bo'lsa, P(-41)=41².
Tadqiqot jarayonida bir necha xususiy hollarning to'g'riligiga asoslanib xulosa chiqarish to'lamas induksiya deyiladi.To'lamas induksiya yordamida hosil qilingan va keyinchalik xato ekani aniqlangan yana bir nechta misol keltiraylik.
4-misol Leybnis har qanday butun musbat son uchun n³-n soni 3 ga,n⁵-n soni 7 ga bo'linishini isbotladi va ularga asoslanib :Har qanday toq k va ixtiyoriy n natural son uchun nᵏ-n soni k ga bo'linadi"degan gipotezani aytdi.
Keyinchalik uning o'zi bu gipotezaning noto'g'riligini isbotladi,yani 2⁹-2=510soni 9 ga bo'linmasligini ko'rsatdi.
6-misol 991n²+1ifodada n o'ringa ketma-ket 1,2,3,…..,1000 sonlarni qo'yib hisoblashni bajarsak ,biror marta ham to'la kvadratdan iborat son hosil bo'lmaydi.
Ammo ,991n²+1 ko'rinishdagi har qanday son to'la kvadrat emas degan gipoteza aytilsa ,hato qilingan bo'ladi ,chunki 29 xonali shunday m son topilganki , bu m son uchun 991m²+1 aniq kvadrat bo'ladi .
To'lamas induksiya yordamida har doim ham to'g'ri hulosaga kelib bo'lmasligini ko'rdik,uning foydali tomoni shundan iboratki ,uning yordamida gipotezani ifodalash , bayon etish mumkin bo'ladi ,so'ngra aytilgan gipotezani isbotlash yoki rad etish lozim.
Bazi muammolarni hal etish jarayonida uning barcha xusiy holarini ko'rib chiqish mumkin bo'ladi .
Bazi xususiy xollarni tahlil qilish orqali mulohaza yuritish to'la induksiya deyiladi.
To'la induksiya qo'llanilishiga oid bir nechta misol ko'raylik .
7-misol .Xar qanday kvadrat tenglamaning ildizlari yoki xaqiqiy , yoki kompleks sonlardan iborat bo'ladi .
Isboti .Malumki ax²+bx+c=0 (aǂ0 ,a,b,c-xaqiqiy sonlar) kvadrat tenglamaning ildizlari
x₁,
formula yordamida topiladi,D=b²-4ac (diskriminantning ishorasini tekshiraylik.
D>0 bo'lsa x₁,x₂ ildizlar xaqiqiy ,D<0 bo'lganda esa x₁,x₂ ildizlar kompleks son bo'ladi.
8-misol.|
f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ־¹+......+aₙ va
g(x)=b₀xⁿ+b₁xⁿ־¹+......+bₙ
bir xil darajali ko'phadlar berilgan bo'lsa,f(x)+g(x) ko'phadlarning darajasi n dan ortiq bo'lmaydi .
Isboti.Quyidagi hollar bo'lishi mumkin ;
1 ) a₀>0 ,b₀>0 yoki a₀<0¸b₀<0 bo'lsa ¸yig'indi n-darajali bo'ladi .
2) a₀>0,b₀<0 yoki a₀<0,b₀>0,lekin |a₀|ǂ|b₀| bo'lsa, yig'indi n-darajali bo'ladi.
3) a₀>0,b₀<0 yoki a₀<0,b₀>0,lekin |a₀|=|b₀| bo'lsa,yig'indining darajasi n dan kichik bo'ladi .
10-misol. Ixtiyoriy muntazam ko'pyoq uchun
U+Y+Q=2
Tenglik o'rinli ,bunda U-uchlar,Y-yoqlari ,Q-qirralari soni.
Isboti.Malumki ,muntazam ko'pyoqlar 5 xil bo'ladi ;tetraedr,oktaedr,kub,dodakaedr va ikosaedr.
Ular uchun (1,3) tasdiqning to'g'riligini ushbu jadvaldan ko'rish mumkin;

Ko'pyoqning nomi	U-uchlari soni	Q-qirralari soni	Y-yoqlari soni
Tetraedr Oktaedr Kub Dodakaedr Ikosaedr	4 6 8 20 12	6 12 12 30 30	4 8 6 12 20

To'la induksiya metodi ,o'z nomidan qatiy nazar,induktiv metod bo'lmasdan ,deduktiv metoddir,uni qo'llash jarayonida biz mantiqning umumiy holni chekli sondagi xususiy hollarga ajratish haqidagi umumiy qoidalariga asoslanamiz va bu xollarni ayrim-ayrim ko'rib chiqamiz.

Induktiv fikr yuritish orqali hosil qilingan gipotezaning to'g'ri yoki xato ekanini ko'rsatish hamma vaqt ham mumkin bo'lavermaydi.Masalan X.Goldbaks ikkidan katta juft sonlarni qarab ,ularni ikkita tub sonning yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligini aniqlagan ,ya'ni
4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=3+7; 12=5+7; 14=7+7; 16=3+13; 20=3+17
va hokazo
Bularni kuzatish natijasida "Ixtiyoriy juft sonni ikkita tub son yig'indisi sifatida ifodalash mumkin"-degan gipotezani bayon etgan .
Bu gipoteza fanda Goldbax problemasi deb yuritiladi va hanuzgacha hal etilmagan.
Sovet matematika I.M.Vinogratov bu yo'nalishda ancha yaxshi natijaga erishgan ,ya'ni yetarlicha katta juft sonni to'rtta tub son yig'indisi sifatida ifodalash mumkinligi isbotlangan.