Matеmatik statistikaning asоsiy masalalari

I. Gamma taqsimot va uning xossalari.
1.-Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi

(1)

ko‘rinishda bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdor gamma taqsimotiga ega deyiladi, bu yerda , va - gamma funksiya: , , . Gamma taqsimotni orqali belgilaymiz.

tasodifiy miqdor xarakteristik funksiyasini hisoblaymiz:



.

Demak, . Xarakteristik funksiya yordamida gamma taqsimot momentlarini oson hisoblash mumkin: , .

Xossalari:
1) Agar bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lib, bo‘lsa, u holda ning taqsimoti bo‘ladi.
Bu xossani isbotlash uchun xarakteristik funksiyalardan foydalanamiz. taqsimotning xarakteristik funksiyasi ga teng. Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisining xarakteristik funksiyasi xarakteristik funksiyalar ko‘paytmasiga teng ekanligidan foydalansak, tasodifiy miqdor xarakteristik funksiyasi

bo‘ladi. xarakteristik funksiya esa taqsimotning xarakteristik funksiyasidir.

2) Agar standart normal taqsimotga ega bo‘lsa, u holda tasodofiy miqdor taqsimotga ega bo‘ladi.Buni ko‘rsatish uchun avval tasodifiy miqdorning taqsimotini topamiz. Agar bo‘lsa: , bo‘lsa:

bo‘ladi. Bu yerda - standart normal taqsimotning taqsimot funksiyasi. Endi tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topamiz. da:

.

da: .
Demak, tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi

,

taqsimot zichlik funksiyasiga teng ekan.
3) taqsimot parametrli ko‘rsatkichli taqsimotdir.
Agar bo‘lsa, uning zichlik funksiyasi - parametrli ko‘rsatkichli taqsimot zichlik funksiyasidir.
4) Agar bog’liqsiz va standart normal taqsimotga ega tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Bu xossaning isboti 1) va 2) xossalargan kelib chiqadi.