Matematika yo`nalishi (1)

2.2. . Ikkinchi tur egri chiziqli integral va uni hisoblash
1.Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar ta’rifi.
4-Ta'rif. Tekislikda biror sodda AB(egri chiziqni qaraylik. Bu egri chiziqda
f(x,y) funksiya berilgan bo’lsin. AB egri chiziqning
bo’laklanishini va uning har bir
Yoyida ixtiyoriy
nuqtani
olaylik.
Berilgan
funksiyaning
nuqtadagi
qiymatini
ning Ox (Oy) o`qidagi
proeksiyasiga ko’paytirib quyidagi
yig’indini tuzamiz:

---

(2.7)
Endi AB egri chiziqning shunday P1,P2, … ,Pm,… bo’laklari ketma-ketligini
qaraymizki, ularning diametrlaridan tashkil topgan mos
ketma-ketlik nolga intilsin:
Bunday bo’laklashlarga nisbatan (2.7) kabi yig’indilarni tuzib ushbu
ketma-ketlik hosil qilamiz.
Agar AB egri chiziqning har qanday ko’rinishdagi bo’laklashlari
ketma-ketligi {
} olinganda ham, unga mos yig’indilardan iborat
𝑃
𝑚
ketma-ketlik
nuqtalarning
tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan ravishda hamma vaqt bitta J ′ songa ( J ′ ′
songa) intilsa, bu son σ′ (σ′′) yig’indining limiti deb ataladi va
(2.8)
kabi belgilanadi. σ′ (σ′′) yig’indining bu limitini quyidagicha ham ta’riflash
mumkin.
Agar ∀ε>0 olinganda ham, shunday δ>0 topiladiki, AB egri chiziqning
diametri
bo’lgan har qanday P bo’laklash uchun tuzilgan σ′(σ′′)
yig’indi ixtiyoriy
nuqtalarda

---

tengsizlikni bajarsa, J′ son ( J′′ son) σ′ yig’indining σ′′ yig’indining
dagi limiti deb ataladi va (2.8) kabi belgilanadi. Yig’indi limitining bu ta’riflari
ekvivalent ta’riflardir.
Agar
da σ′ yig’indi ( σ′′ yig’indi) chekli limitga ega bo’lsa,
F(x,y) funksiya AB egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Bu limit
f(x,y) funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur egri chiziqli
integrali deb ataladi va u
(2.9)
kabi belgilanadi. Demak,
(2.10)
Shunday qilib, AB egri chiziqda berilgan f(x,y) funksiyadan ikkita Ox
o’qidagi proeksiyalar vositasida va Oy o’qidagi proeksiyalar vositasida
olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchalar kiritildi.
Faraz qilaylik, AB egri chiziqda ikkita P(x,y) va Q(x,y ) funksiyalar
berilgan bo’lib,
(2.11)
lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari bo’lsin. Ushbu

---

yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi..
Demak,
(2.12)
Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
Ikkinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqning yo’nalishiga bog’liq
bo’ladi. Shuni isbotlaylik :
Ma’lumki AB egri chiziqda ikkita yo’nalish ( A nuqtadan B nuqtaga va B
nuqtadan A nuqtaga) olish mumkin (AB , BA,A B)
≠
egri chiziqning yuqoridagi P bo’laklashni olib, bu bo’laklashga nisbatan
(2.7)yig’indini tuzamiz:
Aytaylik,
da bu yig’indi chekli limitga ega bo’lsin:
(2.13)
Endi AB ning usha P bo’laklashini hamda har bir 𝐴
𝑘
, 𝐴
𝑘+1
dagi usha
nuqtalarni olib, AB egri chiziqning yo’nalishini esa B dan A
ga qarab deb ushbu yig’indini tuzamiz:
da bu yig’indi chekli limitga ega bo’lsa, u ta’rifga binoan ushbu

---

integral bo’ladi:
Agar
ekanligini e’tiborga olsak, u holda
da σ1 yig’indining chekli limitga ega
bo’lishidan σ1 yig’indining ham chekli limitga ega bo’lishi va
tenglikning bajarilishini topamiz. Demak,
Xuddi shunga o’xshash
bo`ladi .
A egri chiziq Ox o’qiga ( Oy o’qiga) perpendikulyar bo’lgan
to’g’ri chiziq kesmasidan iborat bo’lib, f(x,y) funksiya shu chiziqda berilgan
bo’lsin. U holda
mavjud va
bo’ladi.
Bu tenglik bevosita ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan kelib chiqadi.
Endi AB-sodda yopiq egri chiziq bo’lsin, ya’ni A va B nuqtalar ustma-ust

---

tushsin. Bu yopiq chiziqni K deb belgilaylik. Bu sodda yopiq chiziqda ham ikki
yo’nalish bo’ladi. Ularning birini musbat yo’nalish, ikkinchisini manfiy yo’nalish
deb qabul qilaylik. Shunday yo’nalishni musbat deb qabul qilamizki,
kuzatuvchi yopiq chiziq bo’ylab harakat qilganda, yopiq chiziqbilan chegaralangan
soha unga nisbatan har doim chap tomonda yotsin. Faraz qilaylik, sodda yopiq
chiziqda f(x,y) funksiya berilgan bo’lsin. Bu K chiziqda ixtiyoriy ikkita turli
nuqtalarni olib, ularni A va B bilan belgilaylik. Natijada, K yopiq chiziq ikkita
chiziqlarga ajraladi chiziqlarga ajraladi
Ushbu
integral (agar u mavjud bo’lsa) f(x,y)funksiyaning K yopiq chiziq bo’yicha
ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va
(2.14)
kabi belgilanadi. Bunda K yopiq chiziqning musbat yo’nalishi olingan.

---

(Bundan buyon yopiq chiziq bo’yicha olingan integrallarda, yopiq chiziq
musbat yo’nalishda deb qaraymiz). Demak,
Xuddi shunga o’xshash
integrallar ta’riflanadi.
BA( fazoviy egri chiziq bo’lib, bu chiziqda f(x,y,z) funksiya berilgan
bo’lsin. Yuqoridagidek, f(x,y,z) funksiyaning AB egri chiziq bo’yicha ikkinchi tur
egri chiziqli integrallari ta’riflanadi va ular
kabi belgilanadi. Umumiy holda, P(x,y,z) , Q(x.y.z) , R(x,y,z) funksiyalar
berilgan bo’lib, ushbu
integrallar mavjud bo’lsa,
yig’indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko’rinishi deb ataladi va u
(2.15)
kabi belgilanadi. Demak,

---