Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

Lagrange teoremasi... y = f (x) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) [a, b] segmentida uzluksiz;
2) (a, b) oraliqda differentsiallanuvchi.
Keyin segment ichida kamida bitta shunday c nuqta mavjud bo'lib, unda ikkinchi hosila ushbu segmentdagi argumentning o'sishiga funktsiyalar o'sishining bo'linish qismiga teng:
.
Hech qanday dalil.
Lagrange teoremasining fizik ma'nosini tushunish uchun biz shuni ta'kidlaymiz
butun [a, b] oraliqdagi funksiyaning oʻrtacha oʻzgarish tezligidan boshqa narsa emas. Shunday qilib, teorema shuni ko'rsatadiki, segment ichida kamida bitta nuqta mavjud bo'lib, bunda funktsiyaning "lahzali" o'zgarish tezligi uning butun segmentdagi o'zgarishining o'rtacha tezligiga teng bo'ladi.

Lagranj teoremasining geometrik ma'nosi 3.5-rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, ifoda
o'zida aks ettiradi qiyalik AB akkordasi yotadigan to'g'ri chiziq. Teorema shuni ko'rsatadiki, funktsiya grafigida kamida bitta nuqta mavjud bo'lib, unga tegish bu akkordga parallel bo'ladi (ya'ni, tangensning qiyaligi - hosila - bir xil bo'ladi).
Xulosa: agar biron bir oraliqda funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lsa, bu oraliqda funktsiya bir xil doimiy bo'ladi.
Haqiqatan ham, keling, bu oraliqda bo'shliqni olaylik. Lagranj teoremasiga ko'ra, bu oraliqda c nuqtasi mavjud
... Demak, f (a) - f (x) = f `(s) (a - x) = 0; f (x) = f (a) = konst.
Lopital qoidasi... Ikki cheksiz kichik yoki cheksiz katta funktsiyalarning nisbati chegarasi, agar ikkinchisi ko'rsatilgan ma'noda mavjud bo'lsa, ularning hosilalari nisbati chegarasiga (cheklangan yoki cheksiz) tengdir.
Boshqacha qilib aytganda, agar shaklning noaniqligi bo'lsa
, keyin
.
Hech qanday dalil.
Chegaralarni topish uchun L'Hôpital qoidasini qo'llash amaliy mashg'ulotlarda muhokama qilinadi.
Funksiyaning ortishi (kamayishi) uchun yetarli shart... Agar differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi ma’lum oraliq ichida musbat (manfiy) bo’lsa, bu oraliqda funksiya ortadi (kamayadi).
Isbot. Ushbu oraliqdan ikkita x 1 va x 2 qiymatlarini ko'rib chiqing (x 2> x 1 bo'lsin). [x 1, x 2] da Lagrand teoremasi bo'yicha c nuqta mavjud
... Demak, f (x 2) –f (x 1) = f` (s) (x 2 –x 1). U holda f` (c)> 0 uchun tengsizlikning chap tomoni musbat, ya'ni f (x 2)> f (x 1) bo'lib, funksiya ortib bormoqda. f` (c) uchun< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)<="" p="">
Teorema isbotlangan.
Funktsiyaning geometrik talqini monotonlik sharti: agar ma'lum oraliqda egri chiziqning tangenslari abscissa o'qiga nisbatan o'tkir burchaklarga yo'naltirilgan bo'lsa, u holda funktsiya oshadi, agar o'tmas burchaklarda bo'lsa, u holda kamayadi (3.6-rasmga qarang).
Eslatma: monotonlik uchun zarur shart zaifroq. Agar funktsiya ma'lum bir oraliqda ortib borsa (kamaysa), unda hosila bu oraliqda manfiy emas (musbat emas) (ya'ni, alohida nuqtalarda monoton funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lishi mumkin).

Formula 3 va 5 ni o‘zingiz isbotlang.