Matritsaning xos son va xos vektorlari haqida umumiy mulohazalar

Reja:

1. 
   Matritsaning xos son va xos vektorlari haqida umumiy mulohazalar
   
2. 
   Krilov metodi.
   
3. 
   Danilevskiy metodi.
   
4. 
   Matritsaning moduli bo‘yicha eng katta xos son va unga mos xos vektorini topish.
   

Nazariy va amaliy masalalarni yechishda ko‘pincha matritsaning xos sonlarini topish talab qilinadi. Masalan, chiziqli algebraik tenglamalar sitemasini iteratsion metod bilan yechishda va bu metodning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi matritsaning moduli bo‘yicha eng katta xos sonining miqdoriga bogiiq edi. Agar biror x vektor uchun

tenglik bajarilsa u holda X son A kvadrat matritsaning xos soni deyiladi. Bu tengilikni qanoatiantiradigan noldan farqli x vektor A matritsaning X soniga mos keladigan xos vektori deyiladi.
(1)
tenglama A matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
(2)
A matritsaning xos yoki xarakteristik ko 'phadi deyiladi. Matritsaning barcha xos sonlari va ularga mos xos vektorlami topish masalasi xos qiymatlarni to‘liq muammosi deyiladi. Xos sonlarning bittasi yoki ulaming bir qismini va mos ravishda xos vektorini topish xos qiymatlarning qismiy muammosi deyiladi. Agar A matritsaning barcha xos sonlarini topish masalasi qo‘yilgan bo'lsa, u holda uning xarakteristik tenglamasi D( ) = 0 ni tuzish kerak bo‘ladi. Buning uchun (l)dagi determinantni hisoblash lozim. Algebradan ma'lumki, (2) xarakteristik ko‘phadning koeffitsiyentlari lar A matritsaning ishora bilan olingan i-tartibli bosh minorlarining yig‘indisiga teng:
(3)
va hokazo. Demak
(4)
Bundan ko‘rinadiki, A matritsaning i-tartibli bosh minorlarining soni ga teng. Matritsaning tartibi n bo'lganligi uchun (2) ko‘phadning koeffitsiyentlarini topishda tartiblari har xil bo‘lgan

ta determenantlami hisoblash kerak. Yetarli katta n uchun bu masala katta hisoblashlami talab etadi. Viet teoremasidan foydalanib, quyidagi
(5)
tengliklarni hosil qilamiz. Buni (3)ning birinchisi va (4) bilan taqqoslasak,

kelib chiqadi. Bundan, xususan, quyidagi kelib chiqadi: matritsaning birorta xos soni nolga teng bo‘lishi uchun uning determinanti nolga teng bo‘lishi zamr va yetarlidir.
KRILOV METODI
A matritsaning xarakteristik tenglamasini quyidagicha yozaylik:
(1)
Ma'lumki (Gamilton-Keli teoremasi), har qanday matritsa o ‘zining xarakteristik tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni
(2)
Endi ixtiyoriy noldan farqli vektor olamiz va vektorlami hosil qilamiz. (2) ni o‘ngdan ga ko‘paytirsak, quyidagi vektor tenglama hosil bo‘ladi:

Bu ifodani ochib yozaylik:
(3)
(3) tenglamalar sistemasining determinanti faqat , ) vektorlar chiziqli erkli bo‘lgandagina noldan farqli bo‘ladi, chunki uning ustunlari shu vektor kordinatalaridan tuzilgan. Agar (3)ni yechishda Gauss metodining to‘g‘ri yurishidagx barcha n ta qadam bajarilgan bo‘lsa, (3) sistema quyidagi
(4)
uchburchak shaklga kelgan bo‘ladi va (3) ning determinanti noldan farqli bo'ladi. Demak, (4) dan ketma-ket lar aniqlanadi, ya’ni (1) tenglamaning koeffitsiyentlari topilgan bo‘ladi. Bu tenglamani yechib, lar, ya’ni A matritsaning xos sonlari topiladi.
Endi xos vektorlar (i = 1,2,...,n) lami topish masalasini ko‘ramiz. Buning uchun (i=1,2,…,n-1) larni vektorlar orqali yoyib olamiz:
(5)
Quyidagi ko‘phadni tuzamiz:
(6)
vektorlami mos ravishda larga ko‘paytirib chiziqli kombinatsiyasini yozamiz va (5)- (6)lami e’tiborga olsak quyidagiga
(7)
Ega bo’lamiz
Agar
i=1,2,…n demak, bo‘lganhgi uchun (7) ifoda i=1,2,…n
ko‘rinishga keladi. Demak, A matritsaning xos vektori noldan farqli ko‘paytuvchi miqdorida aniqlangan bo‘ldi. koeffitsiyentlar esa xarakteristik ko‘phadning koeffitsiyentlari orqali

rekurrent formula yordamida topiladi. Agar (3) tenglamalar sistemasini yechishda Gauss metodining to‘g ‘ri yo‘lini faqat m ta (m < n) qadami bajarilsa, u holda
vektorlar chiziqli erklidir. Shuning uchun (3) tenglamalar o ‘m iga quyidagi

tenglamalar sistemasidan m ta chiziqli erkli tenglamalami ajratib olib,
koeffitsiyentlami topamiz. So‘ng tenglamadan lami topamiz. ko‘phad A matritsaning minimal ko ‘phadi deyiladi. Xos vektor esa quyidagicha topiladi:

Bu yerda

DANILEVSKIY METODI.

Bu metodning asosiy g‘oyasi berilgan A matritsani o‘xshash almashtirishlar yordamida Frobenius
P=
normal formasiga keltirishdan iboratdir. A va R o‘xshash bo‘lganligi uchun, ya’ni P= AS ular bir xil xarakteristik ko‘phadga ega, ya’ni

R matritsaning xarakteristik ko‘phadini osongina yozish mumkin. Haqiqatan ham
=
ni birinchi satr elementlari bo‘yicha yoyib chiqsak:

bo‘ladi. Demak, R matritsaning birinchi satr elementlari lar mos ravishda uning xos ko'phadining koeffitsiyentlaridan iborat ekan. A matritsani R matritsa ko‘rinishiga keltirish uchun ketma-ket n - 1 marta o ‘xshash almashtirish yordamida A matritsaning satrlarini oxirgi satridan boshlab mos ravishda R matritsa satrlariga o‘tkaziladi. Faraz qilaylik, A matritsaning an n_x elementi noldan farqli bo‘lsin va uni ajratilgan element deymiz. A matritsani o‘ng tomondan

m atritsaga ko‘paytiramiz, natijada


hosil bo‘ladi. Matritsalami ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra, B matritsaning elementlari

formulalar yordamida aniqlanadi. Hosil bo'lgan B matritsa A matritsaga o ‘xshash bo‘lishi uchun chapdan matritsani B martitsaga ko‘paytirish kerak:

Bevosita tekshirib ko'rish bilan M quyidagi ko‘rinishda bo‘lishligiga ishonch hosil qihnadi:
=
C= B deb belgilaylik B matritsaning oxirgi yo'lini o‘zgartirmasligi yaqqol ko‘rinib turibdi. Demak, C matritsa
C=
ko‘rinishida bo‘ladi. Ko‘paytirish amali B matritsaning faqat (n — 1) satrini o‘zgartirishini anglash ham qiyin emas. Bu yerda

hosil b o ‘lgan C matritsa yl matritsaga o‘xshash va uning oxirgi satri kerakli ko‘rinishga keltirilgan. Shu bilan metodning bitta qadami bajarildi. Endi ajratilgan element bo‘lsin deb, C matritsaning satrini Frobenius formasiga keltirish uchun birinchi qadamdagi amallami C martitsaning (n - 1) satri uchun bajarish kerak, ya’ni

amallami bajarish kerak. Bu yerda

Shunday qilib, D matritsaning oxirgi ikkita satri Frobenius formasiga keltirilgan bo'ladi. Shu jarayon n — 1 marta bajarilishi mumkin bo‘lsa, A matritsa Frobenius normal formasiga keltirilgan bo‘ladi, ya’ni

Bundan foydalanib,

ni hosil qilamiz. tenglamani yechib, lar aniqlanadi. Danilevskiy metodida ajratilgan element nolga teng bo‘lsa, bu hol noregulyar hol deyiladi. Bu holda Danilevskiy metodi bilan almashtirish jarayonini davom ettirib bo‘lmaydi. Faraz qilaylik, A matritsani Frobenius ko‘rinishiga keltirishda ( n - k ) qadambajarilgan bo‘lib, quyidagi
d=

matritsa hosil bo'lgan va bo‘lsin. Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:

1-hol: dan chapdagi biror element bo‘lsa, D matritsaning (k-1) ustunini l-ustun bilan, shuningdek, (k-1) yo‘lini l-yo‘l biln ahnashtiramiz. Hosil bo‘lgan martitsa D matritsaga o‘xshash bo‘ladi va Danilevskiy metodini davom ettirish mumkin.
2-hol. bo‘lsin. U holda D
D=

ko‘rinishga ega bo‘ladi. Demak, matritsa Frobenius normal formasiga ega. Danilevskiy metodini matritsaga qo‘llab6 uni Frobenius normal formasiga keltiriladi. Endi xos vektomi topish masalasini ko‘raylik. Faraz qilaylik, A matritsaning, ya’ni R matritsaning ham barcha xos sonlari topilgan bo'lsin. R matritsaning berilgan xos soniga mos

xos vektorini topamiz. boiganligi uchun yoki
Buni ochib yozaylik:
(1)
Bu sistemadan

ni topamiz. Xos vektor xossasiga ko‘ra deb olish mumkin, u holda
(2)
ga ega bo‘lamiz. (2) ni (l)ning birinchisiga qo‘ysak, u

ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu esa hisoblash jarayonini nazorat qilishga xizmat qiladi.


tenglikni chapdan ga, so‘ng ga va h.k, oxirida ga ko‘paytirsak,

ekanligi hosil bo‘ladi. Ma’lumki, matritsa y vektoming birinchi koordinatasini o‘zgartiradi, esa M vektoming ikkinchi koordinatasini o‘zgartiradi. Shu jarayonni n 1 marta takrorlasak, x vektoming hamma koordinatalari hisoblangan bo‘ladi. Bu yo‘l bilan noregulyar holning ikkinchi variantida xos vektomi topib bo‘lmaydi. Bunday holatda xos vektomi, misol uchun, Krilov metodi bilan topish ma’quldir.

Matritsaning moduli bo‘yicha eng katta xos son va unga mos xos vektorini topish

Faraz qilaylik, A matritsaning barcha xos vektorlari chiziqli erkli bo‘lsin. Bu holda A matritsa oddiy strukturaga ega deyiladi. 1-hol. A matritsaning xos qiymatlari quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsin