Mavzu: Elektromagnetizmning asosiy qonunlari. Muhit parametrlari. Maksvell Tenglamalari differentsial va integral shaklda

Differensial va integral shakldagi Maksvell tenglamalari.
Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах.. Maksvell Tenglamalari
Endi vektorli tahlilning asosiy qoidalarini va elektr energiyasining asl qonunlarini bilib, biz Maksvell tenglamalari shaklida shakllangan elektromagnetizmning asosiy qonunlarini ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin. Ushbu tenglamalar eksperimental ma'lumotlarning eng keng umumlashtirilishi bo'lib, makroskopik elektrodinamika bilan bog'liq barcha elektromagnit jarayonlarni tavsiflaydi. Ushbu tenglamalar asosida qurilgan nazariyaning xulosalari tajribalar bilan to'liq qo'llab-quvvatlanadi. Maksvell tenglamalar tizimini yechish asosida topilgan nazariy natijalarga zid bo'lgan tajriba ma'lumotlari topilmadi. Shuning uchun Maksvell tenglamalari tizimi aksioma sifatida qabul qilinadi.
Tenglamalar Maksvell tomonidan 1873 yilda differentsial shaklda nashr etilgan.
Maksvell tenglamalari to'rtta bo'lib, ular differensial va integral shaklda yoziladi. Biz ularni hozircha xulosa shaklida yozamiz, keyin ularning xulosasi va jismoniy ma'nosini batafsil ko'rib chiqamiz.
Integral shakl:

Differentsial shakl:

Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu tenglamalarda mavjud bo'lgan vektorlarning har biri vektor maydoni-koordinatalar va vaqtning funktsiyasi:
.
, , , 1.3.6.
Maksvellning birinchi tenglamasi. Ofset oqimi
Biz allaqachon to'liq oqim (Amper)qonunini ko'rib chiqdik:
,
ko'p sonli tajribalar natijasida olingan. Biroq, u tabiat qonunini aniq aks ettirmaydi va agar oqim vaqt o'tishi bilan doimiy bo'lmasa, tajribaga zid keladi. Buni ko'rsatish uchun eksperimental o'rnatishni ko'rib chiqing (30-rasm).

siljish oqimi tushunchasini aniqlash
Ushbu rasmda kondansatör ko'rsatilgan, uning plitalari kalit yoqilgandan keyin zaryadlana boshlaydi. To'liq oqim ifodasini tekshirish uchun biz kondensatorning chap panelini yopiq sirt bilan o'rab olamiz. Bunday holda, sirt kondensator plitalari orasidagi havoda o'tadi va chap plastinkaga oqim olib keladigan o'tkazgichni kesib o'tadi. To'liq oqim ifodasida siz yopiq yuzaga ham o'tishingiz mumkin .
Buning uchun deyarli yopiq, kichik teshikka ega bo'lgan sirtni tasavvur qilish kerak, uning chegarasi bo'ylab kontur chizilgan . Ifoda har qanday sirt uchun mos bo'lganligi sababli, bu holda u o'z kuchini saqlab qoladi. Keyin biz konturni aqliy ravishda bir nuqtaga tortamiz. Magnit maydonning kuchi cheksiz katta bo'lishi mumkin emasligi sababli, bu holda ma'lum bir joyda energiya zaxirasi cheksiz bo'ladi, keyin kontur nolga yaqinlashganda, u nolga intiladi va magnit maydonning aylanishi bu cheksiz kichik kontur bo'ylab, ya'ni ifodaning chap tomoni nolga aylanadi: . Shuning uchun o'ng tomon ham nolga teng bo'ladi:. Shu bilan birga, kondansatör bu yopiq sirt bilan kesilgan o'tkazgich orqali zaryadlanadi. Bu iboraga ziddir.
Ushbu qarama-qarshilikka yo'l qo'ymaslik uchun Maksvell ifodani elektr induksiyasi vektoriga bog'liq bo'lgan ofset oqimi bilan to'ldirdi . Ushbu vektor elektr maydonining kuchiga va muhitning xususiyatlariga bog'liq. Bu bog'liqlik vakuumda eng sodda, buning uchun

bu erda doimiy qiymat. Boshqa muhitlarda elektr maydoni vektori va elektr induksiyasi vektori o'rtasidagi mutanosiblik koeffitsienti doimiy qiymat bo'lmasligi mumkin va maydon vektorlari va induksiya fazosidagi yo'nalishlar mos kelmasligi mumkin.
Maksvell tomonidan tuzatilgan to'liq oqim qonunining ifodasi zaryadlarni uzatish bilan bog'liq oqim zichligi vektoriga qo'shiladigan atamani o'z ichiga oladi va quyidagicha yoziladi:

Maksvell qiymatni ofset oqimi deb atadi. Ofset oqimi, ofset oqim zichligi vektorini birlashtirish orqali olinadi

To'liq oqim

Ko'chirish oqimi domaxwell formulasida tajriba va to'liq oqim qonuni o'rtasidagi ziddiyatni yo'q qiladi. Kondensator zaryadlanganda, uning plitalari o'rtasida elektr maydoni paydo bo'ladi va u bilan birga elektr induksiyasi vektori paydo bo'ladi va elektr induksiyasi o'sib borishi bilan uning hosilasi vaqt o'tishi bilan ijobiy bo'ladi va siljish oqimi paydo bo'ladi. (Biz ilgari yopiq yuzaga tatbiq etgan bir xil fikrni qo'llagan holda) siljish oqimi va o'tkazuvchanlik oqimi har qanday yopiq sirt orqali nolga teng bo'lishi kerak, keyin kondansatör plitasiga o'tkazgich orqali oqadigan o'tkazuvchanlik oqimi sirt orqali "oqib chiqadigan" siljish oqimiga to'liq teng bo'lishi kerak. Bu erda "oqib chiqadigan" so'zi zaryadlarning harakatlanishi natijasida yuzaga keladigan oqimga o'xshash tarzda qo'llaniladi. Aslida, ofset oqimi magnit oqim kabi hech qanday joyga oqmaydi.
To'liq oqim qonunining tavsiflangan umumlashtirilishi integral shaklda birinchi Maksvell tenglamasi deb ataladi. Adabiyotda u ikki shaklda keltirilgan:

yoki, xuddi shu narsa

Tenglamaning differentsial shakliga o'tish uchun biz Stokes teoremasini qo'llaymiz:

Uni birinchi Maksvell tenglamasining chap tomoniga integral shaklda qo'llash orqali biz olamiz:

Sirt o'zboshimchalik bilan bo'lganligi sababli, bu tenglik faqat integrallar teng bo'lganda mumkin, ya'ni.

birinchi Maksvell tenglamasining differentsial shakli nima deyiladi. Ushbu tenglama magnit maydon vektorlarini, elektr induksiyasini va fazo nuqtasida oqim zichligini
bir-biriga bog'laydi.
Barcha Maksvell vektor tenglamalari ma'lum bir koordinatalar tizimi tanlanganidan so'ng darhol olinadigan uchta skalyar tenglamaning qisqacha yozuvi mavjud va tenglamalarga kiritilgan vektorlar kosmosning o'zboshimchalik nuqtasida mos keladigan ortlarga mo'ljallangan. Keyin "Maksvell tenglamalari koordinata shaklida" deyish odat tusiga kiradi. Eng oddiy va keng tarqalgan-bu kartezian koordinatalaridan foydalanish. Vektorli tahlilning asosiy qoidalariga murojaat qilib va rotor operatsiyasini ochib, birinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
1.3.7. Ikkinchi Maksvell tenglamasi
Maksvellning ikkinchi tenglamasi faradayning elektromagnit induksiya qonunining umumlashtirilishi (31-rasm):
.

32-rasm-magnit maydonidagi o'zboshimchalik bilan kontur
Faraday formulasida elektromagnit induktsiya qonuni faqat doimiy elektromagnit maydonda harakatlanadigan Supero'tkazuvchilar kontaktlarning zanglashiga yoki o'zgaruvchan maydonda sobit kontaktlarning zanglashiga olib keladi deb ishonilgan. Maksvell elektromagnit induksiya qonunini umumlashtirdi, bu uning formulasida quyidagicha ko'rinadi:
Ta'rif: kosmosning o'zboshimchalik bilan yopiq zanjiridagi EMF magnit indüksiyon oqimining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi tezligiga mutanosib bo'lib, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan har qanday sirtga kiradi. Shunday qilib, tenglama har qanday muhitda chizilgan o'zboshimchalik bilan yopiq pastadir uchun ham amal qiladi; alohida holatda, kontur o'tkazuvchan bo'lishi mumkin, u xayoliy bo'lishi mumkin.
Tenglamaning differensial shakli, birinchi tenglamaga o'xshash, Stokes teoremasining integral shakliga qo'llanilishi natijasida hosil bo'ladi. Stoks teoremasi bo'yicha

keyin uni ikkinchi Maksvell tenglamasining chap tomoniga integral shaklda qo'llaymiz:
.
Aytaylik, kontur harakatsiz va vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi. Bunday holda, tenglamaning o'ng tomonidagi vaqt hosilasi integral belgisi ostida kiritilishi mumkin:
.
Sirt o'zboshimchalik bilan bo'lganligi sababli, bu tenglik faqat integrallar teng bo'lganda mumkin, ya'ni.
,
ikkinchi Maksvell tenglamasining differentsial shakli nima deyiladi.
Koordinata shaklida Maksvellning ikkinchi tenglamasi shaklga ega:

Maksvellning ikkinchi tenglamasi fazoning istalgan nuqtasida istalgan vaqtda to'g'ri keladi va elektromagnit induksiyaning umumlashtirilgan qonunini differensial shaklda ifodalaydi. Tenglamaning ushbu shaklidan kelib chiqadiki, magnit maydonning ma'lum bir nuqtasida vaqt o'zgarishi elektr maydonining bir xil nuqtasida fazoviy koordinatalarning o'zgarishi bilan birga keladi.
1.3.8. Maksvellning uchinchi tenglamasi
Maksvellning uchinchi tenglamasi o'zgaruvchan jarayonlar holatida Gauss qonunining umumlashtirilishi hisoblanadi. Gauss qonuni o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali elektr siljish vektorining oqimini uning ichida to'plangan zaryad bilan bog'laydi:
,
chunki, keyin , то
.
Maksvelldan oldin bu qonun faqat doimiy maydonlarga nisbatan qo'llanilgan. Maksvell bu tenglik o'zgaruvchan maydonlarda ham amal qiladi, deb taxmin qildi. Sirtni o'rab turgan hajm ichida taqsimlangan zaryad uchun :
,
ushbu qiymatni Gauss qonuniga almashtirib, biz olamiz

Ushbu ibora integral shaklda uchinchi Maksvell tenglamasi deb ataladi. Differentsial shaklga o'tish uchun biz Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalanamiz:

Uchinchi Maksvell tenglamasining chap tomonini teoremaga muvofiq o'zgartiramiz:

.
Ushbu tenglik o'zboshimchalik bilan amalga oshirilishi kerak, bu faqat quyidagi hollarda mumkin

Maksvellning uchinchi tenglamasidan kelib chiqadiki, vektor maydonining manbai yoki oqimi volumetrik elektr zaryadining zichligi, vektor chiziqlari nuqtalarda boshlanadi va qaerda tugaydi .
Dekart koordinatalar tizimi uchun uchinchi tenglamaning koordinatali shakli
.
1.3.9. Maksvellning to'rtinchi tenglamasi
Maksvellning integral shaklidagi to'rtinchi tenglamasi magnit maydon uchun Gauss qonuniga to'g'ri keladi, uni quyidagicha shakllantirish mumkin. Har qanday yopiq sirt orqali magnit induksiya vektorining oqimi nolga teng, ya'ni.
.
Ushbu tenglama Maksvellning to'rtinchi tenglamasi bo'lib, magnit oqimning uzluksizligi printsipi deb ham ataladi. Differentsial shaklda Maksvellning to'rtinchi tenglamasi Ostrogradskiy-Gauss teoremasi yordamida uchinchisiga o'xshash tarzda olinadi:
,
keyin
,
va hajm har qanday bo'lishi mumkinligi sababli, bu tenglik faqat quyidagi hollarda amalga oshirilishi mumkin
.

.
33-rasm-magnit induksiya vektorining chiziqlari
Jismoniy jihatdan, ushbu qonunning ma'nosi eksperimental ravishda o'rnatilgan magnit maydon chiziqlarining uzluksizligidadir. Quvvat liniyalarining yopilishidan kelib chiqadiki, hajmga "oqib chiqadigan" oqim aynan shu hajmdan "oqib chiqadigan" oqimga teng. Boshqacha qilib aytganda , faqat kiradigan yoki aksincha, faqat sirtdan chiqadigan vektor chiziqlari yo'q : ular doimo unga kirib boradi.