Mavzu: Furye integrali Reja: I. Kirish. II

Furllanilishi.
Asosiy aralash masalani tor tebranish tenglamasi uchun yechish.
Mashlangladi. Biz
tenglamaning aynan nolga teng borinishda izlaymiz. Biz bu yerda ni faqat ga, ni esa faqat ga
boliq deb hisoblaymiz. ning orniga olib borib qong tomoni ga boliq emas.
Demak, yoki miqdorlarning har biri ga ham, ga ham boliq emas, yazgarmas. Bu olmagan yechimini Shunday qilib, tenglama ikkita tenglamaga ajraldi, bulardan biri faqat ga bogliq funksiyani orinishidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aynan
nolga teng bolsin. Bu masala odatda spektir masalasi yoki Shturm lishiga qarab turli koladi.
Shuning uchun ham bu uchta holni alohida lgan hol. Bu holda tenglamaning umumiy yechimi
koladi. Bunda va -ixtiyoriy olgani uchun: . Demak
2) borinishda bolgan hol. Bu holda tenglamaning umumiy yechimi

koladi. chegaraviy shartlarga binoan

Biz deb hisoblaymiz, aks holda bolgan holda va faqat shu holdagina, yalganda ,
bu yerda - butun son, masala koladi. va funksiyalar chiziqli boglgani uchun ning .natural qiymatlari bilan chegaralangan.
Demak, biz quyidagi hulosaga keldik: , sonlar , masalaning hos qiymatlaridir, funksiyalar esa, ularga mos hos
fuksiyalardir, noldan farqli ixtiyoriy haqiqiy olganda
tenglamaning umumiy yechimi
koladi, bunda , - ixtiyoriy op chiziqli boglmagan

yechimlarga ega bolganligi uchun, yechimlarning cheksiz yigladi.
Endi , , masalani yechimini

qator kolib, uni x va t
bolsa, qatorning yigindisi funksiya ham bu
shartni qanoatlantiradi.
qatorning va koeffisentlarini shunday aniqlashimiz kerakki, qatorning yigich shartlarni ham qanoatlantirsin.
qatorni t boich shartlarga asosan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. formulalar berilgan , funksiyalarning
oraliqda sinuslar boe qatoridan iboratdir.
yoyilmalar koeffisientlari
formulalar bilan aniqlanadi.
Quyidagi teoremani keltiramiz.
T e o r e m a: Agar funksiya segmentda ikki marta uzluksiz
differensiallanuvchi bolak-bolsa, esa uzluksiz differensiallanuvchi bolakbolsa, hamda

Muvofiqlashtirish shartlari bajarilsa, u holda qator bilan aniqlangan
funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga ega boich shartlarni qanoatlantiradi. Shu bilan
birga qatorni va bolib, hosil boladi.
Isbot: Avvalo muvofiqlashtirish shartlari qanday kelib chiqishiga
totamiz. ning birinchi ikkita sharti funksiyaning , ,
nuqtalarda uzluksizligidan va shartlarga asosan kelib chiqadi.
ning ikkinchi ikkita sharti esa xuddi shu nuqtalarda hosilaning
uzluksizligidan hosil bolamiz. Bu yerda deb oldingi tenglikda va desak, ning uchinchi sharti kelib chiqadi.
formulalardagi integrallarni boe koeffisientlaridan
iboratdir. Trigonomelrik qatorlar nazariyasidan maladi. ni qatorga olib borib qolgan
qatorlar uchun ushbu
, , - olini
olgan qatorlar absolyut va tekis yaqinlashuvchi boindisi funksiya oldi.
Agar
,
desak, u holda asosiy masalamizning yechimi ni
koun tolumki, , , masalaning yechimini berilgan va funksiyalarni oraliqdan tashqariga davr bilan toq funksiya
yoyilmasidan Dalamber formulasi bilan ifodalash mumkin, yaich va funksiyalarning
oraliqdan tashqariga davomidan iboratdir. va funksiyalar davrli boyib, sinus va
kosinuslarning yigich shartlar bajarilishi uchun botiborga olsak, qator qator bilan ustma-ust tushadi.
Fure usulining faqat tor tebranish tenglamasi uchun emas, balki umumiyroq tenglamalar uchun ham qoiy asoslamasdan bayon qilamiz.
Ushbu

giperbolik tipdagi tenglamani tekshiramiz, bu yerda , , va -
uzluksiz funksiyalar, shu bilan birga , , .
tenglamaning

chegaraviy, bunda , , , oich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Avvalo tenglamaning trivial borinishda izlaymiz. Agar bunday yechim mavjud boyib, va funksiyalar qanoatlantirishi zarur bong tomoni esa faqat ga boglgani uchun, bu tenglik olgandagina oladi. U
olum va funksiyalarni aniqlash uchun ikkita oddiy
differensial tenglama hosil qilamiz:


tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi kolmagan yechimini topish uchun funksiya
,
shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Shunday qilib, xos qiymatlar torisidagi quyidagi masalaga keldik: parametrning shunday qiymatlarini topish kerakki, bu qiymatlarda
tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bolsin.
, masalaning trivial bolgan l ning qiymatlari xos qiymatlar (sonlar), bu qiymatlarga mos yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi. Barcha xos qiymatlar toplami mavjuddir.
2) Har bir xos qiymatga opaytuvchi aniqligida xos
funksiya mos keladi, yaladi, bu yerda -oladi. Demak, va funksiyalar chiziqli
boliq.
Yuqorida aytib opaytuvchini shunday tanlab olamizki,
shartni qanoatlantiruvchi xos funksiyalar normallangan deyiladi.
_{3) Turli xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar} kesmada
vazn bilan ortogonal boni
bolgani uchun tenglamani qanoatlantiradi, yaladi. Bu tenglamalarning birinchisini ga ,ikkinchisini esa ga
koyicha dan gacha integrallaymiz:

chegaraviy shartlarga binoan, oladi. Bundan boladi.
4) boladi.
Bu xossani isbotlash uchun ga mos xos funksiyani normallangan deb hisoblaymiz. xos funksiya boladi.
Bu tenglikning har ikki tomonini ga kotiborga olsak, u holda
boshiluvchini bolamiz. Integral tashqarisidagi ifoda musbat boni

deb faraz qilamiz. Shart bolgani uchun
tenglikdan darhol , masala xos qiymatlarini musbat ekanligi kelib
chiqadi. shart tatbiqda eng kong, endi tenglamaga murojaat qilamiz.
Biz tenglamaning borinishga ega bozgarmas sonlar.
Shunday qilib, ga asosan har bir
funksiya tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
yechimidan iborat boich shartlarni qanoatlantirish uchun,
ushbu

qatorni tuzamiz. Agar bu qator va uni , bolgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi boindisi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi
tenglamaning yechimi boich shartlarning bajarilishi uchun

tengliklarning bajarilishi zarurdir.
Shunday qilib, biz ixtiyoriy funksiyani , chegaraviy masalaning xos funksiyalari boyicha

qator kolsin. qatorni tekis yaqinlashuvchi deb
hisoblab, uning koeffisientlarini aniqlashimiz mumkin. Buning uchun
tenglikning har ikki tomonini ga kongra bolak-boyicha absolyut va tekis yaqinlashuvchi qatorga yoyiladi.
va yoyilmalarning koeffisientlarini topish uchun
formulani qoyicha ikki marta hadlab differensiallash
natijasida hosil bolsa, va
koeffisientlarning topilgan qiymatlarini qatorga qoe integrallari mavzusini yoritdim.Mavzuni yoritishda kollanmalardan foydalanildi. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Asosiy qism esa tolingan holda yozildi. Birinchi mavzuda Furrifi, ikkinchi mavzuda juft va toq funksiyalarning fure integralining tor tebranishda qortinchi mavzuda esa fure integrallari ham keng qoe integralini tor tebranishga qoplab masalalari, juda koe integrallari orqali yechiladi.
Xulosa qilib aytganda, men, bu nazariyani o`rganish jarayonida juda ko`p tushunchalarga ega bo`ldim. Shu bilan birga murakkab matematik tushunchalarni tabiatdagi banolariga tushunib yetdim. Shuning uchun ham bu mavzu qiziqarli va muhim deb hisoblayman.
Foydalanilgan adabiyotlar.
1.Y.U.Soatov . T:O`zbekiston 1996
2.T.Azlarov, N.Mansurov 2-qism.T:Osbornik zadach po differentsialnim uravneniyamMatematik fizika tenglamalarizbekiston 2002.
5.Fixtengols G.M Kurs diferensialnogo i integralnogo ischesleniya, 1 t.M.<>, 2001.
Telegramm kanallari:

1. t.me/Elektron_adabiyot_mat_analiz

2. t.me/matematik_analiz

http://fayllar.org