Mavzu: Graflarni eniga va bo‘yiga aylanishi reja: Ketma-ketliklar, to‘plamlar, daraxtlar, graflarni ifodalash usullari Graflarni eniga va bo‘yiga aylanishi Graflarning eng arzon tayanch daraxtini qurishda Kruskal xasis algoritmi

Graflar nazariyasining asosiy tushunchalari. Matematik nazariyada va informatikada graf — bu tugunlar(uchlar)dan iborat bo'lgan bo'sh bo'lmagan to'plam va tugunlarni birlashtiruvchi yoylar majmuidir.
Graf - bu murakkab chiziqsiz ko'pbog'lamli dinamik tuzilma bo'lib, murakkab ob'ektlarning xususiyatlari va munosabatlarini aks ettiradi.
Ob'ektlar tugun yoki graf uzellari ko'rinishida va munosabatlar yoy yoki yo'naltirilgan qirralar kabi ifodalanadi.
«Graf» tushunchasini birinchi marotaba 1936 yil vengriya matematigi Denni Kyonig kiritgan. Lekin graflar nazariyasi bo'yicha 1-ish Leonard Eylerga tegishli bo'lgan va u 1736 yilda bajarilgan edi.
XVIII asrda mashhur shvetsariyalik matematik, mexanik va fizik Leonard Eyler (1707-1783 yy) Kyonigsberg ko’prigi haqidagi masalani yechish uchun birinchi marta graf tushunchasidan foydalanadi.

8.1-rasm. Eski Kyonigsberg shahri sxemasi
Graflar nazariyasi diskret matematika fanining bir bo’limi bo’lib, unda masalalar yechimlari chizmalar shaklida izlanadi. Keyingi paytlarda turli xil diskret xususiyatlarga ega bo‘lgan hisoblash qurilmalarini loyihalashda graflarning ahamiyati yanada oshdi.
(V, E) sonlar juftligiga graf deyiladi, bu yerda V – ixtiyoriy bo`sh bo`lmagan to`plam, E esa ning qism to`plami , bunda V to`plam elementlarining tartiblanmagan juftliklari to`plami.
V – to`plam elementlari grafning uchlari deyiladi.
E – to`plam elementlari esa grafning qirralari deyiladi.
Agar V chekli bo`lsa, graf chekli deyiladi, aks holda cheksiz graf deyiladi.
Yo'l (path) – bu bironta tugundan boshqa bir tugungacha bo'lgan yonma-yon joylashgan tugunlar ketma-ketligidir.

B

8.2-rasm. Grafning asosiy alomatlari
Grafning uchlari va qirralari to`plamini mos ravishda va kabi belgilanadi. ushbu to’plamda uchlar berilgan bo’ladi. to’plamida esa qirallarning qo’shni uchlar juftligi bilan aniqlanadi.
Masalan:

Bu xolda grafning grafik ko’rinishi quyidagicha bo’ladi (3.3-rasm):

8.3-rasm. Grafga misol
Qirra ikkita uch bilan aniqlanadi. Umumiy uchga ega bo`lgan ikkita qirra qo`shni hisoblanadi. Agar grafning ikkita uchi qirra bilan tutashtirilgan bo`lsa, bu uchlar qo`shni uchlar deyiladi. Grafning bir uchdan chiqqan ikki qirrasi qo`shni qirralar deyiladi. Agar grafda boshi va oxiri bitta tugunda tutashadigan qirra mavjud bo'lsa, unga ilmoqli qirra deyiladi.

8.4-rasm. Qirra tushunchasi
Agar grafda takroriy (karrali) qirralar mavjud bo`lsa, bunday grafga multigraf deyiladi. Agar grafda karrali qirralar bilan birga uchni o`z-o`zi bilan tutashtiruvchi ilmoqlar ham mavjud bo`lsa, bunday grafga psevdograf deyiladi.

8.5-rasm. A) multigraf; B) psevdograf
Ixtiyoriy tugundan boshqa bironta tugunga murojaat mavjud va murojaat ikki tomonlama bo’lsa, bu holda bunday graf yo’naltirilmagan graf (graph) deyiladi (8.6-rasm. A).
Agar graf tugunlari o'zaro bog'langan bo'lsa, lekin bu yoylar orqali munosabat faqat bir tomonlama bo'lsa, u xolda bunday graflar yo'naltirilgan graflar (oriented graph) deyiladi (8.6-rasm. B).

8.6-rasm. A) yo’naltirilmagan graf; B) yo’naltirilgan graf