Mavzu: Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni yechishning taqribiy usullari uchun dastur ta`minotini yaratish

Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin, ya`ni:
(1)
differentsial tenglama va
(2)
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish kerak.
Galyorkin usulida chegaraviy masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda qidirish taklif etiladi. (3)
Endi e`tiborimizni yana yechimni qidirishga qaratsak, formuladagi s₁,s₂,...,s_n-lar qiymatlari noma`lum bo’lgan o’zgarmaslar hisoblanadi.
u<sub>0</sub>(x), u<sub>1</sub>(x),...,u<sub>n</sub>(x) lar esa hisob ishlarini bajaruvchi tomonidan tanlab olinadigan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi, chiziqli bog’liq bo’lmagan funktsiyalar hisoblanadi, ya`ni ular bazis sistemasini tashkil qilib, o’zaro ortogonallik shartini qanoatlanirishi kerak.
Bazis funktsiyalar tanlangach, tafovut funktsiyasini minimallashtirish shartidan foydalanib, kerakli almashtirishlar bajaramiz va natijada s₁, s₂ o’zgaruvchilardan iborat tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi.

Sistemaning koeffitsentlarini esa (m_ij) integrallarni hisoblash yordamida topiladi. c₁,c₂ noma`lumlarni ChATSni yechishning biror usuli yordamida (odatda Gauss usulidan foydalaniladi) topamiz. c₁,c₂ larni topgach, y_n(x) taqribiy analitik yechimni

ko’rinishida yoza olamiz.
Yuqorida ko’rib, o’rganib chiqilgan nazariy amallarni quyidagi chegaraviy masala ustida bajarishni tashkil qilaylik,
Chegaraviy masalaning differentsial tenglamasi quyidagicha ko’rinishda berilgan bo’lsin:
Differentsial tenglamaning yechimiga qo’yilgan chegaraviy shartlarga esa y₀0, y₁1.
Dastlab berilgan masalaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan bazis funktsiyalarni tanlab olishimiz lozim:
1) u₀(x)ni berilgan chegaraviy shart, ya`ni u<sub>0</sub>(0)0 va u<sub>0</sub>(1)1 shartni qanoatlantiradigan qilib, quyidagicha tanlab olamiz: u<sub>0</sub>(x)x.
2) u<sub>1</sub>(x) va u<sub>2</sub>(x) larni esa berilgan chegaraviy shartga mos bir jinsli shartlarni, ya`ni u₁(0)0, u₁(1)0 va u₂(0)0 va u₂(1)0 shartni qanoatlantiradigan va o’zaro chiziqli bog’liqsiz qilib, quyidagicha tanlab olamiz:

Ishchi formulalarda foydalaniladigan quyidagi operatorni bazis funktsiyalardagi ko’rinishlarini hisoblashni tashkil qilaylik.



Endi quyidagi tenglamalar sistemasining koeffitsientlari va ozod hadlarini hisoblashni tashkil etaylik.
(4)
Bu yerda

;

;

;

Barcha koeffitsentlar ma`lum bo’lgach, ya`ni ularni aniq integrallarni taqribiy hisoblash usulidan foydalanib hisoblangach, hosil bo’lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (4) ni c₁ va c₂ noma`lumlarga nisbatan yechishni Gauss usuli bilan tashkil qilamiz. Hosil qilingan natijalarni, ya`ni c₁ va c₂ larning qiymatlarini formulaga qo’yib, berilgan chegaraviy masalaning taqribiy-analitik yechimini hosil qilamiz.