Mavzu: Kroneker-Kapelli teoremasi. Reja

Mavzu: Kroneker-Kapelli teoremasi.
Reja:
1. Elmentar almashtirirshlar
2. Kroneker-Kapelli teoremasi
3. Bir jinsli tenglamalar sistemasi
4. Fundamental yechimlar
Foydalanilgan adabiyotlar

Mashg`ulotning maqsadi: talabalarda tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lish yoki bo`lmasligining shartlari haqida bilim va ko`nikmalarni shakllantirish.

Bizga  maydon
(1)
tartibli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lib,
(2)
asosiy va
(3)
kengaytirilgan matrisalar bo’lsin. Bu matrisalarning rangini qulaylik uchun  va  shaklda belgilab olamiz.
Lemma: Chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy va kengaytirilgan matrisaning ranglar  teng yoki  bittaga ortiq.
Isbot. Haqiqatan ham  ning noldan farqli eng katta minori  da ham noldan farqli minor bo’ladi.
Agar bu minor  da ham noldan farqli eng katta minor bo’lsa, uning ranglari teng bo’ladi. Keyingi  tartibli minor ozod usutuni o’z ichiga oluqchi  tartibli  minor bo’lib, bu noldan farqli bo’lsa,  bo’ladi. Lemma isbot bo’ldi.
Chiziqli tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lish masalasi quyidagi Kroneker –Kapelli deb nomlanuvchi teorema orqali to’la hal qilinadi:
Teorema: (Kroneker – Kapelli teoremasi)
Chiziqli tenglamalr sistemasini kengaytirilgan matrisasi bilan asosiy matrisasining ranglari  bo’lganda va faqat shu holdagina birgalikda bo’ladi.
Isbot. Birgalikda bo’lib,  (1) ning qandaydir yechimlari bo’lsin.
U holda (1) ning ozod hadlaridan tuzilgan  vektor  matrisaning ustunlaridan tuzilgan har bir

ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining

chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak
va  vektorlar sistemalarining ranglari teng, ya’ni  .
Endi faraz qilaylik  bo’lsin. U holda lemmaga asosan  martisaning oxirgi ustunidagi tuzilgan  vektor, uning qolgan ustunlaridan tuzilgan, ya’ni  matrisaning ustunlaridan tuzilgan  vektorlar sistemasining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi, ya’ni 

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu o’z navbatida

ayniy tengliklar sistemasiga tengkuchlidir va demak  lar (2) sistemaning yechimi bo’lib, bu tenglamalar sistemasi birgalikda.
Biz teoremadan quyidagi natijalarni olamiz:
Natija: Agar  bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda aniq bo’ladi.
Natija: Agar bo’lsa, u holda (1) tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmaydi.
Bu teorema va natijalarni amalda tatbiq qilishda eng avvalam bor  matrisani rangini hisoblash va agarda  bo’lib, bu rangni aniqlovchi noldan farqli tartibi  ga teng minor  bo’lsa, so’ngra  matrisaning  ni xoshiyalovchi chiziq  da bo’lmagan xarakteristik minorlari (determinanti) deb ataluvchi barcha minorlarini hisoblash kerak.
Agar ularning barchasi nolga teng bulsa, u xolda  va shu sababli (1) sistemani birgalikda buladi, aks xolda u birgalikda bulmaydi.
Tenglamalar sistemasini birgalikda bulishligi xakida teorema nuktai nazaridan takomillashgan teoremalardan xisoblanadi, lekin yechimda sistemalarning yechimlarini topish uchun xej kanday usul bermaydi. Shuning uchun biz bu masalani yechish bilan shugulanamiz.
Endi bu o’tgan ma’ruazalardagi ma’lumotlarni eslaymiz:
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar almashtirishlari deb nimaga aytiladi?
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning qanday usullarini bilasizlar?
Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matrisaning rangi haqidagi teorema qanday ifodalanadi?
Matrisaning rangi qanday yo’llar bilan topiladi?
A va B matrisalarning ranglari haqida nima deyish mumkin, ya’ni ular tengmi yoki qaysi birining rangi katta?
Qanday o’ylasizlar, A va B matrisalarning ranglari bilan (1) sistemaning birgalikda bo’lishi orasida bog’lanish bormi yoki yo’qmi?
Oxirgi savolga javobni quyidagi Kroneker –Kapelli teoremasi beradi: