Mavzu; Rodsional koeffitsienti tenglamalari Reja

p (x)
va 
q (x)
- butun ratsional ifodalar. 

---

Qolgan kasrli ratsional tenglamalarning echimini har doim ko'rsatilgan shakldagi 
tenglamalar yechimiga kamaytirish mumkin. 
P (x) q (x) = 0 tenglamalarni yechishda eng ko'p ishlatiladigan usul quyidagi iboraga 
asoslanadi: sonli kasr 
u v
, qaerda 
v
Noldan farq qiladigan, nolga teng bo'lgan son, faqat 
kasrning bo'lagi nolga teng bo'lgan hollarda. Yuqoridagi bayonot mantig'iga asoslanib, p 
(x) q (x) = 0 tenglamaning echimini ikkita shart bajarilganda kamaytirish mumkinligini 
ta'kidlashimiz mumkin: 
p (x) = 0
va 
q (x) ≠ 0
... Bu p (x) q (x) = 0 shaklidagi kasrli 
ratsional tenglamalarni echish algoritmini tuzishda ishlatiladi: 

butun ratsional tenglamaning yechimini toping 
p (x) = 0
; 

eritma paytida topilgan ildizlar uchun shart bajarilganligini tekshiramiz 
q (x) ≠ 0
. 
Agar bu shart bajarilsa, ildiz topiladi, agar bo'lmasa, ildiz muammoning echimi emas. 
Misol 6 
3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 tenglamaning ildizlarini toping. 
Yechim
Biz p (x) q (x) = 0 shaklidagi kasrli ratsional tenglama bilan shug'ullanamiz, bunda p (x) 
= 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Chiziqli tenglamani yechishni boshlaylik 
3 x - 2 = 0
... Bu 
tenglamaning ildizi bo'ladi 
x = 2 3
. 
Keling, topilgan ildizni tekshirib ko'raylik, u shartni qondiradimi 
5 x 2 - 2 ≠ 0
... Buning 
uchun biz ifodani raqamli qiymat bilan almashtiramiz. Biz olamiz: 5 2 3 2 - 2 = 5 4 9 - 2 
= 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0. 
Shart bajariladi. Bu shuni anglatadiki 
x = 2 3
asl tenglamaning ildizi hisoblanadi. 
Javob:
2 3 
. 
P (x) q (x) = 0 kasrli ratsional tenglamalarni yechishning boshqa varianti mavjud. Eslatib 
o'tamiz, bu tenglama butun tenglamaga teng 
p (x) = 0
asl tenglamaning x 
o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni to'g'risida. Bu bizga p (x) q (x) = 0 
tenglamalarni yechishda quyidagi algoritmdan foydalanish imkonini beradi: 

tenglamani yechamiz 
p (x) = 0
; 

---


x o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini toping; 

biz x o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida joylashgan ildizlarni asl 
kasrli ratsional tenglamaning kerakli ildizlari sifatida olamiz. 
Misol 7 
X 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 tenglamani yeching. 
Yechim
Birinchidan, kvadrat tenglamani yechamiz 
x 2 - 2 x - 11 = 0
... Uning ildizlarini hisoblash 
uchun biz hatto ikkinchi koeffitsient uchun ildiz formulasidan foydalanamiz. Biz 
olamiz 
D 1 = (- 1) 2- 1 (- 11) = 12
va x = 1 ± 2 3. 
Endi biz asl tenglama uchun x o'zgaruvchining ODV ni topishimiz mumkin. Bularning 
barchasi raqamlar 
x 2 + 3 x ≠ 0
... Bu xuddi shunday 
x (x + 3) ≠ 0
, qaerdan x ≠ 0, x ≠ - 3. 
Endi birinchi bosqichda olingan x = 1 ± 2 3 ildizlari x o'zgaruvchining ruxsat etilgan 
qiymatlari qatoriga kiradimi -yo'qligini tekshirib ko'ramiz. Biz nima kirayotganini 
ko'ramiz. Bu shuni anglatadiki, dastlabki kasrli ratsional tenglamaning ikkita ildizi bor x 
= 1 ± 2 3. 
Javob:
x = 1 ± 2 3 
Ta'riflangan ikkinchi echim usuli, x o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni 
va tenglamaning ildizlari oson topilgan hollarda, birinchisiga qaraganda sodda. 
p (x) = 
0
mantiqsiz Masalan, 7 ± 4 26 9. Ildizlar oqilona bo'lishi mumkin, lekin katta hisoblagich 
yoki maxraj bilan. Misol uchun, 
127 1101 
va 
− 31 59 
... Bu holatni tekshirishga vaqtni 
tejaydi. 
q (x) ≠ 0
: DHSga mos kelmaydigan ildizlarni chiqarib tashlash ancha oson. 
Tenglama ildizlari bo'lgan hollarda 
p (x) = 0
p (x) q (x) = 0 shaklidagi tenglamalarni 
echish uchun tasvirlangan algoritmlarning birinchisidan foydalanish maqsadga 
muvofiqdir. Butun tenglamaning ildizlarini tezroq toping 
p (x) = 0
va keyin shartni 
tekshiring 
q (x) ≠ 0
, lekin ODV topilmadi, keyin tenglamani eching 
p (x) = 0
bu ODZda. 
Buning sababi, bunday hollarda, odatda, ODUni topishdan ko'ra, chekni qo'yish osonroq 
bo'ladi. 

---

Misol 8 
(2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 
tenglamaning ildizlarini toping. = 0. 
Yechim
Keling, butun tenglamani ko'rib chiqaylik 
(2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0
va 
uning ildizlarini toping. Buning uchun tenglamalarni faktorizatsiya orqali echish usulini 
qo'llaymiz. Ma'lum bo'lishicha, asl tenglama to'rtta tenglama to'plamiga teng: 2 x - 1 = 0, 
x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, ulardan uchtasi chiziqli va biri kvadrat. Ildizlarni 
toping: birinchi tenglamadan 
x = 12
, ikkinchisidan - 
x = 6
, uchinchisidan - x = 7, x = - 2, 
to'rtinchisidan - 
x = - 1
. 
Olingan ildizlarni tekshiramiz. Bu holda ODZni aniqlash biz uchun qiyin, chunki buning 
uchun biz beshinchi darajali algebraik tenglamani echishga to'g'ri keladi. Tenglamaning 
chap tomonidagi kasrning maxraji yo'qolmasligi shartini tekshirish osonroq bo'ladi. 
O'z navbatida, ifodadagi x o'zgaruvchining o'rniga ildizlarni almashtiring 
x 5 - 15 x 4 + 
57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112
va uning qiymatini hisoblang: 
1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 
112 = 122 + 1 32 ≠ 0; 
6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0; 
7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0; 
(- 2) 5- 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3- 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 =- 720 ≠ 0; 
(- 1) 5- 15 (- 1) 4 + 57 (- 1) 3- 13 (- 1) 2 + 26 (- 1) + 112 = 0. 
Amalga oshirilgan tekshirish dastlabki kasrli ratsional tenglamaning ildizlari 1 2, 6 va 
− 
2 
. 
Javob:
1 2 , 6 , - 2 
Misol 9 

---

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 kasrli ratsional tenglamaning ildizlarini toping. 
Yechim
Keling, tenglamadan boshlaylik 
(5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0
... Keling, uning ildizlarini 
topaylik. Bu tenglamani kvadratik va chiziqli tenglamalarning kombinatsiyasi sifatida 
ko'rsatish osonroq 
5 x 2 - 7 x - 1 = 0
va 
x - 2 = 0
. 
Ildizlarni topish uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanamiz. Biz 
birinchi tenglamadan ikkita ildizni x = 7 ± 69 10, ikkinchisidan olamiz 
x = 2
. 
Shartlarni tekshirish uchun ildizlarning qiymatini asl tenglamaga almashtirish biz uchun 
juda qiyin bo'ladi. X o'zgaruvchining ODV ni aniqlash osonroq bo'ladi. Bu holda, x 
o'zgaruvchining ODZ sharti bo'lganlardan tashqari barcha sonlardir 
x 2 + 5 x - 14 = 0
... 
Biz olamiz: x 
∈
- ∞, - 7 
∪
- 7, 2 
∪
2, +. 
Endi biz topilgan ildizlar x o'zgaruvchining haqiqiy qiymatlari diapazoniga tegishli 
ekanligini tekshirib ko'ramiz. 
Ildizlar x = 7 ± 69 10 - tegishli, shuning uchun ular asl tenglamaning ildizlari va 
x = 2
- 
tegishli emas, shuning uchun u begona ildizdir. 
Javob:
x = 7 ± 69 10. 
P (x) q (x) = 0 shaklidagi kasrli ratsional tenglamaning raqamida raqam topilgan 
holatlarni alohida tahlil qilaylik. Bunday hollarda, agar hisoblagichda nol bo'lmagan 
raqam bo'lsa, unda tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar bu raqam nolga teng bo'lsa, u 
holda tenglamaning ildizi ODZ dan istalgan son bo'ladi. 
Misol 10 
Ratsional kasrli tenglamani yeching - 3, 2 x 3 + 27 = 0. 
Yechim
Bu tenglamaning ildizlari bo'lmaydi, chunki tenglamaning chap tomonidagi kasrning 
raqamida nolinchi raqam mavjud. Bu shuni anglatadiki, x qiymatining hech birida 
muammoning bayonida berilgan kasr qiymati nolga teng bo'lmaydi. 

---