Mavzu: statistik fizikaning asosiy tasavvurlari

3-MA’RUZA MASHG’ULOTI
MAVZU: STATISTIK FIZIKANING ASOSIY TASAVVURLARI
Reja:
1. Makroskopik sistema tushunchasi.
2. Fazaviy fazo. Tasviriy nuqtalar.
3. Statistik taqsimot. Statistik o’rtalashtirish.
Tayanch so’z va iboralar: Makroskopik sistema, fazaviy fazo, tasviriy nuqta, statistik taqsimot, statistik o’rtalashtirish.
Statistik fizika atom, molekula, ion kabi juda ko’p zarralardan tashkil topgan sistema - makroskopik sistemalarning xossalarini, ularda kechadigan jarayonlarni va qonuniyatlarni o’rganadi. Bunday sistemalarning xossalari kam zarrali sistemalar xossalaridan tubdan farq qiladi. Makroskopik sistemaning zarralari klassik yoki kvant fizika qonunlariga bo’ysunishiga qarab klassik va kvant statistik fizika bo’linadi. Bu holatdan qat’iy nazar makroskopik sistemalarda statistik qonuniyatlar o’rinli bo’ladi.
Mikroskopik fizika nuqtayi nazaridan makroskopik sistemani tashkil qilgan hamma zarralarning o’rni va harakat qonuniyatlari ma’lum bo’lsa, uning holati aniqlangan deyiladi. Boshlang‘ich vaqtda ayrim zarralarning o’rni va ularning harakati qonuniyatlarini bilgan holda, klassik mexanika yoki kvant mexanika qonunlari bo’yicha ularni keyingi ixtiyoriy vaqt momentidagi holatini aniqlash mumkin. Shunday qilib, berilgan vaqtda makroskopik sistema holatini aniqlab qolmasdan, balki vaqt davomida bu holatning o’zgarishini ham kuzatish mumkin.
Ammo sistema mikroholatining vaqt bo’yicha o’zgarishi, zarralarning ko’pligi va ularning doimiy harakati tufayli, g’oyat murakkab va chigal xarakterga ega bo’ladi.
Makroskopik sistemaning xossalarini klassik yoki kvant fizika qonunlari yordamida o’rganishga harakat qilish nimalarga olib kelishini ko’rib chiqaylik. Har bir zarra uni o’rab turgan zarralar hosil qilgan maydon va tashqi maydon ta’sirida harakat qiladi. Har ikkala tipdagi maydon ta’sirida harakat qilayotgan zarralar uchun harakat tenglamalarini yozish mumkin. Bunday tenglamalar soni sistemaning erkinlik darajasiga teng bo’ladi. Sistema N ta zarradan tashkil topgan bo’lsa, tenglamalar soni 3N ta bo’ladi. Bunday tenglamalarni yechish amalda bajarib bo’lmaydigan vazifadir. Bu masala amalga oshirilgan taqdirda ham barcha zarralar uchun boshlang’ich shartlarni yozib bo’lmaydi, demak, bu shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni ham yozib bo’lmaydi. Shuning uchun uning dinamik harakatlarini amalda tadqiq qilish mumkin emas.
Juda ko’p zarralardan tashkil topgan sistemaning xossalarini klassik yoki kvant mexanika tenglamalari orqali o’rganib bo’lmaydi. Demak, makroskopik sistema holatini aniqlash uchun yangi tipdagi qonuniyat - statistik qonuniyatni yaratish masalasiga olib keladi. Bu masala ehtimollik nazariyasi bilan uzviy bog’langandir. Shunday qilib, statistik fizikaning asosiy vazifasi ehtimollik nazariyasiga asoslanib, taqsimot funksiyalarini topish, makroskopik sistemaning fundamental qonuniyatlarini kashf etish, tushuntirish, sistema holatini xarakterlovchi termodinamik kattaliklarni va ular orasidagi asosiy munosabatlarni topishdan iboratdir.
Fazalar fazosi. Makroskopik sistema holatini, umuman olganda, klassik yoki
kvant mexanika yordamida tavsiflash mumkinligini yuqorida eslatib o’tdik. Qulaylik uchun avval klassik mexanika o’rinli deb qaraylik. Makroskopik sistema sifatida N ta bir xil zarralardan tashkil topgan V hajmli ideal gazni olib qaraylik. Statistik fizikada
sistema holatini qo’shma parametrlar majmuasi ( ) bilan tavsiflash qabul qilingan. Bu yerda - umumlashgan koordinatalar, - umumlashgan impulslar (i = 1,2-3N). Zarralarning har birini uchta erkinlik darajasiga ega bo’lgan moddiy nuqta
deb qaraylik. Klassikada o’zaro ta’sirlashmaydigan N zarradan tashkil topgan mexanik sistemaning har bir erkinlik darajasiga to’g‘ri kelgan umumlashgan koordinata va impuls vaqtga bog’lanishi birinchi tartibli 6N Gamilton tenglamalar sistemasi
(1)
bilan aniqlanadi. Bu yerda - umumlashgan impulslar quyidagi munosabat bilan aniqlanadi:

- Gamilton funksiyasi.
Mikroskopik sistemani Gamilton tenglamalari sistemasining o’rniga 3N ta ikkinchi tartibli Lagranj tenglamalari sistemasi
(2)
bilan ham tavsiflash mumkin. Bu yerda - sistemaning Lagranj funksiyasi, , - mos ravishda sistemaning kinetik va potensial energiyasi.
Langranj va Gamilton formalizmlari ekvivalent bo’lib, birday natijaga olib keladi. Bu tenglamalar sistemasining yechimi umumlashgan koordinatalarning vaqtga va 6N ta boshlang’ich shartga bog’lanishini beradi.
Bizga ma’lumki, bunday katta sondagi tenglamalar sistemasini aniq yechish mumkin emas. Shuning uchun, katta sondagi zarralardan tashkil topgan makroskopik sistema holatini tavsiflashda mexanik metoddan tubdan farq qiladigan yangi metodni
izlab topish kerak. Ana shunday metod - statistik metoddir. Bu metodni o’rganish bizning asosiy vazifamizdir.
Hozir esa mexanika masalalarini tahlil qilishda ko’p qo’llaniladigan fazalar fazosi metodi bilan tanishib chiqamiz. Bu metod Gamilton prinsipi bilan bog’langan. Koordinata o’qlari umumlashgan koordinatalar va umumlashgan impulslar,
dan iborat bo’lgan 6N o’lchovli faraziy ortogonal fazo kiritamiz. Bunday fazo - fazalar fazosi deyiladi. Bunday fazoning har bir nuqta sistemaning dinamik mikroholatini ifodalaydi. Birorta metod yordamida kanonik tenglamalar sistemasi (1) ning yechimini topdik deb faraz qilaylik. Ya’ni:



(3)
funksiyalar ma’lum bo’lsin. Bu yerda 6N ta boshlang‘ich shartlarga mos keluvchi harakat integrallaridir. Fazalar fazosidagi har bir nuqta sistemaning aniq vaqt momentidagi mikro holatini aks ettiradi.
Fazoviy koordinata sistemasidagi nuqtadan farq qilish uchun fazalar fazosidagi nuqta tasviriy nuqta deb ataladi. Fazalar fazosidagi sistema holatining o’zgarishini aks ettiruvchi trayektoriya tasviriy trayektoriya yoki sistemaning faza portreti deyiladi. Sodda qilib gapirganda faza portreti (1) tenglamalardan kelib chiqadigan p = p(q, c) bog’lanishlar grafigidir. Demak, metodning afzalligi shundan iborat ekanki, (1) tenglamalarni yechmasdan sistemaning faza portretidan foydalanib fazalar fazosida sistema harakatining umumiy xususiyatlarini o’rganish mumkin. Shuni ta’kidlash lozimki, bu metod sistemaning erkinlik darajasi juda ko’p bo’lgan (makrosistema) hollarda avvalgiday murakkab matematik masalaga aylanadi. Shunga qaramasdan statistik fizika asoslarini yaratishda muhim rol o’ynaydi.
Biz endi sistema kvant mexanika qonuniyatiga bo’ysunuvchi N ta zarralardan tashkil topgan deb qaraylik, u holda sistema mikroholatlarini aniqlash uchun N ta Shredinger tenglamasini yechish kerak. Bu masalani ham umumiy ko’rinishda yechish mumkin emas. Agar sistemani bir o’lchamli potensial o’rada harakat qilayotgan bitta kvant zarradan tashkil topgan deb qarasak, kvant mexanika umumiy qoidalarga asosan energiya va impuls uchun
(4)
Demak, fazalar fazosida ossillyatorning har bir kvant holatiga yuzasi h ga teng bo’lgan «katakcha» to’g‘ri kelar ekan. Uch o’lchamli potensial o’rada harakatlanuvchi kvant zarrani olib qarasak, unga fazalar fazosida hajmi h³ ga teng bo’lgan kvant holati to’g‘ri keladi.
Bir xil energiyali holatlar soni aynish karraligi yoki kvant holatlar soni, yoki statistik vazn deb ataladi. Kvant holatlar sonini bilish statistik fizikada muhim o’rin tutadi.
Kvant holatlar sonini hisoblash uchun shu energiyaga to’g’ri kelgan fazalar fazosi hajmini bitta kvant holat hajmiga bo’lish kerak.
O’zaro bogianmagan murakkab sistemalarning kvant holatlar soni, barcha bo’laklar energiyasiga to’g‘ri kelgan kvant holatlar sonining ko’paytmasiga teng bo’ladi.
Ko’p zarralardan tashkil topgan makroskopik sistema dinamik holatini aniqlash amaliy jihatdan mumkin emasligini, ammo yangi qonuniyat ehtimollik nazariyasi bilan bog‘langan statistik qonuniyat o’rinli ekanligini eslatib o’tgan edik. Katta sondagi zarralardan tashkil topgan makroskopik sistema holatini aniqlash uchun termodinamik kattaliklarning o’rtacha qiymatini aniqlash zarurdir.
Statistik fizikaning asosiy vazifalaridan biri dinamik kattaliklar xossalaridan foydalanib makroskopik kattaliklarni, masalan, termodinamik funksiyalarni hisoblashdir.
Amalda yuqorida gapirilgan tenglamalarni yechishdagi qiyinchiliklar sababli vaqt bo’yicha o’rtalarni hisoblab bo’lmaydi. Qiyinchiliklarni ergodik gipotezaga (nazariya) tayanib chetlab o’tish mumkin. Bunga asosan vaqt bo’yicha o’rtachalarni
ansambl bo’yicha o’rtachalar bilan almashtirish mumkin. Ansambl - bir sharoitda tayyorlangan bir xil sistemalar to’plami.
Nazorat savollari
1. Makroskopik sistema tushunchasini izohlang.
2. Fazaviy fazo, Tasviriy nuqtalar tushunchasini ta’riflang.
3. Statistik taqsimot tushunchasi va uning ma’nosi