Mavzu: Turli sanoq sistemalarida amallarni bajarish

Mavzu: Parametr qatnashgan tenglama va tengsizliklar
Parametr qatnashgan masalalarning o‘ziga xosligi shundaki, bunday masalalarda berilgan noma’lumlar bilan birga son qiymati aniq ko‘rsatilmagan parametrlar qatnashib, ularni biror to‘plamda berilgan ma’lum miqdorlar deb qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda parametrning qiymati masalani yechish jarayoniga va yechimning ko‘rinishiga mantiqiy va texnik jihatdan katta ta’sir ko‘rsatadi. parametrning aniq qiymatlarida masalaning javoblari bir–biridan keskin farq qilishi mumkin.
Parametr (yun. parametron — oʻlchaydigan) matematik formula va ifodalarda qoʻllaniladigan kattalik. P. qiymatlari orqali biror toʻplam elementlari bir-biridan farqlanadi. Texnikada — texnologik jarayon, hodisa, tizim, texnik qurilma va boshqalarning biror xossasini ifodalaydigan kattalik. Masalan, mexanik tizimlarda massa, ishqalanish koeffitsiyenti, inersiya momenti.
Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va boshqa ijtimoiy fanlarda qoʻllaniladi.
Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).
Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular oʻzgaruvchilar yoki nomaʼlumlar deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi.
Tenglamalar ulardagi oʻzgaruvchilar soniga qarab nomlanadi. Masalan, bir oʻzgaruvchili tenglama, ikki oʻzgaruvchili tenglama, va hokazo.
Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) Shotlandiyalik matematik Robert Recorde (1510-1558) oʻylab topgan. U ikki bir xil uzunlikdagi parallel toʻgʻri chiziqlardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan
Umum ta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kursida parametr qatnashgan ifodalar, parametr qatnashgan tenglamalar, parametr qatnashgan tenglamalar sistemasi, parametr qatnashgan tengsizliklar va parametr qatnashgan funksiyalar o’rganiladi. O’quvchilar bu mavzularni o’rganishda ancha qiynaladilar. Buning asosiy sabablaridan biri ular parametr tushunchasini mohiyatini to’la tushunib yetmaganliklaridandir. Ko’plab o’quvchilar, xatto o’qituvchilar ham parametr tushunchasi bilan noma’lum miqdor tushunchasini chalkashtirib yuboradilar. Bu tushunchalarni mohiyatini ochib berish maqsadida quyidagi misolni qaraymiz:Aytaylik, 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 + 1 tenglik berilgan bo’lsin. Agar bizni oldimizga tenglikdagi 𝑥 va𝑦 o’zgaruvchilarni berilgan tenglikni to’g’ri tenglikka aylantiradigan qiymatlari sistemasini topish masalasi qo’yilgan bo’lsa, u holda bu tenglikni𝑥 va𝑦 o’zgaruvchili tenglama, 𝑧 o’zgaruvchini esa parametr deb ataladi. Bu holda berilgan tenglamani 𝑥 va 𝑦 o’zgaruvchililarning quyidagi qiymatlar sistemasi qanoatlantiradi:

1. 
   𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑧; 2) 𝑥 = 𝑧, 𝑦 = 1; 3) 𝑥 = 2𝑧, 𝑦 = −𝑧+1
   

va hokazo.Bunda 𝑧 parametrga shunday qiymatlar beriladiki, natijada berilgan tenglamaning chap va o’ng tomonlarida aniqlanish sohasi bo’sh bo’lmagan funksiyalar hosil bo’ladi.
Umumta’lim maktablari, akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun mo’ljallangan darsliklar, o’quv qo’llanmalar hamda turli metodik adabiyotlarda chiziqli tenglama 𝑎𝑥 = 𝑏 yoki 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 ko’rinishida berilgan. 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑 tenglamadan 𝑎𝑥 = 𝑏 tenglamani osongina hosil qilish mumkin. Shuning uchun ham biz 𝑎𝑥 = 𝑏 tenglamani o’rganish bilan cheklanamiz. Bu yerda 𝑎 va 𝑏 parametrlar,𝑥 – noma’lum miqdor.
Bunda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
1. Agar 𝑎 ≠ 0 bo’lsa,𝑎𝑥 = 𝑏 tenglama 𝑥 = 𝑏/𝑎 ga teng yagona yechimga ega.
2. Agar 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 bo’lsa, 𝑎𝑥 = 𝑏 tenglama 0 ∙ 𝑥 = 0 ko’rinishga keladi va bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.
3. Agar 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0 bo’lsa, 𝑎𝑥 = 𝑏 tenglama 0 ∙ 𝑥 = 𝑏(𝑏 ≠ 0) ko’rinishga keladi va bu holda tenglama yechimga ega bo’lmaydi.
1. 2a (a-2) x=a-2 tenglama yechilsin.
Yechish: x ning koeffitsientini nolga aylantiradigan a parametrning qiymatlari a=0 va a=2 dan iborat.
a=0 va a=2 bo’lganda berilgan tenglamani har ikkalaqismini hadma-had x ning koeffitsientiga bo’lish mumkin emas.
a≠ 0 va a ≠ 2 da esa berilgan tenglamani har ikkala qismini hadma-had x ning koeffitsientiga bo’lish mumkin. Shunday qilib a parametrning barcha haqiqiy qiymatlar to’plamini A1={0},A2={2} vaA3= (−∞; 0)(0; 2)(2; ∞ )
to’plamlarga ajratamiz va ularning har birida berilgan tenglamani yechamiz.
a=0 bo’lganda berilgan tenglama 0∙x=-2 ko’rinishga keladi va u yechimga ega bo’lmaydi
a=2 bo’lganda tenglama 0∙x=0 ko’rinishga keladi va uni barcha haqiqiy sonlar to’plami qanoatlantiradi. Ya’ni bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega.

2. 
   a≠ 0 va a ≠ 2 bo’lganda esa 𝑥=(𝑎−2)/(2𝑎(𝑎−2)) yoki 𝑥=1/2𝑎 bo’ladi.
   

Parametr bilan noma’lumlarni chalkashtirmaslik uchun, uni 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … ,𝑚, 𝑛 harflar bilan belgilanadi.
Berilgan ifodalarda, tenglamalarda va tengsizliklarda bir nechta parametr qatnashishi mumkin.
1. n raqamining qanday qiymatlarida 50 + 𝑛 son eng kam tub ko’paytuvchilarga ajraladi?
Yechish: Ma’lumki, tub sonlar eng kam tub ko’paytuvchilarga ajraladi. n raqam bo’lganligi uchun u 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 qiymatlarni qabul qiladi. U holda 50 + 𝑛 ifoda 51,52,53,54,55,56,57,58,59 qiymatlarni qabul qiladi. Bu sonlar ichida ikkitasi, ya’ni 53 va 59 lar tub sonlardir. 53 va 59 sonlari 𝑛 = 3 va 𝑛 =9 da hosil bo’ladi. Demak, 𝑛 = 3 yoki 𝑛 = 9 bo’lsa, 50 + 𝑛 ifoda eng kam tub ko’paytuvchilarga ajraladi.
Javob: 3 va 9.
2. 246n013579 soni 9 ga bo’linishi uchun n o’rnida qanday raqam bo’lishikerak?
Yechish: Berilgan son 9 ga bo’linishi uchun uning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linishi zarur va yetarli. 246n013579 soni raqamlari yig’indisi 2+4+6+n+0+1+3+5+7+9=37+n bo’ladi. Bu yig’indi 9 ga bo’linishi uchun 𝑛 = 8 bo’lishi kerak.
Javob: 8.
3) 𝑚 ning qanday qiymatlarida (6𝑥−𝑚)/2=(7𝑚𝑥+1)/3 tenglama ildizi nolga teng bo’ladi?
Yechish: (6𝑥−𝑚)/2=(7𝑚𝑥+1)/3 18𝑥−3𝑚=14𝑚𝑥+2; 18𝑥−14𝑚𝑥=3𝑚+2; (18−14𝑚)𝑥=3𝑚+2
𝑥=0 bo’lishi uchun 3𝑚+2=0 va 18−14𝑚≠0 bo’lishi kerak.
Ulardan 𝑚=−2/3 va 18−14∙(−2/3)=18+28/3=82/3≠0. Javob: 𝑚=−2/3
4) 𝟏𝟎(𝒂𝒙 − 𝟏) = 𝟐𝒂 − 𝟓𝒙 − 𝟗 tenglama a ning qanday qiymatida yagona yechimga ega?
Yechish: 10(ax-1)=2a-5x-9, 10ax-10=2a-5x-9, 10ax+5x=2a+1, (10a+5)x=2a+1. Bu tenglama yagona yechimga ega bo’lishi uchun 10a+5 ≠ 0 , ya’ni a ≠ -0,5 bo’lishi kerak.
Javob: -0,5