Mavzu: Vektorlar sistemasining chiziqli bog’liqlik va erklilik tariflari. Bazis. Vektorlarni ortogonal bazis bo’yiga yoyilmasi

2. Ortogonal va ortonormallangan vektorlar sistemalari

Agar berilgan ikki n o`lchovli a<sub>1</sub> va a<sub>2</sub> vektorlarning skalyar ko`-paytmasi nolga teng bo`lsa, a<sub>1</sub> va a<sub>2</sub> vektorlar o`zaro ortogonal vektorlar deyiladi. «Ortogonal» iborasi real fazo vektorlari uchun «perpendikulyar» iborasi bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, a₁(-1; 2; 0; 3) va a₂(4; 2; -5; 0) vektorlar o`zaro ortogonal vektorlardir, chunki

.

n o`lchovli nolmas vektorlardan tarkib topgan vektorlar sistemasi berilgan bo`lib, sistema vektorlarining har qanday ikki jufti o`zaro ortogonal bo`lsa, u holda sistemaga ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.

Masalan, a₁(3; 2; 1), a₂(2; -3; 0), a₃(-3; -2; 13) vektorlar sistemasi ortogonaldir, chunki

(a₁, a₂) = 0, (a₁, a₃) = 0 va (a₂, a₃) = 0.

Har qanday nolmas vektorlardan iborat ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir.

n o`lchovli k ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>k</sub> vektorlardan iborat chiziqli erkli sistema berilgan bo`lsin. a₁, a₂, …, a_k vektorlar sistemasi ustida ortogonal vektorlar sistemasini qurish mumkin, ya`ni chiziqli erkli a₁, a₂, …, a_k sistemani, mos ravishda b₁, b₂, …, b_k ortogonal sistema bilan almashtirish mumkin. Almashtirish quyidagi Shmidt formulalari yordamida amalga oshiriladi: