Методические указания к лабораторным работам для студентов бакалавриата направлений

Yüklə 0,84 Mb.

Pdf görüntüsü

səhifə	3/3
tarix	26.01.2020
ölçüsü	0,84 Mb.
	#30312
növü	Методические указания

1 2 3

2017-78 Ekonometrika kitab RUSca

5.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Рассмотрим

n-мерное

векторное

пространство

R

n

снабженное стандартным скалярным произведением: т.е. если











































n

i

i

i

n

n

n

v

u

v

u

v

u

v

v

v

u

u

u

R

v

u

)

(

то

Пусть

























































n

n

n

e

L

Y

Y

y

X

X

x



ˆ

x

b

L

a

y









(5.30)

ˆy

y

e





(5.31)

где

y – вектор столбец размерности

n

фактических значений

отклика;

0

b

1

b

– числовые коэффициенты подлежащие определению

т.е

0

b

- свободный член и

1

b

-коэффициент регрессии;

x

– вектор размерности

n

, составленный из реальных

значений фактора;

L

– вектор размерности

, составленный из единиц;

yˆ

– вектор, лежащий в двумерной гиперплоскости π,

натянутой на векторы

L

. Мы предполагаем, что эти

векторы не коллинеарны.

Поставим задачу: найти такие

b

и

, чтобы вектор e имел

наименьшую длину. Другими словами, требуется наилучшим

образом аппроксимировать вектор y

вектором

yˆ

, лежащим в

гиперплоскости π .

Очевидно, что решением является такой вектор

yˆ

, для

которого вектор

e ортогонален (перпендикулярен) плоскости π. Для

этого необходимо и достаточно, чтобы вектор - решение был

ортогонален векторам

L

, порождающим плоскость π (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация построения уравнения регрессии

)

(

)

(























n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

e

x

e

x

e

e

L

e

L

(5.32)

Используя определение вектора e

, получаем следующие

соотношения

)

(

)

(



























n

i

i

i

i

i

n

i

i

x

b

b

y

x

x

b

b

y

(5.33)

Раскрыв скобки в последней системе (5.33) получим

известные соотношения (5.12).

Также красивую и ясную геометрическую интерпретацию

имеет коэффициент детерминированности

2

R

. Рассмотрим

рис.5.4. Вектор

L

Y

является ортогональной проекцией вектора на

вектор

L

. Вектор

yˆ

- это ортогональная проекция вектора y на

двумерную гиперплоскость

π, натянутую на векторы

L

Рис. 5.4. Геометрическая интерпретация имеет коэффициент

детерминированности

2

R

По теореме о трех перпендикулярах ортогональная проекция

вектора

yˆ

на вектор

совпадает с

L

Y

. Рассмотрим прямоугольный

треугольник со сторонами

)

(

L

Y

y



)

(

L

Y

y



и e

, для которого

справедлива

теорема Пифагора

2

e

Y

y

Y

y

L









(5.29)

Это

равенство

является

геометрическим

аналогом

соотношения (5.15) . Сопоставляя соотношения (5.15), (5.29) и

(5.16), получаем соотношение



2

2

общ

ост

cos











L

регр

Y

y

Y

y

S

S

S

S

R

где φ

- угол между сторонами

)

(

L

Y

y



)

(

L

Y

y



Таким

образом,

для

2

R

справедливо

следующее

соотношение

cos





R

5.4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ

Обозначим через X матрицу размерности n

x 2











































B

y

y

y

x

x

X

n

n

B – вектор коэффициентов,

.

B

X

y

e







Условие ортогональности вектора e

к плоскости π

записывается как

















т

e

Или

)

(





























B

X

X

y

X

B

X

y

X

Последнее уравнение эквивалентно следующему уравнению

B

X

X

y

X







Это уравнение может быть без труда решено:

)

(

y

X

X

X

B







(5.30)

Это выражение в развернутом виде будет выглядеть

следующим образом:

1

1







































n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

x

x

x

x

x

n

B

(5.31)

Заметим, что (5.31) есть решение системы (5.12) с помощью

обратной матрицы.

5.5. СРЕДСТВО «РЕГРЕССИЯ» НАДСТРОЙКИ «ПАКЕТ

АНАЛИЗА» MS EXCEL

Средство «Регрессия» служит для построения линейного

уравнения

регрессии

вычисления

его

характеристик:

коэффициента регрессии и его значимости; значимости

коэффициентов уравнения и соответствующих доверительных

интервалов; теоретических (прогнозируемых) значений отклика и

соответствующих остатков, и их графиков и т.д. Для этого

необходимо заполнить диалоговое окно, приведенное на рис.5.5.

Результат работы представлен на рис.5.6.

Строки 182-186 содержат

результат

применения

дисперсионного анализа для оценки значимости

2

R

. Но вместо

крит

F

приведено значение «значимость

F»: если «значимость F»

меньше уровня значимости



, то

2

R

существенно отличен от 0.

Строки 188-190 содержат информацию о величине коэффициентов

регрессии, оценки их значимости и соответствующие доверительные

интервалы. При проверке значимости коэффициентов регрессии по

критерию Стьюдента в традиционном порядке вычисляем

набл

b

t

столбец «t-статистика», но вместо

крит

t

приведено «Р-значение»,

если это значение меньше уровня значимости



, то

соответствующий коэффициент существенно отличен от 0.

Рис. 5.5 Диалоговое окно средства «Регрессия» надстройки «Пакет

анализа» MS Excel

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

G

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный

R

0.977672616

R-квадрат

0.955843744

Нормированный

R-квадрат

0.950324212

Стандартная

ошибка

1.072506634

Наблюдения

10

Дисперсионный анализ

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия

1 199.19784

199.1978362 173.1747791

1.05839E-06

Остаток

8 9.2021638

1.150270479

Итого

9

208.4

Коэффициент

ы

Стандар

тная

ошибка

t-статистика P-Значение Нижние 95%

Верхние 95%

Y-пересечение

4.528284389

1.1073323 4.089363669

0.003488661 1.974769925

7.081798854

X

2.774343122

0.2108229 13.15958887

1.05839E-06 2.288184252

3.260501992

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение

Предсказанное Остатки

1

11.46414219

0.5358578

2

14.23848532

-1.2384853

3

12.85131376

1.1486862

4

15.62565688

-0.6256569

5

18.4

-1.4

6

20.34204019

-0.3420402

7

20.6194745

0.3805255

8

21.17434312

1.8256569

9

23.94868624

0.0513138

10

25.33585781

-0.3358578

X График остатков

-2

-1

8

X

О

ста

тки

X График подбора

8

X

Y

Предсказанное Y

Рис. 5.6 Результаты работы средства «Регрессия» надстройки «Пакет

анализа» MS Excel

ПРИМЕР

Имеются следующие данные по 10 фермерским хозяйствам области:

Таблица 5.3

Зависимость урожайности от внесенных удобрений

№ п/п

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Урожайность

зерновых (ц/га)

15 12 17 21 25 20 24 14 23 13

Внесено

удобрений (кг/га)

4,0 2,5 5,0 5,8 7,5 5,7 7,0 3,0 6,0 3,5

Решение

Решение проведем с использованием MS Excel.

Создадим файл с исходными данными в среде MS Excel.

Исходные данные разместим в таблице следующей структуры

(рис.5.7):

-

Х (внесено удобрений, кг/га);

-

Y (урожайность зерновых, ц/га).

3

4

J

№ п\п

Внесено

удобрений

на 1 га

посевов, кг

Урожайность

зерновых, ц\га

X

Y

X^2

(X-

Xср)^2

X*Y

Y^2

Y-Yср

(Y-Yср)^2 Yтеор

1

2,5

6,25

144

-6,4

40,96 11,46414

3,5

12,25

2,25

45,5

169

-5,4

29,16 14,23849

3

196

-4,4

19,36 12,85131

4

225

-3,4

11,56 15,62566

5

289

-1,4

1,96

18,4

5,7

32,49

0,49

114

400

1,6

2,56 20,34204

7

5,8

33,64

0,64

121,8

441

2,6

6,76 20,61947

8

138

529

4,6

21,16 21,17434

9

168

576

5,6

31,36 23,94869

10

7,5

56,25

6,25

187,5

625

6,6

43,56 25,33586

Сумма

184

275,88

25,88

991,8

3594 1,421E-14

208,4

184

Ср.знач.

18,4

27,588

2,588

99,18

359,4

Sполн

18,4

8

Внесено удобрений на 1 га

Уро

ж

ай

н

о

с

ть

, ц

/га

Рис. 5.7. MS Excel. Исходные данные и поле корреляции.

1. Значения описательных статистик по каждой переменной

найдем, используя надстройку Сервис - Пакет анализа



Описательная статистика (Рис. 5.8.).

Среднее

5 Среднее

18.4

Стандартная ош ибка

0.536242 Стандартная ош ибка

1.521695

Медиана

5.35 Медиана

18.5

Мода

#Н/Д

Мода

#Н/Д

Стандартное отклонение

1.695746 Стандартное отклонение

4.812022

Дисперсия выборки

2.875556 Дисперсия выборки

23.15556

Эксцесс

-1.228995 Эксцесс

-1.7255

Асимметричность

-0.071777 Асимметричность

0.043976

Интервал

5 Интервал

Минимум

2.5 Минимум

Максимум

7.5 Максимум

Сумма

50 Сумма

184

Счет

10 Счет

Рис. 5.8. Вычисление описательных статистик в MS Excel.

Определим коэффициенты вариации переменных:

100



















X

v

Y

v

x

x

y

y



2. Построим поле корреляции моделируемого

(Урожайность

зерновых) и факторного признака

X

(Внесено удобрений). Для

построения используем Мастер диаграмм – тип Точечная.

Рис. 5.9. Вычисление коэффициента корреляции и параметров уравнения

регрессии в MS Excel (режим отображения данных).

Как следует из рис. 5.7, с увеличением количества

внесенных удобрений на 1 га посевов урожайность зерновых растет

примерно линейно. Следовательно, для данной зависимости можно

попытаться построить линейное уравнение регрессии.

3. Найдем значение линейного коэффициента корреляции двумя

способами:

- непосредственно по определению, формула (5.1);

- используя встроенную функцию КОРЕЛЛ().

В обоих случаях получили значение коэффициента корреляции

0.977, что говорит о наличии существенной линейной

корреляции между признаками.

4. Определим параметры уравнения парной регрессии –

коэффициенты линейного уравнения и их ошибки (средние

квадратические погрешности) - тремя способами:

- непосредственно по определению (формулы 5

14 и 5.22);

- используя встроенную функцию ЛИНЕЙН();

- используя ЛИНИЮ ТРЕНДА.

Во всех случаях получим уравнение







X

Y



(рис.5.10), откуда следует, что каждый килограмм внесенного

удобрения увеличивает урожайность на 2.77 ц/га. Если

удобрения не вносить (Х=0) , то урожайность будет равна 4.53

ц/га.

Рис 5.10. Вычисление коэффициента корреляции и параметров уравнения

регрессии в MS Excel (режим отображения формул).

5. Вычислим коэффициент детерминации R

. Для этого

воспользуемся формулой (5.16). Все вычисления показаны на

рис.5.11 и 5.12.

Чтобы найти

общ

S

, воспользуемся найденным Y

ср

(ячейка С16) и

заполним столбец I.

Чтобы найти

общ

S

,

ост

регр

S

, необходимо знать

теоретические значения отклика

Yˆ

теор

Для каждого значения

фактор

по

полученному

уравнению

регрессии







X

вычислим

теоретические

значения

Yˆ

(столбец J). Найдем остатки - разность между исходными

значениями и вычисленными значениями отклика по уравнению

регрессии (столбец K).

Вычислим сумму квадратов остатков

ост

S

(столбец L) и

факт

S

(столбец M). Искомое

значение коэффициента детерминации

R

2

вычислено в ячейке H18, оно равно 0.9558.

Таким образом, 95.58% вариации Y объясняется вариацией

фактора X, или 95,6% вариации урожайности объясняется

вариацией

количества

внесенных удобрений, т.е. сила линейной

связи между количеством внесенных удобрений и урожайностью

весьма высокая.

4

5

№ п\п

Внесено

удобрений на

1 га посевов,

кг

Урожа

йность

зернов

ых,

ц\га

X

Y

X^2

(X-Xср)^2 X*Y

Y^2

Y-Yср

1

2,5

12

6,25

6,25

30

144

-6,4

2

3,5

13

12,25

2,25

45,5

169

-5,4

3

3

14

9

4

42

196

-4,4

4

4

15

16

1

60

225

-3,4

5

5

17

25

0

85

289

-1,4

6

5,7

20

32,49

0,49

114

400

1,6

7

5,8

21

33,64

0,64 121,8

441

2,6

8

6

23

36

1

138

529

4,6

9

7

24

49

4

168

576

5,6

10

7,5

25

56,25

6,25 187,5

625

6,6

Сумма

50

184 275,88

25,88 991,8

3594

0,0

Ср.знач.

5

18,4 27,588

99,18

359,4

Дисперс

2,588

20,84

Ст.откло

1,608726204 4,56508

R^2=1-Sост/Sполн=

0,955843744

Рис. 5.11а. Вычисление коэффициента детерминированности. Лист

MS Excel в режиме отображения данных (начало).

M

(Y-Yср)^2

Yтеор Y-Yтеор

(Y-Yтеор)^2 (Yтеор-Yср)^2

40,96 11,4641

0,5359

0,2871

48,1061

29,16 14,2385

-1,2385

1,5338

17,3182

19,36 12,8513

1,1487

1,3195

30,7879

11,56 15,6257

-0,6257

0,3914

7,6970

1,96

18,4

-1,4000

1,9600

0,0000

2,56

20,342

-0,3420

0,1170

3,7715

6,76 20,6195

0,3805

0,1448

4,9261

21,16 21,1743

1,8257

3,3330

7,6970

31,36 23,9487

0,0513

0,0026

30,7879

43,56 25,3359

-0,3359

0,1128

48,1061

208,4

184

0,0000

9,2022

199,1978

Sобщ

18,4

Sост

Sфакт

Рис. 5.11б. Вычисление коэффициента детерминированности. Лист

Excel в режиме отображения данных (окончание).

4

5

F

X

Y

X^2

(X-Xср)^2

X*Y

1 2,5

12

=B5*B5

=(B5-$B$16)^2 =B5*C5

2 3,5

13

=B6*B6

=(B6-$B$16)^2 =B6*C6

3 3

14

=B7*B7

=(B7-$B$16)^2 =B7*C7

4 4

15

=B8*B8

=(B8-$B$16)^2 =B8*C8

5 5

17

=B9*B9

=(B9-$B$16)^2 =B9*C9

6 5,7

20

=B10*B10

=(B10-$B$16)^2 =B10*C10

7 5,8

21

=B11*B11

=(B11-$B$16)^2 =B11*C11

8 6

23

=B12*B12

=(B12-$B$16)^2 =B12*C12

9 7

24

=B13*B13

=(B13-$B$16)^2 =B13*C13

10 7,5

25

=B14*B14

=(B14-$B$16)^2 =B14*C14

Су=СУММ(B5:B14)

=СУМ =СУММ(D5:D14)

=СУММ(E5:E14) =СУММ(F5:F14)

Ср=СРЗНАЧ(B5:B14)

=СРЗН=СРЗНАЧ(D5:D14)

=СРЗНАЧ(F5:F14)

Ди=$D$16-$B$16*$B$16=$G$1

Ст =КОРЕНЬ(B17)

=КОРЕ

R^2=1-Sост/Sпо

Рис.5.12а. Вычисление коэффициента детерминированности.

Лист MS Excel в режиме отображения формул (начало).

Y^2

Y-Yср

(Y-

Yср)^2

Yтеор

Y-Yтеор

(Y-

Yтеор)^

(Yтеор-

Yср)^2

=C5*C5

=C5-$C$16

=H5*H5

=$B$23*B5+$B$24

=C5-J5

=K5*K5

=(J5-$C$16)^2

=C6*C6

=C6-$C$16

=H6*H6

=$B$23*B6+$B$24

=C6-J6

=K6*K6

=(J6-$C$16)^2

=C7*C7

=C7-$C$16

=H7*H7

=$B$23*B7+$B$24

=C7-J7

=K7*K7

=(J7-$C$16)^2

=C8*C8

=C8-$C$16

=H8*H8

=$B$23*B8+$B$24

=C8-J8

=K8*K8

=(J8-$C$16)^2

=C9*C9

=C9-$C$16

=H9*H9

=$B$23*B9+$B$24

=C9-J9

=K9*K9

=(J9-$C$16)^2

=C10*C10 =C10-$C$16 =H10*H10 =$B$23*B10+$B$24 =C10-J10 =K10*K10 =(J10-$C$16)^2

=C11*C11 =C11-$C$16 =H11*H11 =$B$23*B11+$B$24 =C11-J11 =K11*K11 =(J11-$C$16)^2

=C12*C12 =C12-$C$16 =H12*H12 =$B$23*B12+$B$24 =C12-J12 =K12*K12 =(J12-$C$16)^2

=C13*C13 =C13-$C$16 =H13*H13 =$B$23*B13+$B$24 =C13-J13 =K13*K13 =(J13-$C$16)^2

=C14*C14 =C14-$C$16 =H14*H14 =$B$23*B14+$B$24 =C14-J14 =K14*K14 =(J14-$C$16)^2

=СУММ(G5=СУММ(H5:H1=СУММ(I5: =СУММ(J5:J14)

=СУММ(K5=СУММ(L5=СУММ(M5:M14)

=СРЗНАЧ(G

Sполн

=СРЗНАЧ(J5:J14)

Sост

Sфакт

=1-L15/I15

Рис.5.12б. Вычисление коэффициента детерминированности.Лист

MS Excel в режиме отображения формул (окончание).

Вычисленные R

значения совпали. Заметим, что в процессе

решения значение

R

2

было вычислено по крайней мере дважды:

 при использовании функции ЛИНЕЙН(), ячейка Е25;

 при построении линии тренда.

6. Оценим статистическую значимость уравнения в целом,

используя критерий Фишера.

Нулевая гипотеза H

: уравнение регрессии не значимо,

коэффициент детерминации R

2

=0. Альтернативная гипотеза H

коэффициент детерминации



и уравнение в целом значимо.

.

251

201



ост

регр

набл

D

D

F

С помощью функции FРАСПОБР() для уровня значимости

0,05 находим F

крит

. Число степеней свободы для регрессионной

суммы равно 1, для остаточной суммы равно 8. Тогда F

крит

=

FРАСПОБР(0,05;1;8)=5.31 (рис. 5.13). Поскольку

набл

F

> F

крит

, то

гипотеза H

0

отвергается и принимается гипотеза Н

, т.е.

2

R

существенно отличен от нуля и уравнение в целом значимо.

7. Оценим статистическую значимость параметров уравнения

регрессии.

Значения стандартной ошибки

b

m

a

m

параметров

определим пользуясь формулами (5.22), все вычисления

реализованы на рис.5.9-5.10, ячейки А27 и А28. В результате

получили

=0.2108 и

b

m

=1.1073. Этот же результат получен как

результат работы функции ЛИНЕЙН() в ячейках E24 и F24 на тех

же рисунках .

J

H0: R^2 =0; альтернативная гипотеза H1 R^2 >0

Уровень значимости

0,05

df

Sрегр 199,1978362

1 Dфакт

199,19784 Fнабл=

173,17 >>

Fкрит=

5,3177

Sост

9,202163833

8 Dост

1,1502705

Sобщ

208,4

9

H0 отвергаем =>R^2 существенно отличен от 0

Рис. 5.13. Лист MS Excel. Проверка гипотезы о статистической значимости

уравнения регрессии.

Проведем оценку статистической значимости коэффициента

регрессии (

), используя критерий Стьюдента.

Выдвигаем нулевую гипотезу H



коэффициент

регрессии равен нулю. Альтернативная гипотеза - H



Вычисляем значение критерия

.

13

2108

7743



m

b

t

набл

Находим

крит

t

с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(),

для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 8:

СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,306.

крит

набл

t

t



, следовательно, принимаем альтернативную

гипотезу, т.е. коэффициент регрессии существенно отличен от нуля.

Статистическая значимость свободного члена

 

0

b

оценивается аналогично. Для этого выдвигаем нулевую гипотезу H

0

:



- свободный член равен нулю. Альтернативная гипотеза H



- свободный член неравен нулю.

Вычисляем значение t-критерия

0894

1073

5282



m

t

набл

Найденное выше

крит

t

=2,306, сравниваем с

набл

t

, поскольку

крит

набл

t

t



, то принимаем альтернативную гипотезу о значимости

свободного члена уравнения регрессии.

Так как

a

,

2

R

существенно отличаются от нуля,

полученное уравнение линейной регрессии значимо с вероятностью

95% , как и параметры этого уравнения, и может быть использовано

для анализа и прогноза.

8. Определим доверительные интервалы для

по формуле

(5.24):

- для коэффициента регрессии

306

2108

774

306

2108

774











или

2605

2832



;

- для свободного члена

306

1073

5282

306

1073

5282











или

0818

9748



Поскольку с надежностью 95% доверительные интервалы

для коэффициентов

a

и

уравнения регрессии не содержат ноль,

то это подтверждает вывод об их статистической значимости.

9. Остатки - разность между исходными и найденными по

уравнению регрессии значениям уже вычислены и содержатся в

столбце K на рис.5.11 - 5.12.

Вычислим сумму значений остатков. Построим график

остатков (рис. 5.14).

Сумма значений остатков равна нулю, следовательно, первое

условие

Гаусса-Маркова

выполняется

(равенство

нулю

математического ожидания случайной компоненты). Из визуального

анализа графика можно сделать вывод, что тенденция остатков не

прослеживается, т.е. условие гомоскедастичности не нарушается.

Рис. 5.14. График остатков.

10. Построим интервальную оценку прогноза для ожидаемого

значения урожайности (рис.5.15- 5.16).

Среднее значение X=5 кг/га. Найдем прогноз урожайности

при увеличении среднего значения внесенных удобрений на 5%

размаха значения X , то есть для





min

max









X

X

X

X

k

или

)

(











k

Рис. 5.15. Вычисление интервальной оценки прогноза в MS Excel (режим

отображения данных).

132

133

134

135

136

137

138

D

Ср.зна

ч.X

Xcp=

=B16

кг/га

ПрогнозX

k=

=C132*5/100+C132

кг/га

ТочечноY

k

=

=B24+B23*C133

т/га

S

2

= Dост

=E33

Стандарm

y =

=КОРЕНЬ(C135)*КОРЕНЬ(1+1/A14+(C133-C132)^2/E15)

tкрит=С

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;C33)

Довери =$C$134-$C$137*$C$136 < y* <

=$C$134+

Рис. 5.16. Вычисление интервальной оценки прогноза в MS Excel (режим

отображения формул).

Точечный прогноз получим подстановкой значения X

уравнение регрессии:

094

,

19

5283

7743









Y

(ц/га).

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет

превышена, вычисляется по соотношению (5.21) и составляет 1,126

ц/га. Интервальная оценка прогноза составит

16,49 ц/га

< Y <21,69 ц/га.

Таким образом, при увеличении среднего значения

внесенных удобрений на 5% размаха значения X, значение

урожайности с вероятностью 95% окажется в интервале

16,49 ц/га

< Y <21,69 ц/га.

11. Вычислим коэффициенты регрессии матричным методом

(используя формулу 5.28). Все расчеты приведены на рис.5.17-5.19.

149

150

151

152

159

160

161

163

164

165

166

167

168

169

Определение коэффициентов регрессии матричным методом

x

y

1

2,5

12

1

3,5

13

1

7

24

1

7,5

25

x

т

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2,5

3,5

3

4

5

6

5,8

6

7

7,5

x

т

*х

(x

т

*х)^(-1)

x

т

*y

B=((x

т

*х)^(-1))*(x

т

*y)

10

50

1,066

-0,1932

184

4,528284 =a

50 275,9

-0,1932 0,03864

991,8

2,774343 =b

Рис. 5.17. Вычисление коэффициентов регрессии матричным методом в

MS Excel (режим отображения данных).

167

168

169

170

x

т

*х

(x

т

*х)^(-1)

=МУМНОЖ(A164:J165;A151:B160) =МУМНОЖ(A164:J165;A15

=МОБР(A168:B169) =МОБР(

=МУМНОЖ(A164:J165;A151:B160) =МУМНОЖ(A164:J165;A15

=МОБР(A168:B169) =МОБР(

Рис. 5.18. Вычисление коэффициентов регрессии матричным методом в

MS Excel (режим отображения формул - начало).

167

168

169

170

J

x

т

*y

B=((x

т

*х)^(-1))*(x

т

*y)

=МУМНОЖ(A164:J165;D151:D160)

=МУМНОЖ(D168:E169;G168:G169) =a

=МУМНОЖ(A164:J165;D151:D160)

=МУМНОЖ(D168:E169;G168:G169) =b

Рис. 5.19. Вычисление коэффициентов регрессии матричным методом в

MS Excel (режим отображения формул - окончание).

12. Вычисление характеристик линейного уравнения регрессии с

использованием средства «Регрессия» надстройки «Пакет

анализа» MS Excel, приведено на рис.5.5-5.6.

Все

характеристики

совпадают

со

значениями,

вычисленными вручную (по определению).

ЗАДАНИЕ. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПАРНОЙ

ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Дана таблица фактических данных из некоторой предметной

области: значения отклика (зависимого, результативного признака)

и соответствующие значения фактора (независимого признака).

Требуется:

1. Найти значения описательных статистик по каждому признаку и

пояснить их.

2. Построить поле корреляции моделируемого (результативного) и

факторного признаков.

3. Найти значение линейного коэффициента корреляции и пояснить

его смысл. Сделать выводы

4. Определить параметры уравнения парной линейной регрессии и

интерпретировать их. Объяснить смысл полученного уравнения

регрессии.

5. Для оценки качества уравнения вычислить коэффициент

детерминированности. Сделать вывод.

6. Оценить статистическую значимость уравнения в целом.

7. Оценить статистическую значимость коэффициента регрессии

, свободного члена

a

. Сделать выводы.

8. Для коэффициентов регрессии

и свободного члена

определить доверительные интервалы.

9. Построить и проанализировать график остатков.

10. Построить точечную и интервальную оценку для ожидаемого

значения отклика при значении фактора, равного среднему

значения фактора, увеличенному на 10% величины размаха

значений фактора. Размах значений фактора равен разности

между его максимальным и минимальным значениями.

11. Вычислить коэффициенты регрессии матричным методом

(используя формулу 5.31).

12. Вычислить характеристики линейного уравнения регрессии

используя средство «Регрессия» надстройки «Пакет анализа»

MS Excel.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Исходные

данные

заданий

находятся

файле

«Econometric_LabRab_5.xls». Все листы рабочей книги MS Excel

имеют названия, отражающие предметную область, из которой

взяты данные.

Вариант 1

Лист с именем «Банки» содержит данные об экономических