Mexanika-Matematika fakulteti

1.4.7-Ta’rif.Agar , da funksiyaning limiti mavjud bo’lib, u chekli bo’lsa, integral yaqinlashuvchi deyiladi, esa da integrallanuvchi funksiya deb ataladi.
Agar , da funksiyaning limiti cheksiz bo’lsa, integral uzoqlashuvchideb ataladi.
Shunday qilib, chegaralanmagan funksiya xosmas integrali tushunchasi Riman integrali tushunchasidan yana bir marta limitga o’tish amali orqali yuzaga kelar ekan.

Yaqinlashuvchi xosmas integrallarni xos integrallarga

keltirish[17].Faraz qilaylik,  Ca, b,  (x) esa yetarlicha differensiallanuvchi

funksiya bo’lib,
c a, b uchun  (c)  0
bo’lsin.

1.4.1-Teorema[17]. Agar


^b (x)

a
^  (x) ^
dx,
  0

yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integralni xos integralga almashtiruvchi va

x^(c)  0 shartni qanoatlantiruvchi
x(t)  ^1(t)
( (x)  t)
almashtirish mavjud.

Bu teoremani isbot qilish uchun quyidagi lemmani isbotlaymiz.

Lemma. Agar  (x) funksiya n marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

x  c a,b
uning n 
tartibli noli bo’lsa, u holda
 g(x)  Ca, b
funksiya mavjud

bo’lib,  (x)  x  cⁿ gx tenglik o’rinli bo’ladi[9].
Isbot. funksiyani yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan integral orqali ifodalab olamiz.


x
  _ ^t dt
c


^{bu integralni t  x}t ^{ 1 tenglikdan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:}

x
    ^  ^

x  _
c
(t) t  x dt

bu integralni ketma-ket n marta bo’laklab integrallab,

 c  ^c  …  ⁽ⁿ⁾ c  0
shartlardan foydalanib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz.

  ^
x
^x  ^
x_{ } (t  x)²

(x) 
(t)(t  x) _c  _
c
(t)(t  x)dt  _
c
(t)
_2! dt  …

x
…  (1) ^n1 _ ⁽ⁿ⁾ (t)
c
(t  x) ^n1
(n  1)!
x
dt  _ ⁽ⁿ⁾ (t)
c
(x  t) ^n1
(n  1)! ^dt

Endi
t  c  (x  c)
almashtirishni bajaramiz,
dt  (x  c)d


¹ (x  c)ⁿ 1 ¹

_ ⁽ⁿ⁾ (c  (x  c) )
0
(n 1)!
(1   )^n1 d  (x  c)ⁿ  ⁽ⁿ⁾ (c  (x  c) )(1   )^n1 d
(n 1)! ₀

Oxirgi ifodada 1- ko’paytuvchidan tashqarisini
g(x)
deb belgilab olamiz.

1
g(x)  ¹ _ ⁽ⁿ⁾ (c  (x  c) )(1   ) ^n1 d
(n  1)! ₀

Bu funksiya lemma shartini qanoatlantiradi.

Endi teoremaning isbotini keltiramiz[17]. Umumiylikka ziyon yetkazmasdan

a  0, b  1,
c  a  0
deb tanlab olamiz va (x)
uzluksiz funksiyani lemmaga ko’ra

 (x)  xⁿ g(x) uzluksiz funksiya bilan

¹ (x)
¹ (x)
¹ (x) ^
(x) ^
1  (x)

0
almashtiramiz.
^  (x) ^
dx  _
0


xⁿ g(x)

dx 


₀ x g(x)
dx  ^



0


10. 
    
    

 _


g(x) ^{ 
0} dx (
₀ x

^{ }n

 n
1.4.1)
integralga keltiramiz.

Ma’lumki, (1.4.1) integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
(0)  0
bo’lgani uchun
n  1 shart bajarilganda

Endi
n  1
bo’lsin, u holda (1) integralda
_x1n _{ y}
almashtirishni

1
bajaramiz. x  y^1n ,
x^( y) 
1


1 n
n
_{ y}1n _,
x^(0)  0 bo’lishi ravshan, natijada


¹  (x)dx
₁ 1 _
1 _


⁰ _^ y^{1n }dy,

₀ x 1  n _{0  }

 uzluksiz bo’lgani uchun bu integral Riman ma’nosida mavjud. Demak, ikkinchi tur xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lganda uni oddiy xos Riman integraliga keltirish mumkin ekan.

Eslatma.Teorema shartidan  uzluksiz shartini  uzilish nuqtalari to’plamining Lebeg o’lchovi nolga tengligi sharti bilan almashtirish ham mumkin bo’ladi.

1.5-§.Chegaralanmagan funksiyaning chekli oraliqdagi xossalari.

funksiya	da berilgan bo’lib,	shu	funksiyaning	maxsus nuqtasi
bo’lsin. Bu bo’lsin[8].	funksiyaning istalgan		da	integrallanuvchi

Agar funksiyaning orliq bo’yicha integrali yaqinlashuvchi bo’lsa, bu funksiyaning oraliq bo’yicha integrali ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha. Bunda

bo’ladi.

Agar integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,


bo’ladi, bunda


Agar integral yaqinlashuvchi bo’lib, da bo’lsa, u holda

bo’ladi.


Endi funksiya bilan bir qatorda unksiya ham da berigan bo’lib, esa bu funksiyalarning maxsus nuqtasi bo’lsin.
Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,

bo’ladi.

Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo’lib, da tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Yuqoridagi va funksiyalar quydagi shartlarni ham bajarsin:

1. 
   funksiya da chegaralangan, ya’ni shunday va M o’zgarmas sonlar mavjudki, da
   

2) funksiya da o’z ishorasini o’zgartirmasin, ya’ni barcha larda yoki .
Agar va integrallar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda shunday o’zgarmas son topiladiki,

tenglik o’rinli bo’ladi.

1.5.1-Teorema. da manfiy bo’lmagan funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, ning yuqoridan chegaralangan, ya’ni uchun

bo’lishi zarur va yetarli.

Odatda bu teorema funksiya xosmas integralining yaqinlashuvchiligi kiriteriysi deb ataladi.
Natija. Agar to’plam yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
Manfiy bo’lmagan funksiyalar xosmas integrallarini taqqoslash haqidagi teorema.
1.5.2-Teorema[7,8]. va funksiyalar da berigan bo’lib, esa bu funksiyalarning maxsus nuqtasi va da bo’lsin. U holda:
yaqinlashuvchi bo’lsa, ham yaqinlasuvchi bo’ladi, uzoqlashuvchi bo’lsa, ham uzoqlashuvchi bo’ladi.

I-bobga qisqacha xulosa

Ushbu magistrlik dissertatsiyasining birinchi bobi yordamchi harakterga ega bo’lib bunda chegaralanmagan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral tushunchasi, chegarasi cheksiz xosmas integrallarning yaqinlashuvchanligi va xosmas integrallarning xossalariga bag’ishlangan.
Riman integralini umumlashtirishdan xosil qilingan yaqinlashuvchi xosmas integrallar ham shu Riman integrali singari xossalarga ega.
Shuningdek xosmas integrallar uchun Dirixli alamati quyidagicha keltirilgan.


va funksiyalar oraliqda berilgan bo’lib, ular quydagi shartlarni qanoatlantirsin.


funksiya oraliqda uzliksiz va uning shu oraliqdagi boshlang’ch funksiyasi chegaralangan,


funksiya oraliqda hosilaga ega va u uzliksiz funksiya,


funksiya oraliqda kamayuvchi

U holda

integral yaqinlashuvchi bo’ladi.

II-BOB. XOSMAS KARRALI INTEGRALLAR HAQIDA ASOSIY TUSHUNCHALAR

2.1-§. Jordan bo’yicha o’lchovli to’plamlar va karrali xos Riman integrali tushunchasi.

Tekis shakllarning Jordan o’lchovlari.Biz tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi tayinlangan deb faraz qilamiz. U holda tekislikdagi nuqtalar bilan haqiqiy sonlarning tartiblangan juftliklari orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatiladi[12].

Endi	to’rtburchak		tushunchasini
kiritamiz.			, bu yerda yoki
bo’lishi mumkin.Agar	yoki	bo’lsa	deb
olamiz.Xususan,	yoki	o’qiga parallel kesma yoki nuqta
ham bo’lishi mumkin.	Juft-jufti bilan o’zaro	kesishmaydigan chekli sondagi

to’rtburchaklarning birlashmasiga elementar to’rtburchak deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

bu yerda. ,

2.1.1-Teorema. Elementar to’plamlarning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi yana elementar to’plam bo’ladi. orqali tekislikdagi elementar to’plamlar sistemasini (to’plamini) belgilaymiz[14].
2.1.1-Ta’rif.To’rtburchakning yuzini uning o’lchovi deb ataymiz: Agar bo’lsa aks holda . elementar
to’plamning o’lchovi deb quyidagi songa aytiladi: [14].
2.1.2-Teorema. elementar to’plamning o’lchovi uning chekli sondagi to’rtburchaklarning birlashmasi shaklida tasvirlanishga bog’liq emas. Agar o’zaro kesishmaydigan elementar to’plamlar bo’lsa, u holda tenglik o’rinli[12].
2.1.2-Ta’rif.Faraz qilaylik ixtiyoriy chegaralangan to’plam bo’lsin.


songa to’plamning ichki
o’lchovi deyiladi[12].
songa to’plamning tashqi o’lchovi deyiladi.