Mexanika-Matematika fakulteti

2.4-§.Karrali xosmas integrallarning yaqinlashish shartlari.

2.4.1-Teorema.[8] (Xosmas karrali integrallar yaqinlashishining zarur va yetarli sharti)
Agar bo’lsa, u holda
integralning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun ni qamravchi hech bo’lmaganda
chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidir.


( Faraz qilaylik manfiymas va deyarli hamma yerda uzluksiz bo’lsin. Agar shunday bir ni qamrovchi ketma – ketlik mavjud bo’lib,

sonli to’plam chegaralangan bo’lsa, u holda (2.3.1)integral yaqinlashuvchi bo’ladi)

Isboti.Zarurligi : Agar I integral mavjud bo’lsa, u holda integral ketma- ketligi I ga yaqinlashadi. Ixtiyoriy yaqinlshuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi.
Etarliligi. Faraz qilaylik chegaralangan bo’sin, u holda Вейерштрасс teoremasiga ko’ra undan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin, ya’ni

limit mavjud.
lim I

n
n
 I₀
 sup I_n

2.4.2-Teorema[7]. Agar funksiya deyarli uzliksiz va koordinatalar boshining biror (qandaydir bir ) atrofidan tashqarida chegaralangan bo’lib quyidagi limit mavjud bo’lsa
u holda bo’lganda bo’ladi. dauzoqlashuvchi.

1. 
   Misol. o’lchamli fazoda xosmas karrali integrallarni o’rganishda ularni etalon namuna funksiyalar bilan taqqoslash orqali o’rganiladi. Odatda bunday etalon funksiya vazifasini funksiya
   

bajaradi.Shu sababli quyidagi karrali xosmas integralni tekshiramiz.


bu yerda markazi koordinata boshida radusi bo’lgan o’lchamli shar.
Bu funksiya uchun koordinata boshi nol nuqta maxsus nuqtabo‘ladi. Qamrovchi ketma-ketliklar sifatida quydagi to’plamlar ketma-ketligini olamiz.

karrali xosmas integralning ta’rifiga ko’ra qamrovchi ketma- ketliklarga mos integrallar ketma-ketligi, sferik koordinatalar sistemasida quyidagi ko’rinishni oladi.

bu yerda o’zgarmas son (almashtirish yakobiani natijasida hosil bo’lgan o’zgarmas son).

tenglikdan da limitga o’tamiz va quydagi integralni hosil qilamiz:

bir karrali 1-tur xosmas integraldir. Ma’lumki bu integral bo’lganda yaqinlashadi. bo’lganda uzoqlashadi.
funksiya uchun olingan integralni radusli sharning tashqi qismi bo’yicha tershiring.
Bu integral bo’lsa uzoqlashadi. bo’lsa yaqinlashadi. Bu yerda fazo o’lchami.
Xulosa. Demak (2.4.2) integral parameter fazo o’lchamidan kichik bo’lganda yaqinlashuvchi bo’lib, fazo o’lchamidan teng va undan katta bo’lganda uzoqlashuvchi ekan.