Monte-Karlo usuli. Eyler tenglamasi. Potryaginning
maksimum prinsipi.
Imitatsion modellashtirish asosan ikki toifaga tegishli masalalarni yechishda
ishlatiladi. 1.
Matematika, fizika va ximiya fanlari sohalaridan olingan nazariy
masalalar, xususan:
a) egri chiziq bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash, hamda karrali
integral qiymatini aniqlash;
b) jadvalni teskarilash;
c) π(= 3, 14159) o‘zgarmasni hisoblash;
d) xususiy hosilali differensial tenglamani yechish;
e) tekislikda zarrachaning harakat trayektoriyasini topish;
f) turli ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini olish; Inson
faoliyati davomida yuzaga keladigan amaliy boshqaruv masalalari, xususan:
a) texnologik − ishlab chiqarish jarayonlarining imitatsion modellashtirish
masalalari (masalan, ximik jarayonlarni tadqiq qilish, zaxirani boshqarish,
texnik
xizmat ko‘rsatish sistemasini loyihalashtirish va boshqalar);
b) iqtisodiy xususiyatga ega bo‘lgan sistemaning imitatsion modellashtirish
masalalari (loyihalashtirish jarayonlari, iqtisodiy basharotlar hamda aniqroq
mazmunga, masalan, investitsion jarayonlar);
c) ijtimoiy va ijtimoiy-psixologik masalalar (masalan, aholining ko‘chishi,
guruhlar harakatining muammolari va boshqalar);
d) biomedik sistemalarning imitatsion modellashtirish masalalari (masalan,
qon aylanish, miyaning faoliyati, qondagi qizil va oq katakchalar (eritrotsit)ning
harakatlari);
e) u yoki bu harbiy strategiyani yoki taktikani qo‘llash natijasida vujudga
keladigan oqibatni tahlil qilish. Yuqorida keltirilgan
masalalarni yechishda
ishlatiladigan usul, ma’lum ma’noda, hozirgi zamon imitatsion modellashtirishning
usuli bo‘lgan Monte − Karloning o‘tmishdoshi hisoblanadi. Uning asosiy g‘oyasi
izlanayotgan bahoni olish uchun, tanlamadan foydalanishdir. Ammo ko‘rilayotgan
masala mos ravishda ehtimollik taqsimoti bilan tavsiflanishi, bu tanlama olishning
shartlarida bo‘lib, buning yordamida tanlama amalga oshiriladi. Ayrim hollarda
bunday bog‘lanishni tiklash qiyinga o‘xshaydi, masalan, determinik masala bo‘lgan
integral hisoblash bilan ehtimollik taqsimoti orasidagi bog‘lanish. Buni biz
keyinchalik batafsil ko‘rib chiqamiz. O‘tgan asrning ikkinchi yarmidan boshlab
nazariy masalalarni yechishda Monte − Karlo usulining o‘rniga murakkab amaliy
masalalarni tahlil qilish uchun, imitatsion modellashtirish
nomi bilan yangi usul
kirib keldi. Imitatsion modellashtirish Monte − Karlo usuli kabi sistemani ishlash
natijasini baholashda tanlamalardan foydalanadi. Shu ma’noda Monte-Karlo usulida
o‘z aksini topgan ko‘pgina g‘oyalar imitatsion modellashtirishda ham bevosita
tadbig‘ini topdi. Bu g‘oyalardan biri mos ehtimollik taqsimotidan foydalanib
tanlamalarni aniqlash va natijani ishonchli baholash uchun, tanlama sonini
kamaytirish usullarini ishlab chiqishdan iborat. Oxirgi paytda murakkab sistemalarni
imitatsion modellashtirishdagi muvaffaqiyatlar EHM larni takomillashtirish bilan
bevosita bog‘liqdir. Hozirgi vaqtda mavjud bo‘lgan tezkor EHM larsiz konstruktiv
ravishda imitatsion yondashuv usulini tasavvur qilib bo‘lmaydi.
Shu yerda
ta’kidlash lozimki, imitatsion modellashtirishda hisoblash sodda bo‘lishi bilan birga,
ko‘p vaqtni talab qiladi. Shu sababli bu hisoblarni "qo‘lda" bajarish amaliy jihatdan
mumkin emas. Tasodifiy sonlarning ahamiyati Yuqorida ko‘rib o‘tildiki, imitatsion
modellashtirish tanlanmalar yordamida olingan ma’lumotlar asosida sistemaning
operatsion xususiyatlarini tahlil qilishga imkon beradi. Biz tanlamalar qay tarzda
olinishi bilan tanishib chiqamiz. Bunda shuni nazarda tutishimiz kerakki, zarur
hisoblash jarayonlari EHM orqali amalga oshiriladi. Imitatsion modellarda ixtiyoriy
ehtimol taqsimotiga mos tanlamalar [0, 1] oraliqdagi tasodifiy sonlar asosida
quriladi. Tanlama qay tarzda amalga oshirishini
tushuntirishdan avval, [0, 1]
oraliqqa tegishli tasodifiy sonlar qanoatlantirishi lozim bo‘lgan statistik shartlarni
keltiramiz. 1. [0, 1] oraliqdagi ixtiyoriy son bir xil ehtimollik bilan ro‘y beradi. 2.
[0, 1] oraliqdan tasodifiy ravishda ketma-ket olinadigan sonlar joylashuvi butkul
tasodifiy generatsiya qilinadi, ya’ni ular bir-biriga bog‘liq emas va korrelyatsion
bog‘liqsiz. [0, 1] oraliqdan tasodifiy sonlarni tanlashda,
EHM da oson amalga
oshiriladigan arifmetik usullar ishlatiladi. Bunda, ko‘p hollarda, tasodifiy sonlarni
aniqlashda rekursiv formulalar orqali generatsiya qilinadigan multiplikativ
kongruent usul qo‘llaniladi. Mos statistik tekshiruv shuni ko‘rsatadiki, bu usul
yordamida [0, 1] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy sonlar tanlab olinadi. Bundan
tashqari rekursiv ifodaning parametrlarini tanlab olish mumkinki, tasodifiy
sonlarning qayta takrorlanishidan avvalgi soni modelning to‘la bir marta ishlashi
uchun, yetarli bo‘lsin. Quyida shu usul yordamida aniqlangan 186 ta tasodifiy sonlar
berilgan.
olingan sonlarni haqiqiy tasodifiy sonlardan (ularni olish uchun, umuman boshqa
usul ishlatiladi) farqlash uchun psevdo tasodifiy sonlar deb ataladi.
Tasodifiy
sonlarni olishda arifmetik usulning asosiy afzalligi shundan iboratki, uning
yordamida zarur paytlarda sonlarning bir xil ketma-ketligini olish mumkin.
Bu xossa kattalik uchun, tekis taqsimlangan holda va faqat shu holda
o‘rinli bo‘ladi. Ushbu natija ham diskret, ham uzluksiz taqsimotlar uchun,
o‘rinlidir. Diskret taqsimotlar uchun,
inversiya usuli, xuddi soqqa
tashlashdagi misoldagi mulohazalar kabi olib boriladi. Endi uzluksiz
taqsimot bo‘lgan holni qaraylik.