Muavr-laplas teoremasi va uning aniq varianti

MUAVR-LAPLAS TEOREMASI VA UNING ANIQ VARIANTI
da ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati tug`iladi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
.
Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa u holda bo`ladigan hamma va lar uchun
(1)
o`rinli bo`ladi. Bu yerda .
Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo`lgan hol uchun, so`ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan.
Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma`lum bo`lgan Stirling formulasidan foydalanamiz.
, .
bo`lgani uchun
, (2)
Shunga o`xshash dan
, (3)
tenglik o`rinli bo`ladi.
(2) va (3) tengliklardan ko`rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi.
Bernulli formulasiga asosan:
.
Stirling formulasiga asosan:

(4)
bu yerda va . (2) va (3) larga asosan
(5)
Bundan ko`rinadiki (6).
Belgilash kiritamiz:

deb belgilaymiz.
U holda (2) va (3) ga asosan:

. (7)
yetarlicha katta bo`lganda va larni yetarlicha kichik qilish mumkin? Shuning uchun va larni darajali qatorga yoyish mumkin.


(8)


(9)
(8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin:






bo`lgani uchun da
(10)
(2) va (3) larni hisobga olsak,
, (11)
va da
(12)
(6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti kelib chiqadi.
Masalalar yechishda qulaylik tug`dirish uchun

funksiya uchun jadval tuzilgan.
Bu jadval faqat argumentning manfiy bo`lmagan qiymatlari uchun tuzilgan.
juft bo`lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham shu jadvaldan foydalanish mumkin.
Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi:
(13)
Endi oldingi ma`ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan foydalanib yechamiz.
Masala shartiga ko`ra: , , ,
.
; .
Demak, .
Muavr-Laplasning lokal teoremasidan foydalanmasdan o`tkazilgan aniq hisolashlar ekanligini ko`rsatadi.
Taqribiy va aniq qiymat orasidagi farq ni tashkil qiladi. Bu xatolikni inobatga olmaslik mumkin.
Faraz qilaylik, bizdan ta bog`lanmagan tajribalarda biror hodisasining kami bilan ko`pi bilan marta ro`y berish ehtimolligini ni topish talab qilinsin.
Bernulli formulasiga asosan:
(14)
Agar lar yetarlicha katta bo`lsa, (14) ifodaning qiymatini hisoblash texnik qiyinchiliklarga olib keladi.
Shuning uchun ham ehtimollik uchun asimptotik formula izlash zaruriyati tug`iladi.