Mühazirə 18. Runqe-Kutta düsturunun xüsusi halları. Eyler düsturu. Xətanın qiymətləndirilməsi

Mühazirə 18. Runqe-Kutta düsturunun xüsusi halları. Eyler düsturu. Xətanın qiymətləndirilməsi


18.1. Eyler düsturu.
, (1)
, (2)
düsturlarında olduqda
,
.
və qiymətlərini hesablayaq.
,
.
Aşkardır ki, istənilən üçün yalnız və yalnız o zaman olar ki, olsun.
,
.
Buradan görünür ki, ümumiyyətlə desək . Beləliklə, üçün
. (3)
, (4)
başlanğıc şərtindən istifadə edərək (3) düsturu vasitəsi ilə nöqtəsində

təqribi həlli tapılır. Analoji qayda ilə - i başlanğıc şərt kimi götürərək nöqtəsində

həlli tapılır və s. Beləliklə, addımını kiçik götürməklə bərabər addımlı , nöqtələrində
, (5)
diferensial tənliyinin həllərini tapmış olarıq:
, (6)
(6) düsturu vasitəsi ilə (5) diferensial tənliyinin ədədi həllərinin tapılması üsuluna Eyler üsulu deyilir. Birinci addımda Eyler düsturunun xətası
, . (7)
düsturuna əsasən
,
olar. Eyler üsulunun həndəsi şərhi şəkil 1 -da verilmişdir.

Şəkil 1
Absis oxu üzərində nöqtəsindən başlayaraq , nöqtələrini qururuq. parçasında axtarılan inteqral əyrisini, həmin əyriyə nöqtə-sində toxunanı ilə əvəz edək (şəkildə bu toxunan ilə işarə olunmuşdur). olduqda toxunanının tənliyindən alınır ki, . Buradan görünür ki, birinci addımda funksiya artımı olar.

Analoji qayda ilə nöqtəsində inteqral əyri-ləri ailəsinə toxunan düz xətini qururuq:
.
olduqda toxunanının tənliyindən alınır ki, , başqa sözlə həlli -dən ona artımını əlavə etməklə tapılır. Nəticədə (3.6) düsturunu dövri olaraq yerinə yetirməklə həllinin qiymətlər cədvəlini almaq olar. Beləliklə, axtarılan inteqral əyrisi təqribi olaraq sınıq xətləri (Eyler sınıq xətləri) ilə əvəz olunur.