Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Misal.

A  1,2,3, B  c, d, C  a

olarsa A  B C  A C B  C

bərabərliyinin

doğruluğunu göstərək.

A  B  1,2,3, c, d

A  B C  1,2,3, c, da 1, a, 2, a, 3, a, c, a, d, a

A C B  C  1, a, 2, a, 3, a c, a, d, a 1, a, 2, a, 3, a, c, a, d, a

Buradan A  B C  A CB  C olar.

Misal. A  a,b, c, d, B  c, d, C  a _olarsa A  B C  A C B  Cbərabərliyinin

doğruluğunu göstərək.

^{( ) {}( )^{} { } {( )} ( )<sup>}

( ) ( ) {( ) ( ) ( )</sup> ( )^{} {( )} ( )^{} {( )} ( )^}

Buradan A  B C  A C B  C olar.

3. 
   Riyaziyyat kursunda elə məsələlərin həllinə baxılır ki, bu məsələlərdə sonlu çoxluqların birləşməsinə və kəsişməsinə daxil olan elementlərin sayını tə yin etmək lazım gəlir. Belə məsələlərin həllinin xüsusi priyomu var. Tutaq ki, iki çoxluq verilmişdir:
   

^{{ } { }}

n(A)= 3, n(B) = 3 və

n( ) , çünki çoxluqların ortaq elementi yoxdur. Aşkardır A və B çoxluqlarının birləşməsində olan elementlərin sayı A və B çoxluqlarında olan elementlərin sayının cəminə bərabərdir . Yəni,

^{( ) ( )} ( ) Bu düstur böyük praktik əhəmiyyətə malik olub, cəm qaydası adlanır. Əgər verilmiş A və B çoxluqlarının kəsişməsi olarsa onda onların birləşməsində olan elementlərin sayı aşağıdakı düsturla təyin edilir:

^{( ) ( ) ( )} ( )

Məsələ. Sinifdə bir neçə şagird marka yığmaqla məşğul idi. 11 nəfər xarici ölkələrin, 15 nəfər keçmiş SSRİ-nin, 6 nəfər həm xarici ölkələrin, həm də keçmiş SSRİ-nin m markalarını yığırdı. Cəmi neçə şagird marka yığmaqlaqla məşğul idi?

Həlli: ^{( ) ( ) ( ) ( )}

Məsələ. Sinifdəki40 şagirddən 23 nəfəri riyaziyyat dərnəyində, 27 nəfəri ədəbiyyat dərnəyində iştirak edir. Həm riyaziyyat, həm də ədəbiyyat dərnəyində iştrak edən şagirdlərin sayını tapın.

Həlli: ^{( ) ( ) ( ) ( )}

*Tutaq ki, A və B çoxluqları verilmişdir. Bu çoxluqların elementləri olsun. İndi bu üç çoxluğun Dekart hasillərini düzəldək.

A B  a, c, a, d , b, c, b, d 

A₁  a,b,

B  c, d

A  B Dekart hasillərindəki elementlərin sayı həmin çoxluqların elementlərinin sayını

göstərən ədədlərin hasilinə bərabərdir. Həqiqətən, _A- in elementinin sayı 2, _B-nin elementinin sayı 2-yə bərabərdir.

Beləliklə ^{( )} ( ) ( ) düsturunu alırıq.

Bu üsula hasil qaydası deyilir. Bu düstur iki sonlu çoxluğun Dekart hasilinə daxil olan mümkün cütlərin sayını tapmağa imkan verir. Əgər a elementini n üsulla, b elementini m

üsulla seçmək olarsa, onda a,b nizamlanmış cütünü n  m üsulla seçmək olar.

Məsələ.A məntəqəsindən B məntəqəsinə üç yol gedir. B-dən C-yə isə iki yol gedir.B məntəqəsindən keçməklə A-dan C-yə neçə üsulla getmək olar? Məsələni həll etmək üçün A-dan B-yə gedən yolları

B-dən C-yə gedən yolları isə a və b ilə işarə edək.

A B C

Onda A-dan B-yə gedən hər bir üsul bir cüt göstərir. Bu cütlər aşağıdakılardır:

,a , ,a , ,a , ,b , ,b , ,b . Aydındır ki, alınan cütlər çoxluğu A-dan B-yə gedən yollar çoxluğu A₁ , , ilə B-dən C-yə gedən yollar çoxluğunu A₂ a,b -nin dekart hasilini göstərir. Hasil qaydasına əsasən n A₁ A₂ n A₁ n A₂) n A₁ 3 və n A₂ 2 olduğuna görə n A₁ A₂ 6 olar. Deməli, Aməntəqəsindən C məntəqəsinə (B-dən keçməklə) 6 üsulla getmək olar.

Mövzu 4. Mülahizə anlayışı. Mülahizələr üzərində məntiqi əməllər.

Plan

1. 
   Riyazi məntiqin inkişafı haqqında qısa məlumat.
   
2. 
   Mülahizə anlayışı. Mülahizələrin növləri.
   
3. 
   Mülahizələrin inkarı, konyunksiyası və dizyunksiyası.
   
4. 
   Mülahizələrin implikasiyası və ekvivalensiyası.
   

1. 
   Məntiq – insan təfəkkürünün qanun və formaları haqqında elmdir. Məntiq sərbəst bir elm kimi hələ bizim eradan əvvəl yunan filosofu Aristotelin əsərlərində (b.e. əvvəl 384- 322-ci illər) formalaşdırılmışdır. Aristotel o zamana qədər məlum olan məlumatları sistemləşdirdi və bu sistem sonralar formal məntiq, yaxud da onun şərəfinə Aristotel sistemi adlandırıldı. Uzun müddət formal məntiq nəzəriyyəsində xüsusi diqqət çəkən dəyişikliklər baş vermədi. Riyaziyyat elminin sonrakı inkişaf prosesi təbii olaraq Aristotel məntiqi nəzəriyyəsinin çatışmamazlığını üzə çıxardı və bu nəzəriyyənin gələcək inkişaf tələbini qarşıya qoydu. Məntiq nəzəriyyəsinin riyazi əsasda qurulması haqqında ideyanı tarixdə ilk dəfə XVII əsrin sonunda alman riyaziyyatçısı H.Leybnits (1646-1716) təklif etmışdi. O hesab edirdi ki, məntiqin əsas anlayışları, xüsusi qaydalarla birləşdirilmiş simvollarla işarə edilməlidir. Bununla da istənilən mühakiməni müəyyən məntiqi dusturlar üzərində hesablama prosesi ilə əvəz etmək imkanı yaranacaqdır. O demişdir: “Biz işarələri yalnız öz fikrimizi başqalarına çadirmaq üçün deyil, həmçinin öz düşünmə prosesimizin yüngülləşdirilməsi üçün istifadə edirik” (Leybnits). Leybnitsin ideyalarının həyata keçirilməsi ilk dəfə ingilis alimi C.Bula (1815-1864) nəsib olmuşdur. O, mülahizələri hərflərlə işarə edərək, yeni bir cəbr yaratdı ki, bu da mülahizələr cəbrinin yaranmasına gətirib çıxardı. Məntiq nəzəriyyəsində simvolik işarələmələrin daxil edilməsi, riyaziyyatda hərfi işarələmələrin oynadığı rol qədər həlledici əhəmiyyətə malik oldu. Məhz simvolların daxil edilməsi riyazi məntiq elminin yaradılmasının əsasını qoydu. XIX yüzilliyin sonunda məntiq nəzəriyyəsinin anlayış və ideyalarının əsaslandırılması məsələsi riyaziyyatçılar üçün maraq kəsb etməyə başladı. Bu sahədə alman riyaziyyatçısı H.Freqenin (1848-1925) və italyan riyaziyyatçısı D.Peanonun (1858-1932) əsərləri xüsusilə fərqlənir, belə ki, onlar riyazi məntiqi, hesab elminin və çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsaslandırılması üçün tətbiq etdilər.
   
2.