Müstəvi üzərində verilmiş F

.

Müstəvi üzərində verilmiş F₁ və F₂ nöqtələrindən məsafələri fərqinin mütləq qiyməti verilmiş PQ parçasının uzunluğuna bərabər olan bütün nöqtələr çoxluğuna PQ F₁F₂ şərti daxilində hiperbola deyilir.
F₁ və F₂ nöqtələri hiperbolanın fokusları, onlar arasındakı məsafə isə fokal məsafə adlanır. F₁F₂ PQ 0 olduğundan, hiperbolanın fokusları müxtəlif nöqtələrdir. Əgər Mverilmiş hiperbolanın nöqtəsidirsə, onda F₁M və F₂M parçalarına Μ nöqtəsini fokal radiusları deyilir. Bu parçaların uzunluqları da Μ nöqtəsinin fokal radiusları adlanır.

Tutaq ki, F₁F₂=2c, PQ=2a. PQ F₁F₂ olduğundan a c.
γ hiperbolasının Oij düzbucaqlı koordinat sistemində tənliyini çıxaraq. Bu koordinat sistemində F₁ (c, 0), F₂ (-c,0) olduğundan F₁M və F₂M fokal radiusları üçün ( 1 ) düsturları doğrudur.

Hiperbolanın tərifinə görə │F₁Μ - F₂ Μ │= 2a, ona görə də │√ (x - c)² + y² - √ (x + c)² + y² │ = 2a .

Bu tənliyi √ (x + c)² + y² = √ (x - c)² + y² ± 2a şəkildə yazaq
( 5 )

5. 
   tənliyini kvadrata yüksəldib oxşar hədləri islah etsək, alarıq: ± a √ (x - c)² + y² = a² - xc
   

Bir daha kvadrata yüksəltsək, zəruri çevirmələrdən sonra yaza bilərik: x²₂ ^yb^{2 2} = c² - a²
- = 1 (6) burada b _{a 2}
(7)
Beləliklə, göstərdik ki, γ hiperbolasının ixtiyari noqtəsinin koordinatları (6) tənliyini ödəyirlər. İsbat edək ki, koordinatları (6) tənliyini ödəyən hər bir Μ nöqtəsi γ hiperbolası üzərində yerləşir, yəni │ F₁Μ - F₂ Μ │= 2a şərtini ödəyir.

5. 
   tənliyindən y² kəniyyətinin ifadəsini (1) düsturlarında əvəz edək və (7) bərabərliyini nəzərə alaq.
   

c c

Nəticədə yaza bilərik: F₁Μa= x – a , F₂Μa = x + a .
c

(6) tənliyindən al ınır ki, │x│ ≥ a , digər tərəfdəan , 1 , ona görə də c c c c

F₁Μ= a x – a, F₂Μ = a x + a , x 0 olduqda və F₁Μa= - x + a, F₂Μa = -
x - a ,

x 0 olduqda (8)

Beləliklə, │F₁Μ - F₂Μ │=2a , yəni M γ . Bununla da müəyyən olundu ki, (6) γ hiperbolasının tənliyidir. Bu tənliyə hipperbolanın kanonik tənliyi deyilir.
(6) kanonik tənliyindən hiperbolanın həndəsi xassələrini öyrənmək üçün istifadə edək.
Əgər M(x, y) γ olarsa, onda x² ≥ a². Deməli x ≥ α yaxud - x ≤ a . Bu isə göstərir ki, şəkil 3-də təsvir olunan A₁M₁ və A₂M₂ düz xəttlərinin əmələ gətirdiyi zolağın daxilində hiperbolanın nöqtələri yoxdur (OA₁=OA₂=a)
E llips halında olduğu kimi göstərilir ki, Ο nöqtəsi hiperbolanın simmetriya mərkəzidir, Ox və Oy düz xəttləri isə simmetriya oxlarıdır.
Simmetriya mərkəzi hiperbolanın mərkəzi, fokuslardan keçən simmetriya oxu birinci və ya fokal simmetriya oxu, ona perpendikulyar olan oxu isə ikinci və ya xəyali simmetriya oxu adlanır. Fokal simmetriya oxu hiperbolanı A₁(a, 0),
A₂(-a, 0) nöqtələrində kəsir. Xəyali simmetriya oxu hiperbolanı şəkil 3. kəsmir. A₁ və A₂ nöqtələri hiperbolanın təpələri, A₁A₂ parçası isə həqiqi oxu adlanır. a və b ədələrinə hiperbolanın uyğun olaraq böyük və kiçik yarım oxları deyilir.
γ hiperbolasının Ο mərkəzindən keçən 1 düzxəttinin bu hiperbola ilə qarşılıqlı
vəziyyətini nəzərdən keçirək. Oij koordinat sistemində 1 düz xəttinin bucaq əmsallı tənliyini yazaq; y=kx. Y-in qiymətini (6) tənliyində yerinə yazıb müvafiq elementar çevirmələr aparsaq, alanq: x² (b² - k²a² ) = a²b² .
(9)
Bu tənliyin kökləri 1 düz xəttinin γ hiperbolası ilə kəsişmə nöqtələrinin absisidir.

1. 
   b² - k²a² 0 , bu halda 1 düz xəttinin γ hiperbolası ilə iki kəsişmə nöqtəsi vardır:
   

ab kab - ab -kab

Μ₁= , , Μ₂ , .
√b2- k2 a2 √b2- k2 a2 √b2- k2 a2 √b2- k2 a2

2. 
   əgər b² - k²a² 0 olarsa, onda (9) tənliyinin xəyali kökləri vardır, ona görə də 1 düz xətti hiperbolanı kəsmir.
   
3. 
   b² - k²a² = 0 olduqda da (9) tənliyini həlləri yoxdur, yəni 1 düz xəttinin hiperbola ilə ortaq nöqtələri yoxdur.
   

-b b

Beləliklə, y=kx düz xətti (6) hiperbolasını yalnız və yalnız b² - k²a² 0 , yaə ni a k olduqda kəsir.
b
-b

k=tgα olduğundan, tgα , buradan α - 1 düz xəttinin Ox oxu ilə əmələ
a a
gətirdiyi bucaqdır. Deməli,
hiperbolanın bütün nöqtələri şəkil 3-də təsvir olanan qarşılıqlı bucaqların daxili oblastlarında yerləşirlər. Ona görə də, hiperbolanın iki qanadı vardır, onlardan biri Ω₁ oblastında (sağ qanad), digəri isə Ω₂ oblastında yerləşir.
² - k²a² =0 halına bir daha nəzər yetirək. Bu hala bucaq əmsallarbaı k₁ = , bak 2 = -
b
olan l₁ və l₂ düz

xəttləri uyğundurlar. Hiperbolanı kəsməyən l₁ və l₂ düz xəttləri onun asimtotları adlanb ır (şəkil 3). Tutaq ki, M(x₁,y₁) - hiperbolanın I rübdə yerləşən(x 0, y ≥ 0) ixtiyari nöqtəas idir, N(x₁, y₂)- y = x tənliyi ilə verilən l₁ asimtotunun nöqtəsidir. MN parçasının uzunluğunu hesablayaq:


MN = │y2 – y1│= ba x - ba √ x2 - a2 ba = ( x - √ xx+ √ x2 - aab2 )₂ = – a₂
Μ nöqtəsinin x absisinin qeyri-məhdud artması zamanı MN parçasının uzunluğu monoton azalaraq, sıfıra yaxınlaşır.
Bu xassə hiperbolanın asimtotlar nəzərən vəziyyətini müəyyən etməyə imkan verir (şəkil
4). ^c a
e = ədədi hiperbolanın eksentrisiteti adlanır. c  a olduğundan hiperbolanın eksentrisiteti 1-dən böyükdür.
a=b olduqda hiperbolaya bərabərtərəfli hiperbola deyilir.Bərabərtərəfli hiperbolanın tənliyi x² -y² =a² şəklindədir. b
(7) düsturundan alırıq ki, a = √c² - l
(10)
(10) bərabərliyində a = b olduğunu nəzərə alsaq, c²= 2, və ya e = √ 2 nəticəsinə gəlmiş olarıq. Beləliklə, bərabərtərəfli hiperbolanın eksentrisiteti √2 ədədinə bərabərdir və asimtotlarının y = x, y = -x tənlikləri vardır.