Nazariy mexanika (2). pdf



Yüklə 67,14 Kb.
səhifə2/2
tarix02.06.2023
ölçüsü67,14 Kb.
#123713
1   2
Nazariy mexanika lotin


(5)

Bu yerdagi F funksiya almashtirishning hosilaviy funksiyasi deyiladi. (5) ni quyidagicha yozamiz

(6)

Bundan biz F funksiyani F = F (q, Q, t ) deb topamiz:

(7)

F funksiyaning berilgan qiymatida (7) formulalar yeski (p, q) va yangi (P, Q)
o’zgaruvchilar o’rtasida, shuningdek Gamilton funksiyalari o’rtasida bog’lanishni ifodalaydi.
Ayrim hollarda hosilaviy funksiyani o’zgaruvchilarda ifodalash qulay
bo’lishi mumkin. Buning uchun (6) Pi dQi hadni boshqacha qilib yozamiz:
Pi dQi = d PiQi QidPi
va (6) ni qayta yozamiz:



Yangi
d (F + Pi Qi ) = pi dqi + Qi dPi + (H '−H )dt
Ф(q, p,t) = F + Pi Qi

hosilaviy funksiya kiritib,
Pi
= ∂Φ ,
qi
Q = ∂Φ ,

i
pi
H ' = H + ∂Φ
t

kabi kanonik almashtirishlarni olamiz. Shu yo’l bilan har xil hosilaviy funksiyalar kiritish yordamida yangidan yangi kanonik almashtirishlar olish mumkin.
Kanonik almashtirishlarga misol tariqasida garmonik ossillyatorni qaraymiz.
Ossillyator uchun (m = 1)

x˙2 ω2 x2
L = ,
2
q = x,
p = L
x˙
= x˙,
p 2 +ω2q 2
H =
2

Yangi impuls va koordinata kiritaylik:
P iA* = i p + iωq ;
Q = A = p iωq


(8)



P, Q dan tashkil topgan Puasson qavsini hisoblaylik:

(P,Q) = i( A*, A) = P Q P Q =

= (i


p q
i 1
q p
) =

2ω 2ω


= i( iω iω ) = i − 2= 1

2ω 2ω
Demak,
2ω
(A* , A) = −i,


(P, Q) = (P, A) = 1

bajariladi va (8) almashtirishlar kanonik almashtirishlar bo’ladi. yangi o’zgaruvchilarda

PA = i
p + iωq
p iωq = i
p 2 +ω2 q2


2ω


ω

H
= i p 2 +ω2 q 2 = i
ω 2


Bundan


=
ω


H PA = −iωPA = −(iA*
, A) = ωA* A

i


Harakat tenglamalari


A* , A

lar uchun quyidagicha yoziladi:



dA* *
A*H
A*
H

= ( A
dt
, H ) =

PQ
Q
P =



= 1ωA = −ωA

i
 
 
Bu tenglamalar yechimi


dA A H A H ωA



dt = ( A, H ) =  P Q Q
P = i
= iωA



hisoblanadi.
A = aeiωt ,
A* = a*eiωt
(9)

Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmagani uchun bo’ladi va energiya saqlanuvchan bo’ladi.
H = 0
t

p2 + ω2 q2
H =

2


= −ωA*
A = ωa*a

(9) yechimda
a, a*
larni
A, A*
lar orqali ifodalash ham mumkin:

U holda




a* , a
a = eiωt A , a*
lar uchun Puasson qavsi
= eiωt A*

(a*, a) = eiωt eiωt ( A*, A) = −i

Ya’ni
(a*, a)
ning qiymati
( A, A* )
ning qiymati kabi bo’ladi. Lekin
a* , a

larning vaqt bo’yicha o’zgarishi Haqiqatan
A, A*
larning o’zgarishidan farq qiladi.

da = a ≠ (aH ) = −iωa + a H
a H =

dt t
P Q
Q P

= −iωa + (0 − eiωt ωA) = −iωa + iωa = 0
i


Nazorat savollari



  1. Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasini yozing (umumlashgan koordinata, Lagranj tenglamasi, Gamilton tenglamasi, almashtirish, yangi o’zgaruvchilar).

  2. O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish ifodasini ko’rsating. (hosilaviy funksiya, kanonik almashtirish, garmonik almashtirish, garmonik ossillyator)

  3. Yangi kanonik almashtirish formulasini yozing. (yangi kanonik almashtirish Gamilton funksiyasi, Puasson qavsi)

Yüklə 67,14 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin