Nazariy savollar batafsil va mukammal o‘rganilishi

Kirish

Innovatsion jarayonning muhim bosqichi – talabalarning bilish faolligini rivojlantirish, fikrlash qobiliyatini faollashtirish, o‘quv jarayonini jadallashtirishdan iboratdir. Bu maqsadni amalga oshirishda talabaning mustaqil bilim olishi alohida o‘rin egallaydi. Mustaqil ta’limning asosiy maqsad va vazifalari talabani o‘quv uslubiy adabiyotlarni mustaqil tarzda o‘rganib, nazariy va amaliy bilimlarini amaliyotga tadbiq qila olish ko‘nikmalarini shakllantirishdan iboratdir.

“Matematik usullar va modellar” fani texnikaga oid predmetlarda, ishlab chiqarishni tashkil etish va boshqarishda hamda iqtisodiy jarayonlarni tahlil qilishda, ularni rejalashtirishda katta tadbiqqa ega. Bu jarayonlarni batafsil o‘rganish, tahlil qilish uchun yangi matematik usullar, yangi matematik modellar yaratish lozim bo‘ladi. Bunda kerakli matematik bilimlarni egallash, mustaqil ish topshiriqlari, loyiha-hisob ishlari va ularni bajarish muhim rol o‘ynaydi. Bu borada o‘quv-adabiyotlar yetarli emas. Ushbu uslubiy ko‘rsatmalar paydo bo‘lgan bo‘shliqlarni to‘ldiradi degan umiddamiz.
Loyiha-hisob ishining topshiriqlari semestr boshida beriladi va semestr davomida bajariladi. Ularni topshirish muddati o‘qituvchi tomonidan belgilanadi. Barcha texnika yo‘nalishidagi bakalavr-talabalar “Matematik usullar va modellar” fanini o‘rganish davomida bir necha talablardan iborat bo‘lgan loyiha-hisob ishini bajaradilar. Loyiha-hisob ishi nazariy savol va mashqlardan hamda amaliy topshiriqlardan iborat. Nazariy savollar barcha talabalar uchun umumiy bo‘lib, masalalar esa har bir talaba uchun alohida-alohida qilib tuzilgan.
Loyiha-hisob ishi topshiriqlarini bajarish uchun talabalardan quyidagi vazifalarni bajarish talab etiladi:

• 
  nazariy savollar batafsil va mukammal o‘rganilishi;
  
• 
  loyiha-hisob ishiga qo‘yilgan talablar alohida-alohida bajarilishi;
  
• 
  masalalarning yechilishi, yechish usullari ravshan bayon qilinishi;
  
• 
  kerakli shakllar aniq chizilishi;
  
• 
  loyiha-hisob ishini bajarishdan hosil bo‘ladigan xulosalar aniq bayon etilishi;
  
• 
  topshiriq alohida daftarga bajarilishi;
  
• 
  berilgan topshiriq o‘z vaqtida bajarilishi va topshirilishi lozim.
  

Loyiha-hisob ishi topshirig’ining hab bir talabi o‘qituvchi tomonidan terkshiriladi, reyting tizimi bo‘yicha baholanadi va joriy nazorat ballarida aks etadi.

1. Loyiha-hisob ishiga qo‘yiladigan talablar

1. 
   Talaba yechishi lozim bo‘lgan masala puxta o‘rganilib chiqib, uning shakli chiziladi.
   
2. 
   Masalani talabaning mutaxassisligi bilan bog’liqligi, tadbiq qilinishi mumkin bo‘lgan sohasi va joyi aniqlaniladi hamda tasvirlanadi.
   
3. 
   Jarayonning harakat tenglamasi, chegaraviy va boshlang’ich shartlari yoziladi.
   
4. 
   Yozilgan xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama klassifikatsiyalanadi va u kanonik ko‘rinishga keltiriladi.
   
5. 
   Qo‘yilgan boshlang’ich-chegaraviy masala Fur’e usulida yechiladi.
   
6. 
   Topilgan yechimning beshta, oltita, yettita hadlari saqlanib qolingan hollarda, uning grafigi MAPLE 18 dasturidan foydalanilib chiziladi. Bunda kerakli ma’lumotlarni talabaning mutaxassisligidan kelib chiqqan holda, talabaning o‘zi kiritadi.
   
7. 
   Topilgan yechim va chizilgan grafiklar tahlil qilinib, yana talabaning mutaxassisligiga moslab xulosalar chiqariladi.
   
8. 
   Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltiriladi.
   

2. Loyiha-hisob ishini bajarishda foydalaniladigan nazariy tushunchalar

2.1. Ikki o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli tenglamalarni klassifikatsiyalash

Yuqori tartibli hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lgan

(1)
tenglamani qaraylik, bu yerda , va koeffitsiyentlar larning berilgan funksiyalari bo‘lib, ikkinchi tartibli hosilalarigacha uzluksiz. Shu bilan birga lar bir vaqtda nolga teng emas deb faraz qilamiz (aks holda tenglama 2-tartibli bo‘lmay qolar edi). koeffitsiyentlardan ixtiyoriy ikkitasi aynan nol bo‘lsa (1) tenglama o‘z-o‘zidan kanonik ko‘rinishga kelgan bo‘ladi.Berilgan (1) tenglamada erkli o‘zgaruvchilarni quyidagi formulalar
(2)
orqali almashtiramiz. Bunda va funksiyalar birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz va yakobian
(3)
bo‘lsin deb, faraz qilamiz. Shu (3) shart bajarilsa, (2) almashtirish teskari almashtirishga ega bo‘ladi, ya’ni .(1) tenglamaga kirgan hosilalarni yangi o‘zgaruvchilar larga nisbatan hisoblaymiz:
(4)
Hisoblangan hosilalar qiymatlarini (4) dan (1) tenglamaga qo‘yib quyidagini topamiz:
(5)
bunda
(6)
bo‘lib, funksiya ikkinchi tartibli hosilalarga bog’liq bo‘lmaydi. Agar argumentlariga nisbatan chiziqli funksiya bo‘lsa (5) tenglamadagi ham chiziqli funksiya bo‘ladi, ya’ni (1) tenglama chiziqli bo‘lsa (2) almashtirishdan so‘ng ham chiziqliligicha qolaveradi.¹
Bizning ixtiyorimizdagi , funksiyalar ixtiyoriy funksiyalar bo‘lib, faqatgina (3) shartga bo‘ysunadilar xolos. Endi ularni shunday tanlaylikki, (5) tenglama eng sodda holga kelsin.Shu maqsadda, ushbu
(7)
birinchi tartibli tenglamani qaraylik. Agar funksiya (7) tenglamaning yechimi bo‘lsa va desak (6) dan ko‘rinib turibdiki, bo‘ladi, xuddi shunday ham (7) tenglamaning boshqa yechimi bo‘lsa, (bunday yechim ham borligini keyinroq ko‘rsatamiz) va desak (6) dan bo‘lishi ko‘rinadi.Demak, hamma gap (7) tenglamada ekan. Bu tenglama haqida quyidagi ikki tasdiqni isbotsiz keltiramiz.
1. Agar funksiya (7) tenglamaning xususiy yechimi bo‘lsa, u holda
(8)
oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bo‘ladi.
2. Agar (8) tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda funksiya (7) tenglamani qanoatlantiradi.Demak, (8) oddiy differensial tenglamaning yechimlarini topsak, (7) tenglamaning ham yechimlarini topgan bo‘lar ekanmiz.Yuqoridagi (8) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi, uning yechimlari esa (1) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(8) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bu tenglikdan
(9)
(10)
ekanligi kelib chiqadi.Berilgan (1) tenglamada, umumiyatlikka zarar yetkazmasdan, har doim deb olishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, buning uchun agar bo‘lsa (1) tenglamaning ikkala tomonini (-1) ga ko‘paytirsak kifoya. Agar va bo‘lsa, u holda va larining o‘rinlarini almashtirish yetarli, agar (lekin, ) bo‘lsa, u holda tenglamada

almashtirish bajarilsa olingan tenglamada yana koeffitsiyent paydo bo‘ladi.Qaralayotgan (1) tenglamaning tiplarga bo‘linishi (9) (10) tenglamalardagi ifoda (diskriminant) ning ishorasiga bog’liq. deb belgilaylik.Berilgan sohaning biror nuqtasida (1) tenglamaning tipi: