Ochiq maʻruza ishlanmasi Guruhlar: chxt101-102 Sana
Yüklə 135,04 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Reja: 1. Sonli ketma-ketlik. 2. Ketma-ketlikning limiti. 3. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. 4. Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish.
- Ketma-ketlikning limiti
- Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari
- Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish
- Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari.
- 1-lemma . Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi (ko’paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo’ladi. 2-lemma
- Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning limiti. Teorema
- Teorema .
- Cheksiz katta miqdorlar
|
Ochiq maʻruza ishlanmasi Guruhlar: CHXT101-102 Sana: 22.02.2020 Maʻruzachi: dots. Sh.Ismailov Mavzu. Sonli ketma-ketlik va uning limiti. Reja: 1. Sonli ketma-ketlik. 2. Ketma-ketlikning limiti. 3. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari. 4. Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish. Sonli ketma-ketlik. Ta’rif. A niqlanish sohasi natural sonlar to’plami dan iborat bo’lgan f(n) sonli funksiya sonli ketma-ketlik deyiladi. f(1)=x 1 , f(2)=x 2 , ... , f(n)=x n , … desak , x 1 , x 2 , …, x n , … sonli ketma-ketlikka ega bo’lamiz. x 1 - ketma-ketlikning 1-hadi, x 2 - 2-hadi, ... , x n - n -hadi yoki umumiy hadi deyiladi. Ketma-ketlik ( x n ) orqali , ba’zi adabiyotlarda esa { x n } orqali belgilanadi. Misol. 1. ,..., 1 ,..., 2 1 , 1 n n x n 1 ; 2. 2, 4, 6, …, 2 n, … x n = 2 n; 3. -1, 1, -1, 1, ..., x n = (-1) n . Ketma-ketlikning limiti . Bizga ( x n ) ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Ta’rif. A gar har bir >0 son uchun shunday n 0 mavjud bo’lib, n>n 0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha n larda |x n -a|< tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda a son ( x n ) ketma-ketlikning limiti deyiladi. a limitga ega bo’lgan ketma-ketlik yaqinlashuvchi (a ga intiluvchi) ketma-ketlik, aks holda uzoqlashuvchi ketma-ketlik deyiladi. Limit n lim x n =a, lim x n =a yoki x n a ko’rinishlarda belgilanadi. Demak, n lim x n =a 0 0 0 ( ) : def n n n n x a (a- ; a+ ) interval a nuqtaning - atrofi deyiladi. Ravshanki, |x n -a|< - n -a< a- n Endi ketma-ketlik limitining boshqacha ta’rifini keltirib chiqaramiz: Ta’rif. A gar a nuqtaning ixtiyoriy - atrofi uchun biror n 0 nomerdan boshlab ( x n ) ketma-ketlikning barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, u holda a s oni ( x n ) ketma- ketlikning limiti deyiladi. Misol. x n ,... 1 ,..., 3 2 , 2 1 , 1 n n n n ketma-ketlikning limiti 1 bo’lishini ko’rsatamiz. 1 1 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 0 n n n n n x n deb olsak, n>n 0 larda |x n -a|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, 1 1 lim n n ekan. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari . 1 0 . A gar n lim x n =a va a>p (a bo’lsa, y holda biror nomerdan boshlab x n >p (x n bo’ladi. Isbot . a>p bo’lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. n lim x n =a bo’lganidan >0 uchun n 0 natural son topilib, n>n 0 larda a- n bo’ladi. dan a- >p bo’lib, x n >p ekanligi kelib chiqadi. ( a hol ham shu kabi qaraladi). Natija . A gar n lim x n =a va a>0 (a<0) bo’lsa, u holda biror nomerdan boshlab x n >0 (x n <0) bo’ladi. 2 0 . Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega. Isbot . Faraz qilaylik ( x n ) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo’lsin, bunda a . Haqiqiy sonlar to’plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo’lib, a bo’ladi. n lim x n =a, a bo’lganligi uchun biror n 1 nomerdan boshlab, x n n lim x n =b, b>r bo’lganligi uchun biror n 2 nomerdan boshlab x n >r bo’ladi. n 0 =max{n 1 ,n 2 } deb olsak, n>n 0 larda x n va x n >r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi. 2 0 . Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo’ladi, yani M son mavjud bo’lib, barcha n lar uchun | x n | tengsizlik o’rinlidir. Isbot . n lim x n =a bo’lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror 0 n nomerdan boshlab a- n tengsizlik o’rinli bo’ladi. |x 1 |, |x 2 |, …, | 0 n x |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x n | ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x n ) ketma- ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi. Tenglik va tengsizlikda limitga o’tish . 1. A gar barcha n lar uchun x n =y n bo’lib, n lim x n =a, n lim y n =b bo’lsa, u holda a=b bo’ladi. Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi. 2. A gar barcha n lar uchun x n >y n bo’lib, n lim x n =a, n lim y n =b bo’lsa, u holda a b bo’ladi. Isbot . Faraz qilaylik a>b bo’lsin. a va b sonlar orasida r son olsak, a>r>b, n lim x n =a, a>r bo’lgani uchun biror n 1 , nomerdan boshlab x n >r, n lim y n =b, b < r bo’lgani uchun biror n 2 nomerdan boshlab y n bo’ladi. n 0 =max{n 1 ,n 2 } deb olsak, n>n 0 larda x n >r va y n kelib chiqadi. Bundan x n >y n bo’ladi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi. 3. A gar barcha n lar uchun x n n < z n bo’lib, n lim x n = n lim z n =a bo’lsa, u holda n lim y n =a bo’ladi.(isbotlang) Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari. Ta’rif. A gar n lim n =0 bo’lsa, u holda ( n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi. A gar n lim x n =a bo’lsa, u holda n =x n -a cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Haqiqatan, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan har bir >0 uchun n 0 natural son topilib, n>n 0 lar uchun | n |=|x n -a|< tengsizlik o’rinli. A ksincha, agar n =x n -a cheksiz kichik miqdor bo’lsa, u holda n lim x n =a bo’ladi. Demak, a son ( x n ) ketma-ketlikning limiti bo’lishi uchun uni x=a+ n ko’rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda n cheksiz kichik miqdor. 1-lemma . Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi (ko’paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo’ladi. 2-lemma . Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.(isbotlang) Misol. x n = sin n 2 chegaralangan miqdor, n = n 1 cheksiz kichik miqdor, lemmaga asosan n n 2 sin cheksiz kichik miqdor bo’ladi, ya’ni n lim n n 2 sin =0. Teorema'> Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning limiti. Teorema . A gar ( x n ) va (y n ) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda ( x n y n ) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lib, n lim ( x n y n )= n lim x n n lim y n tenglik o’rinli . Isbot. n lim x n =a, n lim y n =b desak, u holda x n =a+ n , y n =b+ n deb olish mumkin, bu yerda n va n lar cheksiz kichik miqdorlar. x n y n =(a+ n ) (b+ n )=a b+ n n =ab+ n , bunda n = n n - 1 – lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, n lim (x n y n )=ab= n lim x n n lim y n . Teorema . A gar ( x n ) va ( y n ) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo’lsa, ( x n y n ) ketma- ketlik ham yaqinlashuvchi bo’lib, n lim (x n y n )= n lim x n n lim y n tenglik o’rinli . Isbot. Oldingi teorema isbotidagi belgilashlarni kiritsak x n y n =(a+ n ) (b+ n )=ab+a n +b n + n n =ab+ n , bunda n = a n +b n + n n - 1,2 – lemmalarga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, n lim (x n y n )=ab= n lim x n n lim y n . Teorema . A gar ( x n ) va ( y n ) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va n lim y n 0 bo’lsa, ( n n y x ) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo’lib , n n n n y x y x lim lim lim tenglik o’rinli . Cheksiz katta miqdorlar . Ta’rif. Har bir M son uchun shunday n 0 nomer mavjud bo’lib, barcha n>n 0 lar uchun |x n |>M tengsizlik o’rinli bo’lsa, ( x n ) ketma-ketlik cheksiz katta miqdor yoki ketma- ketlik deyiladi. Bu holda n lim x n = belgilash ishlatiladi. Demak, n lim x n = 0 0 0 ( ) : def n M n n n x M Biror nomerdan boshlab x n >0 ( x n <0) bo’lsa, n lim x n = tenglik n lim x n =+ ( n lim x n =- ) ko’rinishda yoziladi. Misol. 1. x n =n 2 , n lim n 2 =+ ; 2. z n =-2n, n lim (-2n)=- . Teorema . A gar x n cheksiz katta miqdor bo’lsa, u holda n = n x 1 cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Teorema . A gar n cheksiz kichik miqdor bo’lsa, x n = n 1 cheksiz katta miqdor bo’ladi. Nazorat savollari. 1. Ketma-ketlikka ta’rif bering. 2. Nuqtaning atrofi nima? 3. Ketma-ketlik limiti ta’riflarini keltiring. 4. Qanday ketma-ketlik chegaralangan deyiladi? 5. Qanday ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi? 6. Qanday ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi? 7. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalarini ayting. 8. Tenglikda limitga o’tish mumkinmi? Tengsizlikdachi? Tayanch tushunchalar. Ketma-ketlik, limit, yaqinlashuvchi, uzoqlashuvchi ketma- ketlik, Cheksiz kichik miqdor, Cheksiz katta miqdor. Yüklə 135,04 Kb. Dostları ilə paylaş:
|