Oliy matematika kafedrasi
To’la differensialli tenglamalar
Yüklə 168,73 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- III darajali testlar
- 40.6-ilova Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
|
4. To’la differensialli tenglamalar. ( )
( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M (1) ko’rinishdagi tenglamaning chap qismi biror ( )
funksiyaning to’liq differensiali, ya’ni
=
( )
( ) dy y x N dx y x M , , + bo’lsa, bunday tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi.(1) tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun
x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ shart bajarilishi kerak. To’la differensialli tenglama ta’rifidan =
0 bo’lib, bundan ( )
y x u , = С kelib chiqadi( С ixtiyoriy o’zgarmas). ( ) y x u ,
funksiyani topish uchun y ni o’zgarmas deb hisoblaymiz, u holda 0 =
ekanligidan =
( )
dx y x M ,
х bo’yicha integrallasak, ( )
( ) ∫ + = y dx y x M u ϕ , tenglik hosil bo’ladi. Oxirgi tenglikni y bo’yicha differensiallaymiz va natijani ( )
y x N , ga tenglaymiz, chunki ( ) y x N y u , = ∂ ∂ edi. ( )
( ) ∫ = ′ + ∂ ∂ y x N y dx y M , ϕ yoki
( )
( ) ∫ ∂ ∂ − = ′ dx y M y x N y , ϕ bo’ladi. Oxirgi tenglikni y bo’yicha integrallab, ( )
ϕ ni topamiz: ( )
( ) ∫ ∫ + ∂ ∂ − =
dy dx y M y x N y , ϕ Shunday qilib,
( )
y x u , = ( ) ∫ +
y x M , ( ) ∫ ∫ + ∂ ∂ − C dy dx y M y x N ,
natijaga ega bo’lamiz. 1-misol. Ushbu
0 2 3 3 4 2 2 = + −
x y dx x y x
differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Berilgan tenglamaning to’la differensialli bo’lish yoki bo’lmasligini tekshiramiz: berilgan tenglamada
3 4 2 2 2 , 3
y N x y x M = − =
bo’lganligi uchun 4 4 6 , 6 x y x N x y y M − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ bo’lib,
∂ ∂ = ∂ ∂ bo’ladi, ya’ni berilgan differensial tenglama to’la differensialli tenglamadir. Demak, berilgan tenglamaning chap tomoni biror ( )
y x u , funksiyaning to’liq differensiali bo’ladi. Endi ( )
y x u , funksiyani topamiz:
= ∂ ∂ x u 4 2 2 3
y x M − = bo’lganligi uchun
( )
( ) ( ) ( ) y x y x y dx x y x y dx x y x u ϕ ϕ ϕ + + − = + − = + − = − − ∫ ∫ 3 2 4 2 2 4 2 2 1 3 3
(2) bo’lib, bunda ( )
ϕ hozircha noma’lum funksiyadir. Oxirgi tenglikni y
bo’yicha differensiallab, 3 2 x y N y u = = ∂ ∂
ekanligini hisobga olib,
( ) 3
2 2
y y x y = ′ + ϕ
tenglikni hosil qilamiz. Bundan ( )
= ′
ϕ 0 bo’lib, ( )
. 1
y = ϕ bo’ladi. (2) tenglikdan
1 3 2 1 С x y x u + + − =
Shunday qilib, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi 0 ) 1 ( 1 3 2 = + + − = С
y x d du
bo’lganligi uchun
2 1
2 1 С С x y x = + + −
bo’lib, yoki
С
= + − 3 2 1
bo’ladi, bunda 1 2 С С С − = . 5. Integrallovchi ko’paytuvchi. ( )
( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M differensial tenglamaning o’ng tomoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lgan holni qaradik. Bu tenglamaning o’ng tomoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lmasin. Ayrim hollarda shunday ( )
µ funksiyani tanlab olish mumkin bo’ladiki, berilgan tenglamani shu funksiyaga ko’paytirilganda, uning chap tomoni biror funksiyaning to’la differensiali bo’lishi mumkin. Hosil qilingan differensial tenglamaning umumiy yechimi Bilan dastlabki berilgan tenglamaning umumiy yechimi bir xil bo’ladi. Bunday ( )
µ
funksiyaga berilgan tenglamaning integrallavchi ko’paytuvchisi deyiladi. Integrallovchi ko’paytuvchini topish uchun , berilgan tenglamani hozircha noma’lum bo’lgan µ ga ko’paytirib, ( )
( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M µ µ tenglamani olamiz. Oxirgi tenglama to’la differensialli bo’lishi uchun
( ) ( )
x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ µ µ
tenglik o’rinli bo’lishi kerak. Bundan = ∂ ∂ + ∂ ∂ y M y M µ µ x N x N ∂ ∂ + ∂ ∂ µ µ
bo’lib,
∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂
M x N x N y M µ µ µ
bo’ladi. Oxirgi tenglamani µ ga bo’lcak,
∂ ∂ = ∂ ∂ µ µ µ ln
bo’lganligi uchun y M x N x N y M ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ µ µ ln ln
bo’ladi. Umumiy holda
µ y x, larga bog’liq, ya’ni ( )
µ . Berilgan tenglama faqat x ga bog’liq integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lsa, 0 ln
∂ ∂
µ bo’lib, x N y M x N ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ µ ln yoki N x N y M dx d ∂ ∂ − ∂ ∂ = µ ln (4)
bo’ladi. Differensial tenglama faqat y o’zgaruvchiga bog’liq integrallovchi ko’paytuvchiga ega bo’lsa, 0 ln = ∂ ∂ x µ bo’lib, M y M x N dy d ∂ ∂ − ∂ ∂ = µ ln (5)
bo’ladi. Bu hollarda (4) va (5) tengliklarni bevosita integrallab
∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = Ndx x N y M е / µ ,
∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = Mdx y M x N е / µ
integrallovchi ko’paytuvchini topamiz. Bunda (4) va (5) nisbatlar, birinchi holda
у o’zgaruvchiga bog’liq bo’lmagan, ikkinchi holda х o’zgaruvchiga bog’liq bo’lmagan integrallovchi ko’paytuvchilarning mavjudligini bildiradi. 2-misol.
0
) 3 ( 2 2 = + −
dx y x
differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. Yechish. Berilgan tenglamaning to’la differensialli yoki to’la differensialli emasligini tekshiramiz. x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ shartni tekshiraylik:
( )
6 3 2 2 y y x y M y − = ′ − = ∂ ∂ ( ) y xy x N x 2 2 = ′ = ∂ ∂ . Demak, x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ tenglik bajarilmaydi. (4) nisbatni qaraymiz:
x xy y y N x N y M 4 2 2 6 − = − − = ∂ ∂ − ∂ ∂ bo’lib,
4 ln − = µ bo’ladi. Oxirgi tenglikni integrallasak,
( )
4 ln ln 4 4 1 4 x е е е x x x dx ч = = = = − − − ∫ µ
hosil bo’ladi. Berilgan tenglamani ( )
4 1
x = µ funksiyaga ko’paytirsak,
0 2
4 4 2 2 = + − dy x xy dx x y x
bo’lib, keyingi tenglama uchun x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ tenglik bajariladi, ya’ni oxirgi differensial tenglama to’la differensialli tenglamadir. Bunday differensial tenglamalarning yechimini topishni yuqorida o’rgandik.
40.5-ilova “Birinchi tartibli chiziqli, Bernulli va Rikkati hamda to’la differensialli tayenglamalar” mavzusi bo’yicha ttst topshiriqlari I darajali testlar 1. Chiziqli differensial tenglama deb nimaga aytiladi? A) noma’lum funksiya va uning hosilalari birinchi tartibli bo’lgan differensial tenglamaga В ) hosilalari birinchi tartibli bo’lgan differensial tenglamaga D) noma’lum funksiya y birinchi darajada bo’lgan tenglamaga E) noma’lum
- birinchi darajada bo’lgan tenglamaga
2. Koshi masalasi nima? A) differensial tenglamaga boshlang’ich shartlar sistemasi qo’yilganda uni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish В ) birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish D) umumiy yechimdan olinadigan biror xususiy yechim E) differensial tenglamani qanoatlantiruvchi umumiy yechimni topish
3. Bernulli tenglamasini toping. A) 2
y x y − = + ′
В )
x y x y − = + ′
D) 2
y x y − = + ′
E) 3 − = + ′ y x y
4.
x xy y = + ′ differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. A) )
2 2 2 2 C xe e y x x + = −
B) ) ( 2 2 2 2 2 C e x e y x x + = −
D) ) 4 ( 2 2 2 2 C e x e y x x + − = −
E) ) ( 2 2 2 2 C e e y x x + = − II darajali testlar 5.
3 xy xy y = + ′ Bernulli differensial tenglamasining umumiy yechimini toping. A)
+ = 2 3 2 B)
2 2 2 5 x Ce y x + = D)
Ce y x 4 7 2 2 − =
E) 1 1 2 2 + = x Ce y
6. Ushbu
( )
2 5 2 x xy y dx dy − + + − = Rikkati tenglamasining umumiy yechimini toping. A) 1
2 4 − + + = x å C x y
B) x x å C x y 3 7 2 4 − − + = D)
1 5 2 4 − + + =
å C x y
E) x x å C x y 7 8 2 4 − − + = III darajali testlar 7. Ushbu
0 2 3 3 4 2 2 = + −
x y dx x y x
to’la differensialli tenglamaning umumiy yechimini toping. A) Ñ x y x = − 3 1
B) С
y x = + − 3 2 1
D) Ñ x y x = + 3 2 2 4
E) Ñ x y x = + 3 2 5
8. x y x y = + ′ 1 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. A) + = 2 2 1 2 x x y
B) − = 2 1 2
C x y
D) + = 2 1 2
C x y
E) + − = 2 1 2 x C x y
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimlarini toping: 1) ctgx ytgx y = − ′ ; 2)
. 2 sin cos x x y y = + ′
2. x xy y x 2 ) 1 ( 2 = − ′ − differensial tenglamaning 2 =
bo’lganda 3 = y bo’ladigan xususiy yechimini toping.
3. 5 3 1 3 y x y y + = + ′ tenglama uchun 1 =
bo’lganda 1 − = y boshlang’ich shart bajariladigan Koshi masalasini yeching.
4. Ushbu to’la differensialli tenglamalarning umumiy yechimlarini toping: ( ) (
) ( ) . 0 1 3 ) 2 ; 0 12 4 4 3 ) 1 3 2 3 2 3 2 2 = − + = + − + −
å x dx å x dy y y x x dx xy y x y y
5. Quyidagi differensial tenglamalar uchun integrallovchi ko’paytuvchilarni toping va tenglamalarning umumiy yechimlarini aniqlang:
( ) ( ) ( ) . 0 sin 2 2 ) 2 ; 0 cos sin
sin cos
) 1 2 = − + = + + − dy y x dx xtgx dy y y y x dx y y y x
Yüklə 168,73 Kb. Dostları ilə paylaş:
|