Oliy va 0 ‘rta maxsus ta’lim vazirligi muqimiy nomidagi qo‘qon davlat pedagogika instituti yman” qdpi rektori anov Ш

«Matematik analiz» fanining mazmuni

Ratsional  sonlar  to ’plami  va  uning  xossalari,  ratsional  sonlar  to ’plamining  kesimi, 

irratsional  son  tushunchasi,  haqiqiy  sonlar  to ’plamining  asosiy  xossalari.  Haqiqiy  sonning 

moduli  va  uning  xossalari.  Yuqoridan  va  quyidan  chegaralangan  to ’plamlar,  ularning 

chegaralari. Oraliqlar.

Sonli  ketma-ketlik  haqida  tushuncha.  Ketma-ketlik  limitning  ta ’rifi.  Yaqinlashuvchi 

ketma-ketliklarning  xossalari.  Cheksiz  kichik  ketma-ketliklar  va  ularning  xossalari. 

Yaqinlashuvchi  ketma-ketlikning  chegaralanganligi,  limitning  yagonaligi.  Cheksiz  katta 

ketma-ketliklar.  Oraliq  o ’zgaruvchining  limiti  haqidagi  teorema.  Ketma-ketliklar  yig’indisi, 

k o ’paytmasi va bo ’linmasining limiti.  Aniqmasliklar va ularni ochish.

Monoton  ketma-ketlikning  limiti,  e  soni.  Ichma-ich  joylashgan  segmentlar  prinsipi. 

Qismiy  ketma-ketlik.  Bolsano-Veyershtrass  teoremasi.  Ketma-ketlik  yaqinlashishning  Koshi 

kriteriyasi.

Funksiyaning  ta ’rifi,  funksiyaning  berilish  usullari.  Funksiyaning  grafigi.  Funksiyalar 

ustida arifmetik  amallar.  Juft,  toq va  chegaralangan,  monoton funksiyalar.  Davriy funksiyalar. 

Teskari funksiya,  funksiyalarning kompozitsiyasi.

Funksiyaning nuqtadagi limitining  ta ’riflari.  Limitga  ega bo ’lgan funksiyalarning  sodda 

xossalari.  Bir  tomonli  limitlar.  Bir  tomonli  limitlar  asosida  funksiyaning  chekli  limitga  ega 

bo ’lish  sharti.  Ikki  funksiya  yig’indisi,  ko ’paytmasi  va  b o ’linmasining  limiti.  Murakkab 

funksiyaning  limiti.  Monoton  funksiyaning  limiti.  Koshi  kriteriyasi.  B a’zi  bir  ajoyib  limitlar. 

Cheksiz kichik funksiyalar va ularni taqqoslash.  Cheksiz katta funksiyalar.

Funksiyaning  nuqtadagi  va  to ’plamdagi  uzluksizligi.  Yig’indi,  k o ’paytma  va 

bo ’linmaning  uzluksizligi. 

Funksiyalar  kompozitsiyasining  uzluksizligi. 

Bir  tomonli 

uzluksizlik va uzilish nuqtalari, turlari.  Monoton funksiyaning uzluksizligi va uzilish nuqtalari.

Kesmada  uzluksiz  bo ’lgan  funksiyalarning  chegaralanganligi,  eng  kichik  va  eng  katta 

qiymatlari.  Uzluksiz  funksiyalarning  oraliq  qiymatlari  haqidagi  teoremalar.  Monoton 

funksiyaning  uzluksizligi.  Teskari  funksiyaning  mavjudligi  va  uzluksizligi.  Tekis  uzluksizlik 

tushunchasi.  Kesmada uzluksiz b o ’lgan funksiyaning tekis uzluksizligi.

Haqiqiy ko ’rsatgichli  daraja.  K o’rsatkichli,  logarifmik,  darajali  funksiyalar  va ularning 

xossalari.  Trigonometrik funksiyalar.  Teskari trigonometrik funksiyalar va ularning xossalari.

Hosilaning  ta ’rifi,  uning  geometrik  va  mexanik  m a’nolari.  Egri  chiziq  urinmasi  va 

normalining  tenglamalari.  Differensiallanuvchi funksiyaning  uzluksizligi.  Yig’indi,  ko ’paytma 

va  bo ’linmaning  hosilasi.  Murakkab  funksiyaning  hosilasi.  Teskari  funksiyaning  hosilasi. 

Asosiy  elementar  funksiyalarning  hosilalari.  Differensiallanuvchanlik  va  differensial. 

Differensiallanuvchanlik  va  hosilaning  mavjudligi  orasidagi  bog’lanish.  Differensialning 

geometrik  m a’nosi.  Differensial  formasining  invariantligi.  Logarifmik  hosila.  Daraja 

ko ’rsatkichli  funksiyaning  hosilasi.  Yuqori  tartibli  hosilalar.  Ikkinchi  tartibli  hosilaning 

mexanik  m a’nosi.  Parametrik  k o ’rinishda  berilgan  funksiyalarni  differensiallash,  oshkormas 

funksiyaning hossalari.

Aniqmas  integral,  boshlang’ich  funksiya,  Roll,  Lagranj,  Koshi  teoremalari.  Lopital 

qoidasi.  Teylor formulasi.  B a’zi-bir elementar funksiyalar uchun Teylor formulalari.

Funksiyaning doimiylik  sharti.  Funksiyaning nuqtada va to ’plamdagi monotonlik  sharti. 

Maksimum  va  minimumlar.  Ekstremumning  zaruriy  sharti.  Ekstremumning  yetarli  shartlari. 

Eng  katta  va  eng  kichik  qiymatlarni  izlash.  Funksiyaning  qavariqligi,  burilish  nuqtasi. 

Asimptotalar.  Hosilaning funksiya grafigini yasashga tatbiqi.

5

---

Asosiy  integrallar  jadvali.  Aniqmas  integralda  o ’zgaruvchini  almashtirish  usuli.

differensiallarni  integrallash.  Eyler  almashtirishlari.  Trigonometrik  funksiyalarni  integrallash. 

Universal usul.

Aniq  integral  tushunchasiga  olib  keladigan  masalalar:  yassi  figura  yuzasi  haqidagi 

masala,  kuchning  bajargan  ishi  haqidagi  masala.  Aniq  integral  ta ’rifi.  Darbu  yig’indilari  va 

ularning  xossalari.  Aniq  integralning  mavjudlik  sharti.  Integrallanuvchi  funksiyalar  sinfi 

(Uzluksiz funksiya,  monoton funksiya,  chekli  sondagi uzilishga ega b o ’lgan funksiyalar).  Aniq 

integralning  tenglik  va  tengsizlik  bilan  ifodalanadigan  xossalari.  O ’rta  qiymat  haqidagi 

teoremalar.  Yuqori  chegarasi  o ’zgaruvchi  b o ’lgan  aniq  integral.  Nyuton-Leybnits  formulasi. 

O ’zgaruvchini almashtirish va bo ’laklab integrallash usullari.

Xosmas  integral  tushunchasi.  Integrallash  sohasi  chegaralanmagan  xosmas  integral. 

Chegaralanmagan funksiyaning xosmas integrali.

Yuza  tushunchasining  ta ’rifi.  Kvadratlanuvchi  soha.  Yuzaning  additivligi.  Yuzani 

dekart  va  qutb  koordinatalar  sistemasida  hisoblash.  Aylanma  jism   hajmlarini  hisoblash 

formulalari.  To’g ’rilanuvchi yoy va uning uzunligi.  Yoy uzunligini hisoblash formulalari.  Yoy 

uzunligining  differensiali.  Aylanma  sirt  yuzasining  ta ’rifi  va  uning  aniq  integral  yordamida 

ifodalanishi.

Aniq  integralning  fizikaga  tatbiqlari:  O ’zgaruvchi  kuchning  bajargan  ishi  va  uni  aniq 

integral  yordamida  hisoblash. 

Yassi  yoy  va  figuraning  og’irlik  markazlarining 

koordinatalarini, inersiya momentini hisoblash formulalari.

Sonli  qator  tushunchasi,  yaqinlashuvchi  qator  va  uning  yig’indisi.  Qatorning  qoldig’i. 

Geometrik  qator.  Qator  yaqinlashishining  zaruriy  sharti.  Garmonik  qator.  Yaqinlashuvchi 

qatorlarning  sodda xossalari.  Koshi kriteriyasi.

Musbat  qatorlarning  yaqinlashish  sharti.  Musbat  qator  yaqinlashishining  zaruriy  va 

yetarli  sharti.  Taqqoslash  teoremalari.  Koshi  va  Dalamber  alomatlari.  Koshining  integral 

alomati.  Umumlashgan  garmonik  qator.  Ishora  navbatlashuvchi  qatorlar.  Leybnits  teoremasi. 

Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar, ularning xossalari.

Funksional  ketma-ketlik  tushunchasi.  Yaqinlashuvchi  ketma-ketlik,  uning  limiti.  Tekis 

yaqinlashuvchi  funksional  ketma-ketlik.  Tekis  yaqinlashish  alomati.  Tekis  yaqinlashuvchi 

funksional  ketma-ketlik  xossalari.  (Limit  funksiyaning  uzluksizligi,  uni  differensiallash  va 

integrallash).

Funksional qatorlar va uning yig’indisi,  tekis yaqinlashuvchi qatorlar,  tekis yaqinlashish 

sharti.  Tekis  yaqinlashuvchi  qatorning  xossalari  (qator  yig’indisining  uzluksizligi,  qatorni 

hadma-had differensiallash va integrallash).

Darajali  qator  tushunchasi.  Abel  teoremasi.  Darajali  qatorlarning  yaqinlashish  radiusi, 

yaqinlashish  intervali  va  sohasi.  Darajali  qatorning  tekis  yaqinlashishi.  Tekis  yaqinlashuvchi 

darajali  qator  yig’indisining  uzluksizligi.  Darajali  qatorni  hadma-had  differensiallash  va 

integrallash.

Funksiyalarni  darajali  qatorga yoyish  masalasi.  Teylor  qatori.  sinx,  cosx,  ex,  ln(1+x)  va 

(1+x)a  funksiyalarni darajali qatorga yoyish.  Darajali qatorlarning taqribiy hisobga tatbiqi.

Funksiyaning  Furye  koeffitsentlari  va  Furye  qatori.  Funksiyani  Furye  qatoriga  yoyish 

masalasi.  Dirixle teoremasi  (isbotsiz).  Davriy, juft va toq funksiyalar uchun Furye  qatori.  [-/;  /] 

va [0;  /]  oraliqlarda berilgan funksiyalarni Furye qatoriga yoyish.

B o’laklab integrallash.  Sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash.  To’g ’ri ratsional kasrlarni 

integrallash.  Kasr ratsional funksiyalarni integrallash.

Sodda 

irratsional 

va 

transsendent 

funksiyalarni 

integrallash: R\  x ,

I

k o ’rinishdagi 

funksiyalarni 

integrallash. 

Binomial

6

---