Mavzuning dolzarbligi. Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo`yilishida qatnashadigan funksiyalarni unga biror, muayyan ma'noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo`lgan funksiyalarga almashtirish g`oyasiga asoslangan.
Mavzuning o’rganilganlik darajasi: Funksiyani yaqinlashishi masalasida ko`plab metodlar ko`rib chiqildi jumladan, funksiyani interpolyasiyalash masalasida Funksiyani yaqinlashtirish masalasida, Splayn yaqinlashtirish masalalari, oraliqda algebraik ko`phadlar orqali o`rta kvadratik yaqinlashish, ortogonal ko`phadlar sistemasi, eng ko`p qo`llaniladigan ortogonal ko`phadlar sistemalari: yakobi ko`phadlari. chebishevning birinchi va ikkinchi tur ko`phadlari.
Ishining maqsadi. Funksiyalarni unga biror, muayyan ma'noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo`lgan funksiyalarga almashtirish.
1.Funksiyani yaqinlashtirishga oid adabiyotlar bilan tanishish.
2.Interpolyasion masala yechimining yagonaligigi
3.Funksiyani yaqinlashish masalasida Splayn yaqinlashtirish, oraliqda algebraik ko`phadlar orqali o`rta kvadratik yaqinlashish, ortogonal ko`phadlar sistemasi, eng ko`p qo`llaniladigan ortogonal ko`phadlar sistemalari: yakobi ko`phadlari, chebishevning birinchi va ikkinchi tur ko`phadlari. Lager ko`phadlari. Ermit ko`phadlari masalalari o’rganish.
4.Ko`rilgan masalalarda funksiyani yaqinlashishiga oid sonli usullarda misollar ko`rish.
5.Algebraik ko’phadlar bilan yaqinlashtirish
I.BOB. FUNKSIYANI YAQINLASHTIRSH USULLARI
1.1 Funksiyalarni yaqinlashtirish masalaga qo‘yilishi.
Funksiyalarai yaqinlashtirisli masalasi qo‘yilgan talabga (shartga) qarab turlicha bo'ladi. Hisoblash matematikasida keng qo'llaniladigan usullardan ba’zilarini eslatib o‘tamiz. Xususan, interpolyatsiyalash, o‘rtacha kvadratik ma’noda yaqinlashtirish, tekis yaqinlashish va splayn yaqinlashish. Literpolyatsiyalash fimksiyalami yaqinlashtirish nazariyasida olingan natijalami fimksiya jadvalini zichlashtirish, sonli differensiallash va integrallash, matematik fizika masalalarining to‘rdagi analogini qurishda keng qo‘llanilad.
Faraz qilaylik, yetarlicha siliq va hisoblash uchun qulay bo`lgan chiziqli erkli funksiyalar sistemasi bo`lsin. Bu fuksiyalardan tuzilgan
chiziqli kombinassiya ( doimiy sonlar) umumlashgan ko`phad deyiladi. Berilgan funksiyani interpolyatsiyalash yo`li bilan orqali taqribiy ravishda almashtirish yo`li mavjud. Ammo shuni ham takidlab o`tish lozimki, qator masalalarda funksiyaning bunday taqribiy tasvirlanishi maqsadga muvofiq bo`lavermaydi. Birinchidan, tugunlar soni ko`p bo`lsa, u holda interpolyasion ko`phadlarning ham darajasi ortib boradi, lekin bu yaqinlashishning sifati har doim ham yaxshi bo`lmasligi mumkin. Ikkinchidan, funksiyaning tugun nuqtalardagi qiymati biror tajribadan aniqlangan bo`lishi ham mumkin, u holda tabiy ravishda bu qiymatlar tajriba xatosiga ega bo`lib, u interpolyatsion ko`phadga ham tasir qiladi va shu bilan funksiyaning haqiqiy holatini ham buzib ko`rsatadi. Qandaydir ma’noda bu kamchiliklardan holi bo`lgan o`rta kvadratik yaqinlashuvchi ko`phadlarni tuzish bilan shug`ullanish maqsadga muvofiqdir. Shunday qilib, biz funksiyalar uchun o`rta kvadratik ma’noda yaqinlashish masalasi
qo`yilishining maqsadga muvofiq ekanligiga ishonch hosil qildik. Bu masala quydagidan iboratdir: oraliqda aniqlangan. funksiya uchun (2.1.1) ko`rinshdagi yaqinlashuvchi shunday ko`phad topilsinki,
ifoda mumkin qadar eng kichik qiymatni qabul qilsin.
Agar (2.1.2) integral kichik qiymatni qabul qilsa, bu shuni bildiradiki, oraliqning ko`p qismida va Shunga qaramasdan ayrim nuqtalar atrofida yoki bu oraliqning ba’zi kichik qisimlarida ayirma nisbatan yetarlicha kata bo`lishi ham mumkin.
Quydagi
Miqdor ning dan o’rta kvadratik og’irishi deyiladi va ni bilan yaqinlashishda o`rta kvadratik ma’nodagi xatoni bildiradi.Agar ni o’rta kvadratik ma’noda bilan yaqinlashtirishda qandaydir sababga ko`ra qaralayotgan oraliqning biror qismida uning boshqa qismiga nisbatan aniqroq yaqinlashtirish kerak bo`lsa, u holda ko`pincha quydagicha ish tutiladi: vazn deb ataluvchi maxsus ravishda tanlab olingan manfiy bo`lmagan funksiya olinib, (2.1.2) o`rniga ushbu
integralning eng kichik qiymatini qabul qilishi talab qilinadi. Bu yerda shunday tanlangan bo`lishi kerakki, agar oraliqning biror nuqtasi atrofiga yaqinlashish aniqligi boshqa nuqtalarga nisbatan yaxshiroq bo`lishi talab qilinsa, shu nuqta atrofida kattaroq qiymatga ega bo`lishi kerak. Masalan oraliqda funksiyani aniqlanadi.
