J(y)= (2)
xosmas integral mavjud bo’lsin
Ta’rif: Agar > 0 olinganda ham y ga hog'liq bo'lmagan shunday = ( )> 0 topilsaki, ni qannatlantiruvchi va uchun
<
tengsizlik bajarilsa, (2) xosmas integral E to'plamda fundamental integral dcb ataladi.
Teorema: (Koshi teoremasi). Ushbu J(y)= integralning E to'p-
lamda tekis yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning E to'plamda fundamental bo'lishi zarur va yetarli
Quyida biz integralning tekis yaqinlashuvchiligini ta'minlaydigan, ko'pincha qo'llaniladigan alomatlarni keltiramiz.
Veyershtrass alomati: f(x y) funksiya M={(x,y) x [a; ) ,y E }
to'plamda bcrilgan, y o'zgaruvchining E lo'plamdan olingan har hir tayin qiymatida f(x.y) funksiya x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida [a, + ) da integrallanuvchi bo'lsin. Agar shunday funksiya [a; ) topilsaki,
1) [a; ) va uchun bo’lsa
2) xosmas integral yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda
J(y)= (2)
intcgral E to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'ladi.
Isboti:Shartga ko’ra yaqinlashuvchi. olinganda ham ,shunday
topiladiki >,> bo’lganda < bo’ladi .Ikkinchi tomonda 1) shartdan foydalanib quyidagini topamiz:
(
Demak,
Bu esa xosmas integralning E to'plamda fundamental ekanini bildiradi. Yuqoridagi Koshi teoremasiga asosan integral E to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'ladi.
Abel alomati.f(x,y)va g(x,y) funksiyalar M={(x,y) x [a; ) ,y E } to'plamda berilgan. y o'zgaruvchining E to'plamdan olingan har bir tayin qiymatida g(x.y) funksiya x ning funksiyasi sifatida [a,+ ) da monoton funksiya bo'lsin.
Agar
inlegral E to'plamda tekis yaqinlashuvchi va uchun
(6)
Integral E to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol: ushbu
(y
Integralni tekis yaqinlashiluvchiligi ko’rsatilsin.
Yechish: agar f(x,y)= g(x,y)=
deb olinsa, Abel alomati shartlari bajariladi. Haqiqatdan ham. tekis
yaqinlashuvchi:
= =
g(x,y)= esa y ning E = [0, + ) dan olingan har bir tayin qiymatida x ning kamayuvchi funksiyasi va [0,+ ), =0, + ) uchun |g(x,y)| ) da tekis yaqinlashuvchi.
Dostları ilə paylaş: |
