O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Silov teoremalarining ba’zi tadbiqlari

H element mavjud

Ushbu mavzuda Silov teoremalarining chekli gruppalarni o‘rganish va kichik tar- tibli gruppalarni tasniflashdagi ba’zi tadbiqlarini ko‘rib chiqamiz. Dastlab, chekli tartibli sodda gruppalarning ba’zi xossalarini keltiramiz. Ma’lumki, kommuta- tiv gruppalar sodda bo‘lishi uchun ularning tartibi tub songa teng bo‘lishi zarur va yetarli. Chunki, tartibi murakkab songa teng bo‘lgan, ya’ni biror m soniga bo‘lingan kommutativ gruppaning tartibi m ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud bo‘lib, u xos normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, chekli tartibli sodda kommuta- tiv gruppalar haqida to‘liq ma’lumot mavjud. Nokommutativ sodda gruppalarni o‘rganish masalasi esa, bir muncha murakkab hisoblanib, biz Silov teoremalarini qo‘llagan holda kichik tartibli sodda gruppalar haqidagi ma’lumotlarni keltiramiz.

1. Chekli sodda gruppalar

4.3.1-teorema. Tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa sodda emas, bu yerda
p – tub son, n > 1.

Isbot. Aytaylik, |G| = pⁿ bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1. Agar G = Z(G) bo‘lsa, u holda G gruppa kommutativ bo‘lib, uning sodda emasligi kelib chiqadi. Agar Z(G) /= G bo‘lsa, u holda aynan Z(G) markaz G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi. Demak, G sodda emas.
4.3.1-misol. Tartibi 9 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa Z₉ va Z₃×Z₃ gruppalardan biriga izomorf bo‘lishini ko‘rsating.
Yechish. Yuqoridagi teoremaga ko‘ra tartibi 9 ga teng bo‘lgan G gruppaning sodda emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, |G| = 9 = 3² ekanligidan 4.2.1- natijaga ko‘ra tartibi 9 ga teng bo‘lgan gruppaning kommutativ bo‘lishini hosil qilamiz. Agar G gruppada tartibi 9 ga teng a ∈ G element mavjud bo‘lsa, u holda
^{G = ⟨a⟩ bo‘lib, G ∼}= ^{Z9. Agar gruppada tartibi 9 ga teng bo‘lgan element mavjud}
bo‘lmasa, u holda uning birlik elementdan boshqa barcha elementlarining tartibi

3. 
   
   ga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy a ∈ G, a e element uchun H = {e, a, a²} qism
   

gruppani hamda b ∈ G, b ∈/ H element uchun K = {e, b, b²} qism gruppani hosil
qilamiz. Demak, G gruppaning H va K normal qism gruppalari mavjud bo‘lib, ^{H ∩ K = {e} va G = HK. Bu esa G = H × K ∼}= ^{Z3 × Z3 ekanligini anglatadi.} Demak, tartibi 9 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa Z₉ va Z₃ × Z₃ gruppalardan
biriga izomorf bo‘ladi. Q
Endi tartibi pq ga teng bo‘lgan gruppalarning sodda emasligini ko‘rsatamiz.