O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.1.4-ta’rif. Berilgan G gruppani G/H faktor gruppaga akslantiruvchi g(a) = aH, ∀a ∈ G ko‘rinishda aniqlangan gomomorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.
Ushbu teoremada gruppalarda aniqlangan izomorfizmning xossalarini kelti- ramiz.
2.1.4-teorema. G gruppani G₁ gruppaga akslantiruvchi f izomorfizm berilgan bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   f ⁻¹ : G₁ → G ham izomorfizm;
   
2. 
   
   G kommutativ bo‘lishi uchun G₁ ham kommutativ bo‘lishi zarur va yetarli;
   
3. 
   
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun ord(a) = ord(f (a)) tenglik o‘rinli;
   
4. 
   
   G siklik gruppa bo‘lishi uchun G₁ ham siklik bo‘lishi zarur va yetarli.
   

−1 −1
Isbot. 1) f akslantirish biyektiv ekanligidan, f ⁻¹ ham biyektiv ekanligi kelib chiqadi. Endi, f ⁻¹ akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy u, v ∈ G₁ elementlar uchun f (a) = u va f (b) = v tengliklarni qanoatlantiruvchi a, b ∈ G elementlar topiladi. Bundan esa, a = f ⁻¹(u), b = f ⁻¹(v) kelib chiqib, u ∗₁ v = f (a) ∗₁ f (b) = f (a ∗ b) ekanligidan, f ⁻¹(u ∗₁ v) = a ∗ b = f ⁻¹(u) ∗ f ⁻¹(v) tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi. Demak, f izomorfizm ekan.

2. 
   
   Aytaylik, G gruppa kommutativ bo‘lsin. f akslantirishning syurektiv ekan- ligidan, ixtiyoriy u, v ∈ G₁ elementlar uchun shunday a, b ∈ G elementlar topilib, f (a) = u, f (b) = v bo‘ladi. U holda
   

u ∗₁ v = f (a) ∗₁ f (b) = f (a ∗ b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗₁ f (a) = v ∗₁ u.
Demak, G₁ ham kommutativ gruppa.
Va aksincha, agar G₁ kommutativ gruppa bo‘lsa, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
f (a ∗ b) = f (a) ∗₁ f (b) = f (b) ∗₁ f (a) = f (b ∗ a).
f akslantirish o‘zaro bir qiymatli bo‘lganligi uchun a ∗ b = b ∗ a kelib chiqadi. Demak, G ham kommutativ gruppa.

2. 
   
   f akslantirishning gomomorfizmligidan ixtiyoriy a ∈ G element va n ∈ N
   

uchun f (aⁿ) = (f (a))ⁿ tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar f (b) = e₁ bo‘lsa, u holda f inyektiv bo‘lganligi uchun b = e. Demak, aⁿ = e tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun (f (a))ⁿ = e₁ bo‘lishi zarur va yetarli. Faraz qilaylik, ord(a) = m va ord(f (a)) = n bo‘lsin, u holda a^m = e ekanligidan (f (a))^m = e₁ kelib chiqadi. 1.1.1-teoremaga ko‘ra n soni m ga karrali va shuningdek, (f (a))ⁿ = e₁ ekanligidan m soni n ga karrali ekanligi kelib chiqadi. Demak, m = n.

2. 
   
   Faraz qilaylik, G siklik gruppa bo‘lsin, ya’ni G = ⟨a⟩. U holda f (a) ∈ G₁
   

ekanligidan ⟨f (a)⟩ ⊆ G₁ kelib chiqadi. G₁ gruppadan b element tanlab olsak, u holda f syurektiv akslantirish bo‘lgani uchun f (c) = b tenglikni qanoatlan- tiradigan c ∈ G element mavjud. G siklik gruppa ekanligini hisobga olsak, c = aⁿ tenglikni qanoatlantiruvchi n butun son mavjud. Natijada,
b = f (c) = f (aⁿ) = (f (a))ⁿ ∈ ⟨f (a)⟩.
Demak, G₁ = ⟨f (a)⟩, ya’ni siklik gruppa. f ⁻¹ akslantirishning ham izomor- fizmligidan va G₁ gruppaning siklik ekanligidan G gruppaning ham siklik gruppa bo‘lishi kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada siklik gruppalarning to‘liq tasnifini keltiramiz.