O‘zbekiston respublikasi raqamli texnologiyalar

---

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI RAQAMLI TEXNOLOGIYALAR
VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
KOMPYUTERNI TASHKILLASHTIRISH FANIDAN
Amaliy ish-5
Bajardi: Ibrohimov Z
Tekshirdi: Rizaqulov Sh
Toshkent 2023

---

5-SHAXSIY TOPSHIRIQ.
ORALIQ BAHO. ISHONCHLILIK EHTIMOLI VA ISHONCHLILIK ORALIGʻI
Taʼrif 1. Bitta son bilan aniqlanadigan bahoga nuqtaviy baho deyiladi.
Siljimagan baho, effektiv baho, tekis effektiv baho, asosli baholarning
barchasi nuqtali baho hisoblanadi, chunki ular sonlar o‘qida bitta sonni
aniqlaydi. Hajmi unchalik katta bo‘lmagan tanlanma uchun (n<30) nuqtaviy
baho baholanayotgan parametrdan farq qilishi mumkin, ya‘ni qo‘pol
xatoliklarga olib kelishi mumkin. Shu sababli hajmi kichik bo‘lgan
tanlanmalarda oraliqli baholardan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Taʼrif 2. Ikkita son - oraliq uchlari bilan aniqlanadigan bahoga oraliq baho
deyiladi.
Faraz qilaylik Θ
*
- noma’lum Θ parametrning bahosi bo‘lsin (Θ o‘zgarmas
yoki tasodifiy miqdor bo‘lishi mumkin). Barcha nuqtaviy baholar tanlanma
asosida baholanadi, lekin tanlanmalar tasodifiy bo‘lganligi uchun baholar
ham tasodifiy miqdor bo‘lib, asl Θ parametrlardan farq qiladi. Bahoning
aniqliligini

)
0
(


deb belgilasak, u holda
|
Θ-Θ
*
|
≤ Δ bo‘ladi, tushunarliki

qanchalik kichik bo‘lsa, Θ
*
baho shunchalik aniq bo‘ladi. Statistik usullar
Θ
*
baho
|
Θ-Θ
*
|
≤ Δ
tengsizlikni qanoatlantiradi deb qat’iy davo qilishga
imkon bermaydi, har qanday aniqlikni qandaydir γ ehtimol (ishonchlilik)
bilan olish mumkin:
P
{
|
Θ-Θ
*
|
≤Δ
}
= γ
(8.1)
va
|
Θ-Θ
*
|
≤ Δ tengsizlikni unga teng kuchli bo‘lgan Θ
*
- Δ ≤ Θ ≤ Θ
*
+ Δ
tengsizlik bilan almashtirsak (8.1) quyidagi ko‘rinishni oladi
P
{
Θ
*
-Δ≤Θ≤Θ
*
+Δ
}
= γ
(8.2)
(8.2) shart
[
Θ
*
-Δ;Θ
*
+Δ
]
oraliq Θ parametr qiymatini berilgan

ishonchlilik
ehtimoli bilan qoplashini bildiradi.
[
Θ
*
-Δ;Θ
*
+Δ
]
oraliqqa ishonchklilik oralig‘i
deyiladi,

- ehtimollikka ishonchlilik ehtimoli ham deyiladi. Ko‘p hollarda

birga yaqin qilib tanlanadi (masalan 0,95; 0,98, 0.99 va h.k.). Bahoning
aniqligi Δ amalda ishonchlilik oraligʻi uzunligini (2Δ) aniqlaydi.
Eslatma. Baholanayotgan Θ parametr emas, balki ishonchlilik oralig‘i
tasodifiy miqdor bo‘lganligi uchun, Θ
ning berilgan oraliqqa tushish
ehtimoli haqida emas, balki ishonchlilik oralig‘i Θ ni qoplash ehtimoli

---

haqida gapirish to‘g‘riroq bo‘ladi.
Ishonchlilik ehtimoli γ, bahoning aniqligi Δ va tanlanma hajmi
n
lar oʻzaro
bogʻlangan. Agar ulardan ikkitasi aniqlangan boʻlsa, u holda uchinchisini
aniqlash mumkin.
Dispersiyasi σ
2
ma’lum bo‘lgan normal taqsimotning noma‘lum
matematik kutilmasi μ uchun ishonchlilik oralig‘i
Aytaylik, bosh to‘plam parametrlari μ va σ
2
bo‘lgan normal taqsimotga
ega bo‘lsin, ya’ni kuzatilayotgan X tasodifiy miqdor normal taqsimlangan va
MX= μ noma’lum bo‘lib, DX=σ
2
ma’lum bo‘lsin. Bu X
∈
N(μ,σ) kabi
belgilanadi.
Noma’lum μ parametrning statistik bahosi sifatida tanlanma o‘rta qiymat
̅
X
dan foydalanamiz. Shuni aytish lozimki, oʻrta arifmetik
̅
X va uning
elementlari X
1
, X
2
, …, X
n
lar ham tanlanma tasodif boʻlgani uchun ular ham
tasodifiy miqdor boʻladi. Tanlanmaning barcha elementlari bosh toʻplam
bilan bir xil taqsimotga ega X
i
∈
N(μ,σ). Ma’lumki, o‘zaro erkli normal
taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning yig‘indisi normal taqsimotga ega
bo‘lib, uning parametrlari mos parametrlar yig‘indisiga teng bo‘ladi, ya‘ni
bizning holda
̅
X
∈
N
(
μ,
σ
n
)
. Shunday qilib, bizga maʼlumki X
∈
N(μ,σ)
P
(
|
X-μ
|
≤ε
)
= 2Ф
(
ε
σ
)
- 1
Formula oʻrinli, boshqa tomondan X ni oʻrniga
̅
X , σ ni oʻrniga
σ
n ni va ε ni
oʻrniga Δ bilan almashtirilsa, u holda quyidagiga ega boʻlamiz:
P
(
|
̅
X -μ
|
≤Δ
)
= 2Ф
(
Δ
∙
n
σ
)
- 1 = 2Ф
(
u
γ
)
- 1 = γ
(8.3)
Bu yerda u
γ
=
Δ
∙
n
σ
kabi belgilash kiritilgan boʻlib, ushbu ifodadan
quyidagini topamiz:
Δ =
u
γ
∙
σ
n
(8.4)
va Ф(
u
)- standart normal taqsimot funktsiya.
Shunday qilib μ parametr uchun ishonchlilik oraligʻini hisoblash formulasini
yozish mumkin:

---

P
{
̅
X -
u
γ
∙
σ
n ≤μ≤
̅
X +
u
γ
∙
σ
n
}
= γ
(8.5)
qavs ichidagi ifoda biz izlagan ishonchlilik oraligʻini tashkil etadi va

ishonchlilik ehtimoli bilan,
(
̅
X -
u
γ
∙
σ
n ;
̅
X +
u
γ
∙
σ
n
)
(8.6)
oraliq noma’lum μ parametrni qoplaydi, bu yerda (8.3) formulaga koʻra u
γ
ni
topish uchun quyidagi tenglamadan foydalanamiz:
Ф
(
u
γ
)
=
1+γ
2
(8.7)
va normal taqsimot funksiyasi uchun Excel dasturlar paketidagi mos
buyruqlar orqali aniqlanadi yoki keltirilgan adabiyotlardagi ilovalardan
foydalanib topiladi.
2

taqsimot (Pirson taqsimoti)
Aytaylik X
i
, i = 1,2,…,n lar erkli normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
bo‘lib, shu bilan birga ularning matematik kutilmalari 0 ga, o‘rtacha
kvadratik chetlanishlari 1 ga teng bo‘lsin, u holda bu miqdorlar kvadratlari
yig‘indisi:



n
i
i
X
1
2
2

(8.8)
n
k

erkinlik darajali
2

(«xi kvadrat») qonun bo‘yicha taqsimlangan
deyiladi, agar bu miqdorlar bitta chizikli munosabat bilan bog‘langan,
masalan,



n
i
i
X
n
X
1
*
bo‘lsa, u holda erkinlik darajalari soni
1


n
k
bo‘ladi.
Erkinlik darajalari soni ortishi bilan taqsimot normal taqsimotga sekin
yaqinlashadi.

t
taqsimot (Styudent taqsimoti)
Z normal tasodifiy miqdor, shu bilan birga M
(
Z
)
= 0; σ
(
Z
)
= 1, V esa
k
erkinlik darajali
2

qonun bo‘yicha taqsimlangan va Z ga bog‘liq bo‘lmagan
miqdor bo‘lsin, u holda

---

k
V
Z
T

(8.9)
miqdor
t-
taqsimot yoki
k
erkinlik darajali Styudent (ingliz statistigi V.
Gosset
taxallusi) taqsimoti deb ataladigan taqsimotga ega. Erkinlik
darajalari soni ortishi bilan Styudent taqsimoti normal taqsimotga tez
yaqinlashadi.
Dispersiyasi σ
2
noma’lum bo‘lgan normal taqsimotning noma’lum
matematik kutilmasi μ uchun ishonchlilik oralig‘i
Aytaylik
X
∈
N(μ,σ)
bo‘lsin,
bu
holda
yuqorida
keltirilgan
formulalardan foydalana olmaymiz, chunki bu holda ishonchlilik oralig‘i
noma’lum parametr σ ga bog‘liq. Shuning uchun ham baho sifatida quyidagi
statistikani tanlaymiz:
t =
(
̅
x -μ
)
S
∙
n
(8.10)
bu yerda S
2
to‘grilangan tanlama dispersiya. Ma’lumki, t-statistika erkinlik
darajasi
1

n
ga teng boʻlgan Styudent taqsimotiga (t-taqsimot) ega.
Oraliqli bahoni tuzish uchun quyidagi munosabat bajarilishini talab
etamiz
p
{
(
̅
x -μ
)
S
∙
n≤t
γ
}
= γ
(8.11)
Bu tenglamadan t
γ
miqdor berilgan
n
ва γ bo‘yicha Styudent taqsimoti
uchun Excel dasturlar paketidagi mos buyruqlar bo‘yicha yoki keltirilgan
adabiyotlardagi ilovalardan foydalanib topiladi. Agar Y tasodifiy miqdor
Styudent taqsimotiga ega bo‘lsa, u holda t
γ
P
{
|
Y
|
≤t
γ
}
= γ
(8.12)
tenglamaning yechimi sifatida aniqlanadi. Odatda jadvalda P
{
|
Y
|
≥t
γ
}
ning
qiymatlari beriladi, shuning uchun t
γ
quyidagi tenglamaning





1
)
|
(|
t
Y
P
(8.13)
yechimi sifatida topiladi. Erkinlik darajalari soni
k=n-
1 Shunday qilib,
noma’lum μ
parametr uchun oraliq baho olish uchun (8.11) shartda
quyidagicha shakl almashtiramiz:

---

P
{
̅
X -
t
γ
∙
S
n ≤μ≤
̅
X +
t
γ
∙
S
n
}
= γ
(8.14)
Bundan kelib chiqadiki, noma’lum matematik kutilma μ uchun ishonchlilik
oralig‘i
(
̅
X -
t
γ
∙
S
n ;
̅
X +
t
γ
∙
S
n
)
(8.15)
ni hosil qilamiz. (8.15) va (8.6) oraliqlar o

xshashdir, bu yerda
Δ = t
γ
S
n
(8.16)
Normal taqsimotning σ
2
dispersiyasi uchun ishonchlilik oralig‘i
Aytaylik X
∈
N(μ,σ) bo‘lsin, u holda
χ
2
(n) =
(n-1)S
2
σ
2
(8.17)
tasodifiy miqdor erkinlik darajasi (
n-
1) ga teng bo‘lgan
χ
2
-taqsimotga
(Pirson taqsimoti) ega bo‘ladi.
χ
2
(n)
tasodifiy miqdor faqat manfiy
bo‘lmagan qiymatlarni qabul qiladi. Berilgan ishonchlilik ehtimoli γ bo‘yicha
shunday t
γ
ni topish mumkinki, unda
P
{
(n-1)
σ
2
∙
S
2
≤t
γ
}
= γ
(8.18)
munosabat o‘rinli bo‘ladi, bu yerda t
γ
miqdor
P
{
χ
2
≤t
γ
}
= γ
(8.19)
tenglamaning yechimi bo‘lib,
χ
2
-taqsimot (Pirson taqsimoti) jadvalidan yoki
EXM dagi mavjud statistik dastur paketidan aniqlanadi, bunda
χ
2
tasodifiy
miqdor bo‘lib, erkinlik darajasi
n
ga teng bo‘lgan
χ
2
taqsimotga ega. Biroq
ishonchlilik oralig‘ini tuzish uchun shunday u
1
va u
2
sonlarni topish kerakki
P
{
u
1
≤
χ
2
≤u
2
}
= γ
(8.20)
tenglik o‘rinli bo‘lishi kerak. Bunday u
1
va u
2
sonlar cheksiz ko‘pdir. Bunday
sonlarning yagona juftligini topish uchun quyidagi «simmetriklik sharti» ni
kiritamiz:
P
{
χ
2
<
u
1
}
= P
{
χ
2
>
u
2
}
=
1-γ
2
(8.21)

---

χ
2
-
taqsimot jadvalidan (ilova 4) va (8.21) formula orqali u
2
ni topamiz. u
1
ni
topish uchun qarama-qarshi hodisa ehtimolidan foydalanamiz:
P
{
χ
2
≥
u
1
}
= 1 - P
{
χ
2
<
u
1
}
= 1 -
1-γ
2
=
1+γ
2
(8.22)
χ
2
o‘rniga uning (8.17) ifodasini qo‘yib va elementar almashtirishlarni
bajarib, ushbu















2
2
2
1
2
)
1
(
)
1
(
u
S
n
u
S
n
P
(8.23)
tenglikni hosil qilamiz.
Noma‘lum dispersiya σ
2
uchun ishonchlilik oralig‘ini aniqlovchi tengsizlikni
har ikki tomonidan kvadrat ildiz olib, noma‘lum o‘rtacha kvadratik
chetlanish σ ni

ishonchlilik ehtimoli bilan qoplaydigan
(
S
∙
n-1
u
1
;S
∙
n-1
u
2
)
(8.24)
ishonchlilik oralig‘ini hosil qilamiz.
Tanlanma hajmini aniqlash.
Shu vaqtgacha biz hajmi berilgan statistik ma’lumotlarning tahlili bilan
shug‘ullandik. Katta sonlar qonuniga koʻra katta hajmli tanlanmalar boʻyicha
hisoblashlar maqsadga muvofiq. Lekin katta hajmli tanlanmalar uni olish va
tahlil qilish uchun katta xarajatlarni talab qiladi. Shuning uchun ham
yetarlicha aniq natijalar olish uchun tanlanmaning minimal hajmini aniqlash
masalasi muhimdir.
Normal taqsimotning dispersiyasi ma’lum bo‘lganda noma’lum o‘rta qiymat
uchun ishonchlilik oralig‘ini aniqlashda (8.16) formuladan foydalanish
mumkin, u holda quyidagi
n = u
2
γ
∙
σ
2
Δ
2
(8.25)
tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib
n
tanlanma hajmi σ
2
va u
2
γ
(uning
qiymati γ ning qiymatiga bogʻliq) larga toʻgʻri proporsional va Δ
2
ga teskari
proporsional. Ushbu maʼlumotlar boʻyicha ehtimollik qiymatini va yarim
interval uzunligini berish mumkin. Agar katta ehtimol bilan ishonchlilik
oraligʻini olmoqchi boʻlsak, u holda tanlanma hajmini oshirish lozim. Agar
interval uzunligini qisqartirmoqchi boʻlsak ham tanlanma hajmini oshirish

---

lozim.
Agar normal taqsimotning dispersiyasi noma‘lum bo‘lsa, u holda
ishonchlilik oralig‘ini aniqlash uchun zarur bo‘lgan tanlanma hajmi (8.16)
formuladan quyidagi
n = t
2
γ
∙
S
2
Δ
2
(8.26)
formulaga ega boʻlamiz.
Shuni ta‘kidlab o‘tamizki, dispersiya ma‘lum bo‘lganda berilgan ishonchlilik
ehtimoli bilan matematik kutilmani qoplaydigan ishonchlilik oralig‘ini
tuzishga zarur bo‘lgan tanlanma hajmini tanlanmani hosil qilishdan avval
(8.25) formuladan aniqlash mumkin. Bor tanlanma boʻyicha bosh
toʻplamning dispersiyasi uchun siljimagan baho olinib (8.26) formulaga
ko‘ra zarur boʻlgan tanlanma hajmini korrektlashtirish mumkin.
TOPSHIRIQ
5-masala. Variantingizdagi C tanlanmaning ikkinchi X, Y, Z ustunlari
boʻyicha bosh toʻplam parametrlarining siljimagan baholari
̅
x ; S
2
; S
topilsin.
5.masala. 5.1 va 5.2 masalalarda koʻrilgan tanlanmalar uchun γ ishonchlilik
ehtimoli bilan bosh toʻplamning oʻrta qiymati μ, dispersiyasi σ
2
, standart
chetlanishi σ lar uchun ishonchlilik oraliqlari topilsin.
γ =
{
0.8; agar V≤8
0.9;
agar 80.95; agar V>16
Bu yerda V-variant nomeri (guruh jurnalidagi talabaning nomeri)
14-VARIANTNING ISHLANISHI
5.1-masala. C tanlanmaning ikkinchi X, Y, Z ustunlari boʻyicha bosh toʻplam
parametrlarining siljimagan baholari
̅
x ; S
2
; S topamiz.

---

С14 Таnlanma
X
I
X
I
-C
(X
I
-C)^
2
61
-4
49
63
-2
4
59
-6
36
64
-1
1
63
-2
4
62
-3
9
68
3
9
65
0
0
68
3
9
65
0
0
62
-3
9
68
3
9
64
-1
1
60
-5
25
64
-1
1
67
2
4
68
3
9
62
-3
9
67
2
4
-15
183

---

Y
I
Y
I
-C
(Y
I
-C)^
2
435
-15
225
457
7
49
422
-28
784
454
4
16
458
8
64
459
9
81
486
36
1296
468
18
324
478
28
784
463
13
169
441
-9
81
491
41
1681
450
0
0
432
-18
324
453
3
9
478
28
784
481
31
6531
438
-12
144
487
37
1369
181
9145
Z
I
Z
I
-C
(Z
I
-C)^
2
46
-4
16
55
5
25
57
7
49
49
-1
1
55
5
25
47
-3
9
67
17
289
57
7
49
56
6
36
45
-5
25
46
-4
16
50
0
0
55
5
25
47
-3
9
59
9
91
59
9
81
58
8
64
54
4
16

---

50
0
0
62
826
X ustun uchun hisoblashlarni amalga oshiramiz:
x
min
= 59; x
max
= 68; c = 65; n = 19
̅
x =
n
∑
i=1
(
x
i
-c
)
n
+ c =
-15
19
+ 65 = 64.2;
̅
S
2
X
=
n
∑
i=1
(
x
i
-c
)
2
n
-
(
̅
x -c
)
2
=
183
19
-
(
64.2-65
)
2
= 8.99
S
2
X
=
n
n-1
∙
̅
S
2
X
=
19
19-1
∙
8.99 = 9.49;
S
X
= 9.49 = 3.08
Y ustun uchun hisoblashlarni amalga oshiramiz:
y
min
= 422; y
max
= 491; c = 450; n = 19
̅
y =
n
∑
i=1
(
y
i
-c
)
n
+ c =
181
19
+ 450 = 459.5;
̅
S
2
Y
=
n
∑
i=1
(
y
i
-c
)
2
n
-
(
̅
y -c
)
2
=
9145
19
-
(
459.5-450
)
2
= 391.06
S
2
Y
=
n
n-1
∙
̅
S
2
Y
=
19
19-1
∙
391.06 = 412.8;
S
Y
= 412.8 = 20.3
Z ustun uchun hisoblashlarni amalga oshiramiz:
z
min
= 46; z
max
= 67; c = 50; n = 19
̅
z =
n
∑
i=1
(
z
i
-c
)
n
+ c =
62
19
+ 50 = 53.26;
̅
S
2
Z
=
n
∑
i=1
(
z
i
-c
)
2
n
-
(
̅
z -c
)
2
=
826
19
-
(
53.26-50
)
2
= 32.8

---

S
2
Z
=
n
n-1
∙
̅
S
2
Z
=
19
19-1
∙
32.8 = 34.67;
S
Z
= 34.67 = 5.88
5.masala. 14-variant uchun ishonchlilik ehtimoli γ = 0.8 boʻlganligi uchun,
bosh toʻplamning oʻrta qiymati μ, dispersiyasi σ
2
, standart chetlanishi σ lar
uchun ishonchlilik oraliqlari topishda kerak boʻladigan t
γ
; u
1
; u
2
koeffitsiyentlarni quyidagicha aniqlaymiz:
t
γ
→
Excel
→
f
x
→
Статистические
→
СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х
→
“вероятность” = 1-γ = 1 - 0.85 = 0.15 ni; “степень свободы”=
n
-1=19-1=18
maʼlumotlarni
kiritamiz:
Natijada t
γ
= 0.88 ekanligini aniqlaymiz.
u
1
; u
2
→
Excel
→
f
x
→
Статистические
→
ХИ2.ОБР.ПХ
→
u
1
ni topish

---

uchun “Вероятность” degan joyga
1+γ
2
=
1+0.85
2
= 0.925 ni kiritamiz, u
2
ni
topish uchun esa
1-γ
2
=
1-0.8
2
= 0.1 ni kiritib, har ikkala holda ham “Степень
свободы” – degan qatorga
k=n-1
=19-1=18
tanlanma hajmidan bitta
kamini kiritib topamiz
:
Shunday qilib, X, Y, Z lar uchun tanlanma hajmlari bir xil boʻlgani uchun va
jadvallardan t
γ
= 0.88; u
2
= 27.21; u
1
= 27.02
X ustun uchun ishonchlilik oraliqlari quyidagicha boʻladi:
̅
X -
t
γ
∙
S
n ≤ μ ≤
̅
X +
t
γ
∙
S
n
64.2 -
0.88
∙
3.08
20
≤ μ ≤ 64.2 +
0.88
∙
3.08
20
63.58 ≤ μ ≤ 64.8
(n-1)S
2
u
1
≤ σ
2
≤
(n-1)S
2
u
2
(19-1)
∙
9.49
27.21
≤ σ
2
≤
(19-1)
∙
9.49
27.02
627 ≤ σ
2
≤ 6.32
2.503 ≤ σ ≤ 2.514
Y ustun uchun ishonchlilik oraliqlari quyidagicha boʻladi:

---

̅
Y -
t
γ
∙
S
n ≤ μ ≤
̅
Y +
t
γ
∙
S
n
459.5 -
0.88
∙
20.3
20
≤ μ ≤ 459.5 +
0.88
∙
20.3
20
455.44 ≤ μ ≤ 463.56
(n-1)S
2
u
1
≤ σ
2
≤
(n-1)S
2
u
2
(19-1)
∙
412.8
27.21
≤ σ
2
≤
(
19-1
)
*412.8
27.02
273.07 ≤ σ
2
≤ 274.9
16.52 ≤ σ ≤ 16.58
Z ustun uchun ishonchlilik oraliqlari quyidagicha boʻladi:
̅
z -
t
γ
∙
S
n ≤ μ ≤
̅
z +
t
γ
∙
S
n
53.26 -
0.88
∙
5.88
20
≤ μ ≤ 53.26 +
0.88
∙
5.88
20
52.08 ≤ μ ≤ 54.43
(19-1)
∙
34.67
27.21
≤ σ
2
≤
(19-1)
∙
34.67
27.02
24.2 ≤ σ
2
≤ 24.48
4.86 ≤ σ ≤ 4.93