5 lb. Book of gre practice Problems

18 only.
Solve the absolute value inequality by first isolating the absolute
value:
> 5
|
x
+ 4| > 10
To solve the absolute value, use the identity that |
a
| = 
a
when 
a
is positive or
zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative. Here if (
x
+ 4) is positive or zero, that
leaves:
x
+ 4 > 10
x
> 6
This, however, is not a valid solution range, as the other inequality indicates
that 
x
is negative.
Solve for the negative case, that is, assuming that (
x
+ 4) is negative:
–(
x
+ 4) > 10
(
x
+ 4) < –10
x
< –14
Note that this fits the other inequality, which states that 
x
< 0.
If 
x
< –14, only –18 is a valid answer.
12. 
(D).
First, solve the absolute value inequality, using the identity that |
a
| =
a
when 
a
is positive or zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
|
x
3
| < 64
+(
x
3
) <
64
or
–(
x
3
) < 64
x
<
4
x
3
> –64 (Flip the inequality sign when multiplying
by –1.)
x
> –4

---

–4 < 
x
< 4
x
could be positive, negative, or zero. If 
x
is positive or zero, the two
quantities are equal. If 
x
is negative, Quantity A is greater. The relationship
cannot be determined from the information given.
13. 
(D).
Solve |3
x
+ 7| ≥ 2
x
+ 12, using the identity that |
a
| = 
a
when 
a
is
positive or zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
+(3
x
+ 7) ≥ 2
x
+ 12
or
–(3
x
+ 7) ≥ 2
x
+ 12
x
+ 7 ≥ 12
–3
x
– 7 ≥ 2
x
+ 12
x
≥ 5
–7 ≥ 5
x
+ 12
–19 ≥ 5
x
≥ 
x

---

x
≤ 
or 
x
≥ 5
14. 
(B).
Solve the absolute value inequality, using the identity that |
a
| = 
a
when 
a
is positive or zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
|3 + 3
x
| < –2
x
+(3 + 3
x
) < –2
x
or
–(3 + 3
x
) < –2
x
3 + 5
x
< 0
–3 – 3
x
< –2
x
5
x
< –3
–3 < 
x
x
< –
–3 < 
x
< 
Since 
x
is between –3 and –
, its absolute value is between 
and 3.
Quantity B is greater.
15. 
(C).
The inequality is not strictly solvable, as it has two unknowns.
However, any absolute value cannot be negative. Putting 0 ≤ |
y
| and |
y
| ≤ –4
x
together, 0 ≤ –4
x
. Dividing both sides by –4 and flipping the inequality sign,
this implies that 0 ≥ 
x
.
Now solve the absolute value equation, using the identity that |
a
| = 
a
when a
is positive or zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
|3
x
– 4| = 2
x
+ 6
+(3
x
– 4) = 2
x
+ 6
or
–(3
x
– 4) = 2
x
+ 6
3
x
– 4 = 2
x
+ 6
–3
x
+ 4 = 2
x
+ 6
x
– 4 = 6
4 = 5
x
+ 6
x
= 10
–2 = 5
x

---

x
= 10 or –
If 
x
= 10 or –
, but 0 ≥ 
x
, then 
x
can only be –
.
16. 
(B).
If –
x
|
x
| ≥ 4, –
x
|
x
| is positive. Because |
x
| is positive by definition, –
x
|
x
|
is positive only when –
x
is also positive. This occurs when 
x
is negative. For
example, 
x
= –2 is one solution allowed by the inequality: –
x
|
x
| = –(–2) × |–2|
= 2 × 2 = 4.

---

So, Quantity A can be any integer less than or equal to –2, all of which are
less than 2. Quantity B is greater.
17. 
(A).
The inequality |
x
| < 1 allows 
x
to be either a positive or negative
fraction (or zero). Interpreting the absolute value sign, it is equivalent to –1 <
x
< 1. As indicated, 
y
is positive.
When 
x
is a negative fraction:
Quantity A: |
x
| + 
y
= positive fraction + positive = positive
Quantity B: 
xy
= negative fraction × positive = negative
Quantity A is greater in these cases.
When 
x
is zero:
Quantity A: |
x
| + 
y
= 0 + positive = positive
Quantity B: 
xy
= 0 × positive = 0
Quantity A is greater in this case.
When 
x
is a positive fraction:
Quantity A: |
x
| + 
y
= positive fraction + 
y
= greater than 
y
Quantity B: 
xy
= positive fraction × 
y
= less than 
y
Quantity A is greater in these cases.
In all cases, Quantity A is greater.
18. 
(B).
In general, there are four cases for the signs of 
x
and 
y
, some of which
can be ruled out by the constraints of this question:
x
y
x
+ 
y
> 0
pos pos True
pos neg True when |
x
| > |
y
|
neg pos False when |
x
| > |
y
|
neg neg False
Only the first two cases need to be considered for this question, since 
x
+ 
y
is
not greater than zero for the third and fourth cases.
If 
x
and 
y
are both positive, |
x
| > |
y
| just means that 
x
> 
y
.
If 
x
is positive and 
y
is negative, 
x
> 
y
simply because positive > negative.
In both cases, 
x
> 
y
. Quantity B is greater.

---

19. 
(D).
If 
y
is an integer and |
y
| ≤ 1, then 
y
= –1, 0, or 1. The other inequality
can be simplified from |
x
|(
y
) + 9 < 0 to |
x
|(
y
) < –9. In other words, |
x
|(
y
) is
negative. Because |
x
| cannot be negative by definition, 
y
must be negative, so
only 
y
= –1 is possible.
If 
y
= –1, then |
x
|(
y
) = |
x
|(–1) = – |
x
| < –9. So, –|
x
| = –10, –11, –12, –13, etc.
Thus, 
x
= ±10, ±11, ±12, ±13, etc. Some of these 
x
values are greater than –9
and some are less than –9. Therefore, the relationship cannot be determined.
20. 
(A).
In general, there are four cases for the signs of 
p
and 
k
, some of
which can be ruled out by the constraints of this question:
p
k
p
+ |
k
| > |
p
| + 
k
pos pos
Not true in this case: For positive numbers, absolute value
“does nothing,” so both sides are equal to 
p
+ 
k
.
pos neg
True for this case: 
p
+ (a positive absolute value) is greater
than 
p
+ (a negative value).
neg pos
Not true in this case: 
k
+ (a negative value) is less than 
k
+ (a
positive absolute value).
neg neg
Possible in this case: It depends on relative values. Both
sides are a positive plus a negative.
Additionally, check whether 
p
or 
k
could be zero.
If 
p
= 0, 
p
+ |
k
| > |
p
| + 
k
is equivalent to |
k
| > 
k
. This is true when 
k
is negative.
If 
k
= 0, 
p
+ |
k
| > |
p
| + 
k
is equivalent to 
p
> |
p
|. This is not true for any 
p
value.
So, there are three possible cases for 
p
and 
k
values. For the second one, use
the identity that |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
p
k
Interpret:
pos neg
p
= pos > neg = 
k
p
> 
k
neg neg
p
+ |
k
| > |
p
| + 
k
p
+ –(
k
) > –(
p
) + 
k
p
– 
k
> –
p
+ 
k
2
p
– 
k
> 
k
2
p
> 2
k

---

p
> 
k
0
neg
p
= 0 > neg = 
k
p
> 
k
In all the cases that are valid according to the constraint inequality, 
p
is
greater than 
k
. Quantity A is greater.

---

21. 
(D).
Given only one inequality with three unknowns, solving will not be
possible. Instead, test numbers with the goal of proving (D).
For example, 
x
= 2, 
y
= 5, and 
z
= 3.
Check that |
x
| + |
y
| > |
x
+ 
z
|: |2| + | 5| > |2 + 3| is 7 > 5, which is true.
In this case, 
y
> 
z
and Quantity A is greater.
Try to find another example such that 
y
< 
z
. Always consider negatives in
inequalities and absolute value questions. Consider another example: 
x
= 2, 
y
= –5 and 
z
= 3.
Check that |
x
| + |
y
| > |
x
+ 
z
|: |2| + |–5| > |2 + 3| is 7 > 5, which is true.
In this case, 
z
> 
y
and Quantity B is greater.
Either statement could be greater. The relationship cannot be determined from
the information given.
22. 
(B).
If 
is greater than 1, then it is positive. Because |
a
| is non-negative
by definition, 
b
would have to be positive. Thus, when multiplying both sides
of the inequality by 
b
, you do not have to flip the sign of the inequality:
> 1
|
a
| > 
b
To summarize, 
b
> 0 and |
a
| > 
b
. Putting this together, |
a
| > 
b
> 0.
In order for 
a
+ 
b
to be negative, 
a
must be more negative than 
b
is positive.
For example, 
a
= –4 and 
b
= 2 agree with all the constraints so far. Note that 
a
cannot be zero (because 
= 0 in this case, not > 1) and 
a
cannot be positive
(because 
a
+ 
b
> 0 in this case, not < 0).
Therefore, 
a
< 0. Quantity B is greater.
23. 
(B).
Neither 
f
nor 
g
can be zero, or 
f
2
g
would be zero. The square of
either a positive or negative base is always positive, so 
f
2
is positive. In order
for 
f
2
g
< 0 to be true, 
g
must be negative. Therefore, the correct answer is
(B). Answer choices (A), (C), and (D) are not correct because 
f
could be
either positive or negative. Answer choice (E) directly contradicts the truth
that 
f
2
is positive.
24. 
(D).
Solve the first inequality:

---

<
x
<
x
<
x
4 <
x

---

Solve the second inequality:
<
x
<
x
<
x
< 6
Combining the inequalities gives 4 < 
x
< 6, and since 
x
is an integer, 
x
must
be 5.
25. 
(B).
In general, there are four cases for the signs of 
x
and 
y
, some of which
can be ruled out by the constraint in the question stem. Use the identity that |
a
|
= 
a
when 
a
is positive or zero and |
a
| = –
a
when 
a
is negative:
Note that if either 
x
or 
y
equals 0, that case would also fail the constraint.
The only valid case is when 
x
is negative and 
y
is positive:
Quantity A: (
x
+ 
y
)
2
= 
x
2
+ 2
xy
+ 
y
2
Quantity B: (
x
– 
y
)
2
= 
x
2
– 2
xy
+ 
y
2
Ignore (or subtract) 
x
2
+ 
y
2
as it is common to both quantities. Thus:
Quantity A: 2
xy
= 2(negative)(positive) = negative
Quantity B: –2
xy
= –2(negative)(positive) = positive
Quantity B is greater.

---

26. 
(A).
First, solve 4 – 11
x
≥ 
for 
x
:
4 – 11
x
≥
8 – 22
x
≥ –2
x
+ 3
5 – 22
x
≥ –2
x
5 ≥ 20
x
≥
x
≥
x
Thus, the correct choice should show the gray line beginning to the right of
zero (in the positive zone), and continuing indefinitely into the negative zone.
Even without actual values (other than zero) marked on the graphs, only (A)
meets these criteria.
27. 
(A).
From –1 < 
a
< 0 < |
a
| < 
b
< 1, the following can be determined:
a
is a negative fraction,
b
is a positive fraction, and
b
is more positive than 
a
is negative (i.e., |
b
| > |
a
|, or 
b
is farther from 0
on the number line than 
a
is).
Using exponent rules, simplify the quantities:
Quantity A: 
Quantity B: 
Dividing both quantities by 
b
would be acceptable, as 
b
is positive and doing
so won’t flip the relative sizes of the quantities. It would be nice to cancel 
a
’s,
too, but it is problematic that 
a
is negative. Dividing both quantities by 
a
2

---

would be okay, though, as 
a
2
is positive.
Divide both quantities by 
a
2
b
:
Quantity A: 
Quantity B: 

---

Just to make the quantities more similar in form, divide again by 
b
, which is
positive:
Quantity A: 
Quantity B: 
Both quantities are negative, as 
a
and 
b
have opposite signs. Remember that 
b
is more positive than 
a
is negative. (i.e., |
b
| > |
a
|, or 
b
is farther from 0 on the
number line than 
a
is.) Thus, each fraction can be compared to –1:
Quantity A: is less negative than –1. That is, –1 < .
Quantity B: is more negative than –1. That is, < –1.
Therefore, Quantity A is greater.
28. 
(D).
Given only a compound inequality with three unknowns, solving will
not be possible. Instead, test numbers with the goal of proving (D). Always
consider negatives in inequalities and absolute value questions.
For example, 
x
= 10, 
y
= –9, and 
z
= 8.
Check that 
x
> |
y
| > 
z
: 10 > |–9| > 8, which is true.
In this case, 
x
+ 
y
= 10 + (–9) = 1 and |
y
| + 
z
= 9 + 8 = 17. Quantity B is
greater.
Try to find another example such that Quantity A is greater.
For example, 
x
= 2, 
y
= 1, and 
z
= –3.
Check that 
x
> |
y
| > 
z
: 2 > |1| > –3, which is true.
In this case, 
x
+ 
y
= 2 + 1 = 3 and |
y
| + 
z
= 1 + (–3) = –2. Quantity A is greater.
The relationship cannot be determined from the information given.
29. 
(D).
The values for 
k, l
, and 
m
, respectively, could be any of the following
three sets:
Set 1: 24, 26, and 28
Set 2: 26, 28, and 30
Set 3: 28, 30, and 32
For evenly spaced sets with an odd number of terms, the average is the middle
value. Therefore, the average of 
k, l
, and 
m
could be 26, 28, or 30. Only
answer choice (D) matches one of these possibilities.
30. 
(B).
The number line indicates a range between, but not including, –3 and

---

1. However, –3 < 
x
< 1 is not a given option. However, answer choice (B)
gives the inequality –6 < 2
x
< 2. Dividing all three sides of this inequality by
2 yields –3 < 
x
< 1.
31.