118.
1 dan 120 gacha sonlar intervalida 30 bilan o’zaro tub bo’lmagan sonlar
nechta?
119*
. Agar
a
= 3
α
5
β
7
ϒ
va
ϕ
(
a
) = 3600 bo’lsa,
a
ni toping.
120*
. Agar
a
=
pq,
p
–
q
= 2 va
ϕ
(
a
) = 120 bo’lsa,
a
ni toping. Bu yerda
p
va
q
– har xil tub sonlar har xil tub sonlar.
121*
. Agar
a
=
p
2
q
2
va
ϕ
(
a
) = 11424 bo’lsa,
a
ni toping.
p
va
q
– har xil
tub sonlar.
122*
. Agar
n
n
p
p
p
a
α
α
α
...
2
2
1
1
=
(
α
1
>1,
α
2
>1,…,
α
n
> 1) va
ϕ
(
a
) = 462000
bo’lsa,
a
ni toping.
123*
.
m
dan kichik va u son bilan o’zaro tub sonlar yig’indisi
( )
m
m
S
ϕ
⋅
=
2
1
formula yordamida hisoblashini isbotlang.
124
.
( )
a
a
S
ϕ
⋅
=
2
1
formulani quyidagi sonlar uchun qo’llang:
a
) 12;
b
) 18;
c
) 375.
125*
. Isbotlang:
( )
( )
( )
( )
( )
N
∈
=
=
=
−
−
−
a
a
а
a
c
р
р
р
b
a
,
)
;
)
;
2
2
)
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
α
α
α
α
α
.
126
.
ϕ
(2
a
) ni
ϕ
(
a
) yoki 2
ϕ
(
a
) ga tengligini isbotlang. Shu sonlar o’rinli
bo’ladigan shartlarni toping.
127*
. Isbotlang: a)
ϕ
(4
n
+ 2) =
ϕ
(2
n
+ 1);
b)
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
=
2
2
,
,
2
2
1
2
,
,
2
4
n
agar
n
n
agar
n
n
ϕ
ϕ
ϕ
128
. Tenglamalarni yeching:
a
)
ϕ
(5
x
) = 100;
b
)
ϕ
(7
x
) = 294;
c
)
ϕ
(7
x
) = 705894;
d
)
ϕ
(
r
x
) =
r
x
- 1
,
x
∈
N
.
129
. Berilgan
b
maxrajli nechta to’g’ri qisqarmas musbat kasrlar mavjud?
130
. 129 masala yordamida maxrajlari quyidagilar bo’lgan qisg’armas musbat
kasrlar sonini toping:
a
) 10;
b
) 16;
c
) 36; d) 72.
131
.
b
a
musbat, to’g’ri qisqarmas kasr bo’lsin. Agar
b
= 2 dan
b
=
n
gacha qi-
ymatlar qabul qilsa, bunday kasrlar nechta?
132
. 131 masala shartida
b
: a) 2 dan 5 gacha; b) 2 dan 10 gacha; c) 2 dan
15gacha qiymatlar qabul qilsa, kasrlar sonini toping.
133*
. 300 dan kichik natural sonlar ichida 20 bilan teng umumiy bo’luvchiga
ega bo’lgan sonlar nechta?
134
. 1665 dan kichik natural sonlar ichida u bilan 37 ga teng umumiy
bo’luvchiga ega bo’lgan sonlar nechta?
135
. 1476 dan kichik natural sonlar ichida u bilan 41 ga teng umumiy
bo’luvchiga ega bo’lgan sonlar nechta?
136*
.
a
≥
3
lar uchun
ϕ
(
a
) ning qiymati doimo juft son bo’lishini isbotlang.
137*
. Agar
ϕ
(
x
) =
a
tenglama
x
=
m
ildizga ega bo’lsa,
30
x
= 2
m
ham tenglama ildizi bo’lishini isbotlang, bu yerda (
m,
2) = 1.
138*
. (
m,n
) > 1 bo’lsa,
ϕ
(
m n
) yoki
ϕ
(
m
)
ϕ
(
n
) larni solishtiring?
139*
.
( ) ( ) ( ) ( )
d
d
n
m
mn
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
=
tenglikni isbotlang, bu yerda
(
)
1
,
>
n
m
.
140*
.
ϕ
(
m n
) =
ϕ
(
δ
)
ϕ
(
µ
) tenglikni isbotlang, bu yerda
δ
= (
m,n
),
µ
= [
m,n
].
141
.
ϕ
(1) +
ϕ
(
p
) +
ϕ
(
p
2
)+…+
ϕ
(
p
α
),
α∈
N
ni hisoblang.
142
.
+
+
+
k
d
a
d
a
d
a
ϕ
ϕ
ϕ
...
2
1
ni hisoblang, bu yerda
d
i
–
a
ning barcha
bo’luvchilari?
143
. Quyidagi sonlar uchun
( )
∑
=
a
d
a
d
/
ϕ
to’g’riligini tekshiring: a) 80; b) 360;
c) 375; d) 957; e) 2800.
144
. Tenglamalarni yeching: a)
ϕ
(
x
) = 2
α
; b)
ϕ
(
p
x
) = 6
⋅
p
x
-2
.
145
. Tenglamalarni yeching: a)
ϕ
(
x
) = 14; b)
ϕ
(
x
) = 8;
c)
ϕ
(
x
) = 12.
146*
. Tenglamani yeching:
ϕ
(2
x
) =
ϕ
(3
x
).
147
.
ϕ
(5
x
) =
ϕ
(7
x
) tenglama butun sonlar to’plamida yechimga ega emas-
ligini isbotlang.
148
. Tenglamalarni yeching:
a
)
ϕ
(
x
) =
ϕ
(
p x
);
b)
ϕ
(
p x
) =
p
ϕ
(
x
);
c
)
ϕ
(
p
1
x
) =
ϕ
(
p
2
x
) (
p
1
, p
2
– turli tub sonlar).
149*
. Tenglamani yeching:
( )
( )
( )
.
4
)
;
3
)
;
2
)
x
x
c
x
x
b
x
x
a
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
150
.
ϕ
(p
x
) = a
tenglamani tekshiring.
151.
a
= 1, 2,…, 100 sonlar uchun
µ
(
a
) funksiyaning jadvalini tuzing.
152.
a
= 24 uchun
( )
∑
=
a
d
/
1
0
µ
formula to’g’riligini tekshiring.
153
.
a
= 18 uchun
( )
∑
∏
−
=
a
d
a
p
p
d
d
/
/
1
1
µ
formula to’g’riligini isbotlang.
31
II-BOB
BUTUN SONLAR XALQASIDA TAQQOSLAMALAR NAZARIYASI
Kalit so’zlar va ifodalar: taqqoslanuvchi sonlar
; taqqoslamaning ma’nosi
haqidagi teorema; sonlar sinfi; berilgan modul bo’yicha chegirma; berilgan modul
bo’yicha chegirmalarning to’la sinfi, berilgan modul bo’yicha chegirmalarning
keltirilgan sinfi, Eyler teoremasi, Ferma teoremasi; berilgan modul bo’yicha
chegirmalarning additiv gruppasi; berilgan modul bo’yicha chegirmalarning xalqa-
si; modul bilan o’zaro tub chegirmalar sinfi; modul bilan o’zaro tub
chegirmalarningn multiplikativ gruppasi; absolyut psevdotub son; Bir noma’lumli n-
darajali taqqoslama; taqqoslamaning yechimi; teng kuchli taqqoslamalar; birinchi
darajali taqqoslamalar; birinchi darajali bir xil noma’lumli taqqoslamalar sistemasi;
birinchi darajali bir xil noma’lumli taqqoslamalar sistemasining yechimlari.
§1. Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari
a
va
b butun sonlarni
butun musbat
m
soniga bo’lganda bir xil qoldiq
qoladigan, ya’ni
a = mq
1
+ r
va
b = mq
2
+ r,
bo’lsa,
a
va
b sonlar
teng qoldiqdli yoki
m
modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadigan
sonlar deyiladi va quyidagicha yoziladi:
a
≡
b (mod m)
“
a son b bilan m modul bo’yicha taqqoslanadi
” deb o’qiladi.
Agar
a
≡
b (mod m)
bo’lsa, u holda
a – b
ayirma
m
ga qoldiqsiz bo’linadi, va
aksincha, agar
a
va
b
sonlarning ayirmasi
m
ga bo’linsa, u holda
a
≡
b (mod m)
o’rinli
bo’ladi (
taqqoslamaning ma’nosi haqidagi
teorema
).
Har qanday butun son
m
modul bo’yicha o’zining qoldig’i bilan taqqoslanadi,
ya’ni, agar
a = mq + r
bo’lsa, u holda
a
≡
r (mod m)
bo’ladi.
Xususiy holda, agar
r =
0 bo’lsa, u holda
a
≡
0
(mod m)
bo’ladi; bu taqqoslama
m
|
a
ekanligini, ya’ni
m
soni
a
ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi, aksincha ham
o’rinli, agar
m
a
bo’lsa, u holda
a
≡
0
(mod m)
deb yoziladi.
Taqqoslamalarning asosiy xossalari
(tengliklarning xossalariga o’xshash)
1.
Agar
a
≡
cs (mod m)
va
b
≡
c (mod m)
bo’lsa, u holda
a
≡
b (mod m)
bo’ladi.
2.
Agar
a
≡
b (mod m)
va
c
≡
d (mod m)
bo’lsa, u holda
a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
bo’ladi.
3.
Agar
a + b
≡
c (mod m)
bo’lsa, u holda
a
≡
c - b (mod m) bo’ladi
.
4.
Agar
a
≡
b (mod m)
bo’lsa, u holda
a
±
mk
≡
b (mod m)
, yoki
a
≡
b
±
mk
(mod m)
bo’ladi.
32
5.
Agar
a
≡
b (mod m)
va
c
≡
d (mod m)
bo’lsa, u holda
ac
≡
bd (mod m)
bo’ladi
.
6.
Agar
a
≡
b (mod m)
bo’lsa, u holda
a
n
≡
b
n
(mod m) (n
∈
N
) bo’ladi
.
7.
Agar
a
≡
b (mod m)
bo’lsa, u holda ixtioriy
k
butun son uchun
ak
≡
bk (mod
m) bo’ladi,
.
8.
Agar
ak
≡
bk (mod m)
va
(k,m) =
1 bo’lsa, u holda
a
≡
b (mod m) bo’ladi
.
9.
Agar
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ ... + a
n
(a
i
∈
Z
)
va
x
≡
x
1
(mod m)
bo’lsa, u
holda
f(x)
≡
f(x
1
) (mod m) bo’ladi
.
Taqqoslamalarninng maxsus xossalari
Dostları ilə paylaş: |