80
81
6-misol.
1
,
1
k
k
x
x dx
C
k
+
=
+
+
∫
1,
k
≠ −
chunki
1
1
1
1
(
)
(
)
0
.
1
1
1
k
k
k
k
x
k
C
x
x
x
k
k
k
+
+
+
′
′
+
=
⋅
=
⋅
+ =
+
+
+
+
C
ʹ=
1
1
1
1
(
)
(
)
0
.
1
1
1
k
k
k
k
x
k
C
x
x
x
k
k
k
+
+
+
′
′
+
=
⋅
=
⋅
+ =
+
+
+
k
= – 1 bo‘lsa,
x
> 0 da 4-misolga ko‘ra,
ln
.
dx
x C
x
=
+
∫
y=F
(
x
)
+C
funksiyaning
grafigi
y=F
(
x
) funksiya grafigini
Oy
o‘q
bo‘ylab siljitishdan hosil qilinadi (1-rasm). O‘zgarmas son
C
ni tanlash
hisobiga boshlang‘ich funksiya grafigining berilgan nuqta orqali o‘tishiga
erishish mumkin.
O
1-rasm.
2-masala.
f
(
x
)
=x
2
funksiyaning grafigi
A
(3; 10) nuqtadan o‘tadigan
bosh lang‘ich funksiyasini toping.
f
(
x
)
=x
2
funksiyaning barcha boshlang‘ich
funksiyalari
3
( )
3
x
F x
C
=
+
ko‘rinishda
bo‘ladi,
chunki
3
2
2
2
1
( ) (
)
3
0
.
3
3
x
F x
C
x
C
x
x
′
′
′
=
+
= ⋅
+
=
+ =
O‘zgarmas son
C
ni
3
( )
3
x
F x
C
=
+
funksiyaning grafigi (3; 10) nuq-
tadan o‘tadigan qilib tanlaymiz:
x
=3 da
F
(3)=10 bo‘lishi kerak. Bundan
82
83
3
3
10
3
C
=
+
,
1.
C
=
Demak, izlanayotgan boshlang‘ich funksiya
3
( )
1
3
x
F x
=
+
bo‘ladi.
Javob:
3
1.
3
x
+
▲
3-masala.
3
( )
f x
x
=
funksiyaning grafigi
A
(8;15) nuqtadan o‘tadigan
boshlang‘ich funksiyasini toping.
3
( )
f x
x
=
ning barcha boshlang‘ich funksiyalari
3 4
( )
4 3
F x
x
C
= ⋅
+
4
3
3
x
x x
=
+ C
ko‘ri nishida bo‘ladi, chunki
4
4
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3 4
( )
( )
0
.
4
4
4 3
F x
x
C
x
C
x
C
x
x
′
′
′
′
′
=
⋅
+
=
+
= ⋅ ⋅
+
=
+ =
O‘zgarmas son
C
ni shunday tanlaymizki,
4
3
3
( )
4
F x
x
C
=
+
funksiyaning
grafigi
A
(8, 15) nuqtadan o‘tsin, ya’ni
F
(8)=15 tenglik bajarilsin.
4
3
3
x
x x
=
ekanidan
3
3
15
8 8
,
4
C
= ⋅ ⋅
+
bundan
C
=3. Demak, izlanayotgan boshlang‘ich
funksiya
3
3
( )
3
4
F x
x x
=
+
bo‘ladi.
Javob:
3
3
3.
4
x x
+
▲
4*-masala.
ln
C
dx
x
x
=
+
∫
C
ekanini ko‘rsating.
x
> 0 da
ln
C
dx
x
x
=
+
∫
x+C
, chunki (ln
x
+
C
)′=
1
x
+ 0 =
1
x
;
x
< 0 da
ln( ) C
dx
x
x
=
− +
∫
C
, chunki (ln(–
x
)+
C
)′=
( )
( )
1
x
−
−
+0=
1
x
.
▲
?
Savol va topshiriqlar
1. Boshlang‘ich funksiya nima? Misollar keltiring.
2.
Berilgan
f
(
x
) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya
bir qiymatli
topiladimi? Nima uchun?
3. Boshlang‘ich funksiya
F
(
x
) ning grafigini berilgan nuqtadan o‘tishiga
qanday qilib erishish mumkin? Misolda tushuntiring.