jc
3)
^ = «v,
(H .2)
»
boMadi. Teckari almashtirish matritsasi esa
ay matritsaning ortagonalligidan a~' = a\ =ajt boMadi. Shuning uchun,
dXj
dx'
Tenzor maydonning sodda xossalarini keltiramiz.
> Tenzor maydonni skalyar argument bo'yicha differensiallash ten-
zor rangini o ‘zgartirmaydi. Buning isboti xosila ta'rifidan kelib chiqadi
dT
..
*...«) UmT,.*...(t + t o ) - T
,,,.« )
dt
4,-*°
At
117
www.ziyouz.com kutubxonasi
>
Tenzor maydonni radius vektor koordinatalari bo‘yicha bir marta
differensiallashda uni rangi birga oshadi.
Xaqiqatan ham, ikkinchi rang
T^x^x^x^)
tenzor berilgan bo‘lsin.
QT
Mumkin bo'lgan barcha xususiy hosilalami qaraylik - —- va uning
8xm
almashish qonuniga e’tibor beraylik
ZTA*)
. . . .
dT’,{ x ')Sx’„
OX.
dx_
■ *
dx'
8x_
dx'
(11.1) va (11.2) lardan
x'„ = a^x^,
—- = am .
Shuning uchun,
8xm
8Tlk(x)
8T’k.(x')
8xm
"
“ "
8x'„
Ya’ni ikkinchi rang tenzordan radius vektor koordinatasi bo'yicha
hosila olinganda uchinchi rang tenzoming almashish qonuni bo‘yicha
o'zgarishini ko‘rsatadi.
Xususan, nolinchi rang tenzor - skalyar
maydonning koordi-
natalar bo‘yicha xususiy hosilasini ko‘raylik.
8
_T s 8
a < -
a <
“ a j* ° *
“ V
'
cx'.
8xj 8x'
8Xj
8x1
'
8xt
v
CXj
1
-misol.
maydonning gradientini tenzor qoidalari bo‘yicha
topaylik.
D>(gradr)
= — = — Jx]x] =
—^
(xmxm
) = —
2xm
= — 8
= —.
)l 8x, 8x,S " "
2 jx nxa dx,K "
2r m 8x,
r m
r
Bundan
grad
r
= r !r
kelib chiqadi.^
Tenzor belgisi yordamida
a(r)
vektor maydonning divergensiyasi
diva = (v,a) = ^ ,
'
' ax.
va rotonni
rota = c,[v,a](= c , ^ ^ - a t ,
ko‘rinishda yozish mumkin.^
2-misol. a(T) = rr
maydonning divergensiya va rotorini hisoblaylik.
t>
div(rr) = (V,rr) = ^-rx( +
rSu = x,
— + 3r = 4r.
(ror (rr )); = [v,rr ]_ =
£IJt -$-rxt
=
et
— + rSj.
| = 0. ◄
118
www.ziyouz.com kutubxonasi
|
