Переходного периода

настоящем  исследовании  мы  займемся  проблемой  такой  классифика-
ции для некоторых российских макроэкономических рядов. 
Как показывает огромное количество работ, подробный обзор которых 
можно  найти,  например,  в  книге  [Maddala,  Kim  (1998)],  проблема  отнесе-
ния  ряда  к  одному  из  указанных  двух  классов  на  основании  наблюдения 
реализации  ряда  на  некотором  интервале  времени  оказалась весьма слож-
ной. Было предложено множество процедур такой классификации, но и по 
настоящее время предлагаются все новые и новые процедуры, которые ли-
бо  несколько  превосходят  старые  в  статистической  эффективности  (по 
крайней  мере,  теоретически)  либо  могут  составить  конкуренцию  старым 
процедурам и служить дополнительным средством подтверждения класси-
фикации,  произведенной  другими  методами.  Описание  многих  таких  про-
цедур  и  ссылки  на  статьи с подробным описанием и теоретическим обос-
нованием этих процедур  можно  найти, например, в упоминавшихся выше 
книгах [Maddala, Kim (1998)], [Enders (1995)], [Hamilton (1994)], [Hatanaka 
(1996)]. 
Краткое описание процедур классификации, использованных в насто-
ящей  работе,  дано  в  Приложении  П1.  Здесь  мы  заметим  только,  что  ис-
пользование  различных  процедур  может  приводить  к  противоположным 
выводам о принадлежности наблюдаемого ряда классу TS-рядов или клас-
су DS-рядов. В этом отношении весьма показательным является сопостав-
ление  выводов,  полученных  при  анализе  14  макроэкономических  рядов 
США (имеющих протяженность от 62 до 111 лет) в работе [Nelson, Plosser 
(1982)] и в более поздней работе Перрона ([Perron (1989)]). Если в первой 
работе лишь один из 14 рассмотренных рядов был отнесен к классу TS, то 

 
 
13 
во второй, напротив, к этому классу было отнесено уже 11 из этих рядов. 
Правда,  подобное  кардинальное  изменение  результатов  классификации 
было  связано  с  расширением  понятия  TS  рядов.  В  класс  TS-рядов  стали 
включать и ряды, стационарные относительно трендов, имеющих «излом» 
в  известный  момент  времени.  Отказ  от  предположения  об  известной  дате 
излома тренда, в свою очередь привел к некоторому изменению классифи-
кации, полученной Перроном (см. [Zivot, Andrews (1992)]). Допущение еще 
более  гибких  форм  функции  тренда  изменило  и  последнюю  классифика-
цию,  см.  [Bierens  (1997)].  Наконец,  работа  [Nunes,  Newbold,  Kuan  (1997)] 
«замкнула  круг»:  изменение  предположения  о  характере  процесса  порож-
дения  данных  по  сравнению  с  работой  [Zivot,  Andrews  (1992)]  привело  к 
той  же  самой  классификации  14  рядов,  которая  была  получена  в  работе 
[Nelson, Plosser (1982)]. 
В  связи  с  такими  результатами  при  анализе  конкретных  макроэконо-
мических  рядов  теперь  обычно  применяют  несколько  разных  статистиче-
ских  процедур,  что  позволяет  несколько  укрепить  выводы,  сделанные  в 
пользу одной из двух (TS или DS) конкурирующих гипотез. В проводимом 
ниже анализе российских макроэкономических рядов мы будем поступать 
именно таким образом. 
1.1.3. 
Основные задачи анализа временных рядов 
Принципиальные  отличия  временного  ряда  от  последовательности 
наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем: 

 
во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены времен-
ного ряда не являются независимыми; 

 
во-вторых, члены временного ряда не обязательно являются одинако-
во распределенными, так что P{x
t
 < x} 

 P{x
t

 < x} при t 

 t

. 
Это означает, что свойства и правила статистического анализа случай-
ной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, 
взаимозависимость  членов  временного  ряда  создает  свою  специфическую 
базу  для  построения  прогнозных  значений  анализируемого  показателя  по 
наблюденным значениям. 
Генезис  наблюдений,  образующих  временной  ряд  (механизм  по-
рождения  данных).  Речь  идет  о  структуре  и  классификации  основных 
факторов,  под  воздействием  которых  формируются  значения  временного 
ряда. Как правило, выделяются 4 типа таких факторов. 

 
Долговременные,  формирующие  общую  (в  длительной  перспективе) 
тенденцию в изменении анализируемого признака x
t
. Обычно эта тен-

 
 
14 
денция  описывается  с  помощью  той  или  иной  неслучайной  функции 
f
тр
(t)  (аргументом  которой  является  время),  как  правило,  монотонной. 
Эту функцию называют функцией тренда или просто – трендом. 

 
Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определен-
ное  время  года  колебания  анализируемого  признака.  Поскольку  эта 
функция 

(е)  должна  быть  периодической  (с  периодами,  кратными 
«сезонам»),  в  ее  аналитическом  выражении  участвуют  гармоники 
(тригонометрические функции), периодичность которых, как правило, 
обусловлена содержательной сущностью задачи. 

 
Циклические  (конъюнктурные),  формирующие  изменения  анализиру-
емого  признака,  обусловленные  действием  долговременных  циклов 
экономической  или  демографической  природы  (волны  Кондратьева, 
демографические  «ямы»  и  т.п.)  Результат  действия  циклических  фак-
торов будем обозначать с помощью неслучайной функции 

(t). 

 
Случайные  (нерегулярные),  не  поддающиеся  учету  и  регистрации.  Их 
воздействие  на  формирование  значений  временного  ряда  как  раз  и 
обусловливает  стохастическую  природу  элементов  x
t
,  а,  следователь-
но,  и  необходимость  интерпретации  x
1
,…,  x
T
  как  наблюдений,  произ-
веденных над случайными величинами 

1
,…, 

Т
.
 
Будем обозначать ре-
зультат  воздействия  случайных  факторов  с  помощью  случайных 
величин («остатков», «ошибок ») 

t
. 
Конечно,  вовсе  не  обязательно,  чтобы  в  процессе  формирования  зна-
чений  всякого  временного  ряда  участвовали  одновременно  факторы  всех 
четырех типов. Выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в 
формировании значений конкретного ряда, могут базироваться как на ана-
лизе  содержательной  сущности  задачи,  так  и  на  специальном  статистиче-
ском анализе исследуемого временного ряда. Однако во всех случаях пред-
полагается  непременное  участие  случайных  факторов.  Таким  образом,  в 
общем  виде  модель  формирования  данных  (при  аддитивной  структурной 
схеме влияния факторов) выглядит как: 
x
t
 = 

1
f(t) + 

2

(t) +

3

(t) + 

t
. 
(1.1.1) 
где 

i
 = 1, если факторы i-го типа участвуют в формировании значений ря-
да и 

i
 = 0 – в противном случае. 
Основные  задачи  анализа  временных  рядов.  Базисная  цель  стати-
стического  анализа  временного  ряда  заключается  в  том,  чтобы  по  имею-
щейся траектории этого ряда: 
1.  определить,  какие  из  неслучайных  функций присутствуют в  разложе-
нии (1.1.1), т.е. определить значения индикаторов 

i
; 

 
 
15 
2.  построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые 
присутствуют в разложении (1.1.1); 
3.  подобрать  модель,  адекватно  описывающую  поведение  случайных 
остатков 

t
, и статистически оценить параметры этой модели. 
Успешное решение перечисленных задач, обусловленных базовой це-
лью  статистического  анализа  временного  ряда,  является  основой  для  до-
стижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, 
для  решения  задачи  кратко-  и  среднесрочного  прогноза  значений  времен-
ного ряда. Приведем кратко основные элементы эконометрического анали-
за временных рядов. 

 
Большинство  математико-статистических  методов  имеет  дело  с  моде-
лями,  в  которых  наблюдения  предполагаются  независимыми  и  одина-
ково  распределенными.  При  этом  зависимость  между  наблюдениями 
чаще  всего  рассматривается  как  помеха  в  эффективном  применении 
этих методов. Однако разнообразные данные в экономике, социологии, 
финансах, коммерции и других сферах человеческой деятельности по-
ступают в форме временных рядов, в которых наблюдения взаимно за-
висимы,  и  характер  этой  зависимости  как  раз  и представляет главный 
интерес для исследователя. Совокупность методов и моделей исследо-
вания  таких  рядов  зависимых  наблюдений  называется  анализом  вре-
менных  рядов.  Главная  цель  эконометрического  анализа  временных 
рядов  состоит  в  построении  по  возможности  простых  и  экономично 
параметризованных моделей, адекватно описывающих имеющиеся ря-
ды наблюдений и составляющих базу для решения, в первую очередь, 
следующих задач: 
(а) вскрытие механизма генезиса наблюдений, составляющих ана-
лизируемый временной ряд; 
(б) построение оптимального прогноза для будущих значений вре-
менного ряда; 
(в) выработка стратегии управления и оптимизации анализируемых 
процессов. 

 
Говоря  о  генезисе  образующих  временной  ряд  наблюдений,  следует 
иметь в виду (и по возможности модельно описать) четыре типа факто-
ров, под воздействием которых могут формироваться эти наблюдения: 
долговременные,  сезонные,  циклические  (или  конъюнктурные)  и  слу-
чайные.  При  этом  не  обязательно  в  процессе  формирования  значений 
конкретного временного ряда должны одновременно участвовать фак-
торы всех четырех типов. Успешное решение задач выявления и моде-

 
 
16 
лирования  действия  этих  факторов  является  основой,  базисным  от-
правным пунктом для достижения конечных прикладных целей иссле-
дования, главные из которых упомянуты в предыдущем пункте. 

 
Приступая к анализу дискретного ряда наблюдений, расположенных в 
хронологическом  порядке,  следует  в  первую  очередь  убедиться,  дей-
ствительно ли в формировании значений этого ряда участвовали какие-
либо факторы, помимо чисто случайных. При этом под «чисто случай-
ными» понимаются лишь те случайные факторы, под воздействием ко-
торых генерируются последовательности взаимно не коррелированных 
и  одинаково  распределенных  случайных  величин,  обладающих  посто-
янными (не зависящими от времени) средними значениями и дисперси-
ями.  Ответ  на  поставленный  вопрос  получают,  проводя  статистиче-
скую  проверку  соответствующей  гипотезы,  например,  с  помощью 
одного из «критериев серий», критерия Аббе, критериев Бокса-Пирса и 
Люнга-Бокса. 
Если  в  результате  проверки  такой  статистической  гипотезы  выясни-
лось, что имеющиеся наблюдения взаимно зависимы (и, возможно, не-
одинаково  распределены),  то  приступают  к  подбору  подходящей  мо-
дели  для  этого  ряда.  Множество  моделей,  в  рамках  которого  ведется 
этот  подбор,  ограничивается  обычно  следующими  классами моделей: 
(а) классом стационарных временных рядов (которые используются, в 
основном,  для  описания  поведения  «случайных  остатков»),  (б)  клас-
сом нестационарных временных рядов, которые являются суммой де-
терминированного тренда и стационарного временного ряда, (в) клас-
сом  нестационарных  временных  рядов,  имеющих  стохастический 
тренд,  который  можно  удалить  последовательным  дифференцирова-
нием ряда (т.е. путем перехода от ряда уровней к ряду разностей пер-
вого или более высокого порядка). 
В  рамках  эконометрического  анализа  временных  рядов  макроэконо-
мических  показателей  российской  экономики,  проводимого  в  настоя-
щей работе, мы объединяем ряды, входящие в классы (а) и (б), в один 
класс,  который,  следуя  общепринятой  в  последнее  время  практике 
[см.,  например,  Maddala,  Kim  (1998)],  называем  классом  TS-рядов 
(trend stationary series – ряды, стационарные относительно детермини-
рованного  тренда).  Адекватным  методом  остационаривания  времен-
ных рядов, принадлежащих классу (б), является вычитание из ряда де-
терминированного  тренда.  Напротив,  для  рядов,  принадлежащих 
классу  (в),  адекватным  методом  остационаривания  ряда  является  пе-

 
 
17 
реход от ряда уровней к ряду разностей (первого или более высокого 
порядка). 

 
Стационарные (в широком смысле) временные ряды x
t
 характеризуют-
ся тем, что их средние значения Ex
t
, дисперсии Dx
t
 и ковариации 

(

) = 
E[x
t
 

  Ex
t
)(x
t+

 

Ex
t+

)] не зависят от t, для которого они вычисляются. 
Взаимозависимости,  существующие  между  членами  стационарного 
временного ряда, как правило, могут быть адекватно описаны в рамках 
моделей  авторегрессии  порядка  p  (AR(p)-моделей),  моделей  скользя-
щего среднего порядка q (MA(q)-моделей) или моделей авторегрессии 
со  скользящими  средними  в  остатках  порядка  p  и  q  (ARMA(p,  q)-
моделей). 

 
Временной ряд x
t
 называется интегрированным (проинтегрированным) 
порядка  k,  если  последовательные  разности 

k
x
t
  этого  ряда  порядка  k 
(но не меньшего порядка!) образуют стационарный временной ряд. По-
ведение таких рядов, в том числе рядов, содержащих сезонную компо-
ненту,  в  эконометрических  прикладных  задачах  достаточно  успешно 
описывают с помощью моделей авторегрессии 

 проинтегрированного 
скользящего среднего порядка p, k и q (ARIMA(p, k, q)-моделей) и не-
которых их модификаций. К этому классу относится и простейшая мо-
дель  стохастического  тренда  –  процесс  случайного  блуждания 
(ARIMA(0, 1, 0)). Приращения случайного блуждания образуют после-
довательность независимых, одинаково распределенных случайных ве-
личин  («белый  шум»).  Поэтому  процесс  случайного  блуждания  назы-
вают также «проинтегрированным белым шумом». 
В настоящее время в класс интегрированных рядов порядка k включа-
ют также ряды, у которых разность порядка  k (но не меньшего!) является 
процессом,  стационарным  относительно  детерминированного  тренда.  В 
нашей работе используется именно такое определение. При этом если сам 
временной  ряд  является  стационарным  или  стационарным  относительно 
детерминированного  тренда  (TS-рядом),  то  он  определяется  как  интегри-
рованный ряд нулевого порядка. 
При наличии сезонности получить стационарный ряд иногда возмож-
но,  переходя  к  разностям  не  соседних  значений  ряда,  а  значений,  отстоя-
щих на соответствующее число единиц времени. Например, при кварталь-
ных данных для достижения стационарности бывает достаточно перейти к 
последовательности  разностей  значений  ряда,  отстоящих  на  4  единицы 
времени. 

 
 
18 

 
Подобрать модель для конкретного временного ряда {x
t
}, t = 1, 2,…, T 

 это значит определить подходящее параметрическое семейство моде-
лей в качестве допустимого множества решений, а затем статистически 
оценить  параметры  модели  на  основании  имеющихся  наблюдений  x
1
, 
x
2
,…,  x
T
.  Весь  этот  процесс  принято  называть  процессом  идентифика-
ции  модели,  или  просто  идентификацией.  Для  правильной  идентифи-
кации модели временного ряда необходимо решить вопрос о том, явля-
ется  ли  исследуемый  временной  ряд  стационарным,  стационарным 
относительно  детерминированного  тренда  (т.е.  суммой  детерминиро-
ванных компонент и стационарного ряда) или в его составе содержится 
стохастический тренд. Решению этой задачи для ряда российских мак-
роэкономических рядов посвящена основная часть настоящей работы. 

 
В ситуациях, когда временные ряды {x
t
} и {y
t
}, t = 1, 2,…, T, являются 
исходными данными для построения регрессии y на x, причем воздей-
ствие единовременного изменения одной из переменных (x) на другую 
(y) растянуто (распределено) во времени, большой прикладной интерес 
представляют  так  называемые  модели  с  распределенными  лагами.  В 
рамках  этого  специального  класса  моделей  проводится,  в  частности, 
эконометрический  анализ  таких  важных  экономических  явлений,  как 
«процесс  частичного  приспособления»,  «модели  адаптивных  ожида-
ний» и др. 

 
Важную роль в системах поддержки принятия экономических решений 
играет прогнозирование экономических показателей. Методы автопро-
гноза,  основанные  на  анализе  временных  рядов,  экстраполируют  име-
ющийся в наличии ряд только на основании информации, содержащей-
ся  в  нем  самом.  Такого  рода  прогноз  может  оказаться  эффективным 
лишь в кратко- и, максимум, в среднесрочной перспективе. Серьезное 
решение задач долгосрочного прогнозирования требует использования 
комплексных подходов, и в первую очередь привлечения различных (в 
том  числе,  статистических)  технологий  сбора  и  анализа  экспертных 
оценок. 

 
Эффективный  подход  к  решению  задач  кратко-  и  среднесрочного  ав-
топрогноза 

  это  прогнозирование,  основанное  на  использовании  «по-
догнанных»  (идентифицированных)  моделей  типа  ARIMA(p,  k,  q), 
включая, в качестве частных случаев, и модели AR-, MA- и ARMA. 

 
Весьма широко распространены в решении прикладных задач кратко- 
и среднесрочного автопрогноза и так называемые адаптивные методы, 
позволяющие  по  мере  поступления  новых  данных  обновлять  ранее 

 
 
19 
сделанные  прогнозы  с  минимальной  задержкой  и  с  помощью  относи-
тельно несложных математических процедур. 
В приложении П2 приведен краткий обзор методов построения, иден-
тификации  и  верификации  моделей  одномерных  временных  рядов,  по-
дробный обзор имеется, например, в [Айвазян,  Мхитарян (1998)], [Ллойд, 
Ледерман (1990)]. 
1.2. Методология исследования 
1.2.1. Общие замечания 
Как уже отмечалось выше, для решения вопроса об отнесении исследу-
емого ряда X
t 
к классу TS (стационарных или стационарных относительно 
тренда)  или  DS  (разностно  стационарных)  процессов  имеется  целый  ряд 
различных процедур. Однако все эти процедуры страдают теми или иными 
недостатками.  Процедуры,  оформленные  в  виде  формальных  статистиче-
ских  критериев,  как  правило,  имеют  достаточно  низкую  мощность,  а  это 
ведет к тому, что весьма часто не отвергается исходная (нулевая гипотеза), 
когда она в действительности не выполняется. В то же время невыполнение 
теоретических предпосылок, на которых основывается критерий, при при-
менении  его  к  реальным  данным  приводит  к  отличию  реально  наблюдае-
мого размера критерия от заявленного уровня значимости. Вследствие по-
следнего  обстоятельства  теряется  контроль  над  вероятностью  ошибки 
первого рода, и это может приводить к слишком частому отвержению ну-
левой  гипотезы,  когда  она  в  действительности  верна.  В  связи с таким по-
ложением вещей исследователи обычно  используют при анализе рядов на 
принадлежность их к классу TS или DS не один, а несколько критериев и 
подкрепляют выводы, полученные с использованием формальных критери-
ев  (с  установленными  уровнями  значимости)  графическими  процедурами. 
Мы также будем пользоваться в нашем исследовании несколькими проце-
дурами  различения  TS  и  DS  рядов  и  в  этом  разделе  кратко  опишем  эти 
процедуры. Более подробное их описание можно найти в цитируемой ниже 
литературе. 
В большинстве критериев, предложенных для различения DS и TS ги-
потез,  в  качестве  нулевой  (исходной)  берется  гипотеза  DS,  а  TS-гипотеза 
является альтернативной гипотезой. При этом нулевая DS-гипотеза форму-
лируется как «гипотеза единичного корня» (unit root, UR-гипотеза), т.е. как 
гипотеза о наличии корня z = 1 («единичного корня») у уравнения a(z) = 0, 

 
 
20 
где a(L) – многочлен от оператора обратного сдвига L в авторегрессионном 
представлении a(L)x
t 
= 

t
 ряда x
t
. 
Критерии, в которых за исходную (нулевую) гипотезу берется гипотеза 
TS, служат скорее для подтверждения результатов проверки DS-гипотезы. В 
этом случае вместо проверки гипотезы единичного корня для самого ряда x
t 
проверяется гипотеза о наличии единичного корня z = 1 у уравнения b(z) = 0, 
где b(L) – многочлен от оператора обратного сдвига L в представлении в виде 
процесса скользящего среднего 

x
t
 = b(z)

t
 ряда разностей 

x
t
 = x
t 
- x
t-1 
исход-
ного процесса x
t
. 
Краткий обзор основных критериев, использованных в настоящей ра-
боте, приведен в приложении П1. 
В заключение раздела приведем интерпретацию результатов в зависи-
мости от выводов, получаемых различными критериями. 
Для простоты предположим, что при анализе ряда мы используем кри-
терий ADF для проверки DS-гипотезы в качестве нулевой и критерий KPSS 
для  проверки  TS-гипотезы  в  качестве  нулевой.  Тогда  возможны  четыре 
различных исхода статистического анализа: