Birinchi tartibli hosila uchun ifodani inobatga olgan holda,
songgi tenglikni
differensiallaymiz:
◄
Yuqori tartibli differensiallar
Yuqori tartibli differensiallarni ham hosilalar singari quyi tartiblardan yuqori
tartiblarni aniqlaymiz.
funksiyaning
nuqtadagi birinchi tartibli
differensialini oddiyroq qilib berilgan nuqtadagi birinchi differensial deb ataymiz.
Shunday qilib birinchi differensial
mavjud bo‘lsin. O‘ng tomondagi faqat birinchi ko‘paytuvchigina o‘zgaruvchiga
bog‘liq, ikkinchi ko‘paytuvchi erkin o‘zgaruvchining orttirmasi va u
o‘zgaruvchiga bogliq emas. Demak birinchi differensial o‘zgaruvchining
funksiyasidan
iborat ekan, shuning uchun bu funksiyaning differensiali to‘g‘risida
gapirish mumkin.
Agar
funksiyaning nuqtadagi differensialining differensiali
mavjud bo‘lsa biz uni ikkinchi differensial (ikkinchi tartibli differensial) deb ataymiz va
uni
orqali belgilaymiz:
Ikkinchi differensial uchun ifoda topamiz. Differensialning aniqlanishiga ko‘ra
[
]
Qavs ichidagi
ko‘paytuvchi o‘zgaruvchiga bog‘liq emas, shuning uchun uni hosila
belgisidan tashqariga chiqarish mumkin va natijada
tenglikka ega bo‘lamiz. Differensialning darajasini yozishda qavslarni yozmaslik qabul
qilingan, masalan,
o‘rniga
deb
yozish qabul qilingan; xuddi shu singari
o‘rniga
yoziladi va hokazo.
Ikkinchi differensialdan olingan differensial uchinchi differensial deb ataladi:
[
]
Bu jarayonni davom ettirib, ixtiyoriy
tartibli differensialni aniqlaymiz:
[
]
Differensialning har xil tartiblaridan foydalanib
ixtiyoriy tartibli hosilani
differensiallar nisbati shaklida yozish mumkin:
Shunday qilib,
funksiyaning nuqtada tartibli differensialning
mavjud uchun, u bu nuqtada
marta differensiallanuvchi bo‘lishligi zarur ekan.
Agar
va funksiyalarning nuqtada tartibli differensiallari mavjud
va
bo‘lsa,
va
(14)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Ko‘paytmaning tartibli hosilasi
uchun hosil qilingan
Leybnis formulasi
tartibli differensial uchun
ko’rinishda bo’ladi,
orqali elementdan tadan qilib guruhlashlar soni
belgilangan.
8-Misol.
√
funksiyaning nuqtadagi
ikkinchi tartibli differensialini
toping.
► Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz:
√
√
U holda
√
◄
