Potensial maydon. Potensial maydonda egri chiziqli integralni hisoblash. Gamilton operatori

POTENSIAL MAYDON. POTENSIAL MAYDONDA EGRI CHIZIQLI INTEGRALNI
HISOBLASH.GAMILTON OPERATORI.
Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi potentsial maydon hisobi egri chiziqli integralning potentsial maydonda potentsial hisobi Dekart koordinatalarida.
 6. Aniq integralning o‘rtacha qiymati formulasi.
 7. O'zgaruvchan yuqori chegarali integral. Uning uzluksizligi va differentsialligi.
 8. Aniq integral uchun Nyuton-Leybnits formulasi.
 9. Aniq integralni qismlar bo‘yicha hisoblash va o‘zgaruvchining o‘zgarishi.
 10. Aniq integralning qo‘llanilishi (tekis figuraning maydoni, egri yoy uzunligi, aylanish jismining hajmi).
 11. Son qatori va uning yig‘indisi haqida tushuncha. Ketmalarning yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni. Konvergentsiya uchun zarur shart.
 12. Delambert va Koshining manfiy bo'lmagan hadlari bo'lgan qatorlarni yaqinlashish testlari.
 13. Son qatorning yaqinlashuvining integral Koshi mezoni.
 14. Belgisi bilan almashinadigan son qator. Mutlaq va shartli yaqinlashuv. O'zgaruvchan qatorlar. Leybnits belgisi.
 15. Funktsional diapazon. Seriya yig'indisi. Qatorning bir xil yaqinlashuvini aniqlash. Funktsional qatorning bir xil yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni.
 16. Yagona konvergentsiya uchun Weierstrass testi.
 18. Quvvat seriyalari. Abel teoremasi.
 19. Darajalar qatorining yaqinlashish radiusi. Koshi-Hadamard formulasi darajali qatorning yaqinlashish radiusi.
 21. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. n o'lchovli Evklid fazosi haqida tushuncha. Evklid fazosidagi nuqtalar to'plami. Nuqtalar ketma-ketligi va uning chegarasi. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasini aniqlash.
 22. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegarasi. Funktsiyaning uzluksizligi. Qisman hosilalar.
 23. Bir necha o‘zgaruvchining differentsiallanuvchi funksiyasining ta’rifi va uning differensialligi. Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar.
 24. Bir necha o‘zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasi. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari. Ekstremum uchun zaruriy shart. Ekstremum uchun etarli shart.
 25. Ikki tomonlama integral va uning xossalari. Ikkilamchi integralni takroriy integralga keltirish.
 27. Uch karrali integralda o‘zgaruvchilarning o‘zgarishi. Silindrsimon va sferik koordinatalar.
 28. Parametrik va aniq berilgan silliq sirt maydonini hisoblash.
 29. Birinchi va ikkinchi turdagi egri chiziqli integrallarni aniqlash, ularning asosiy xossalari va hisobi.
 30. Grin formulasi. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari.
 31. Birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari, ularning asosiy xossalari va hisobi.
 32. Gauss-Ostrogradskiy teoremasi, uning koordinata va vektor (invariant) ko'rinishdagi yozuvi.
 33. Stokes formulasi, uning koordinata va vektor (invariant) ko'rinishdagi yozuvi.
 34. Skalyar va vektor maydonlari. Gradient, divergensiya, rotor. Potensial va solenoid maydonlar.
 35. Gamilton operatori. (nabla) uning qo'llanilishi (misollar).
 36. Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar (odasi)ga oid asosiy tushunchalar: umumiy va xususiy yechimlar, bosh integral, integral egri chiziq. Koshi muammosi, uning geometrik ma'nosi.
 37. Birinchi tartibli qasidaning ajratiladigan va bir jinsli o‘zgaruvchilar bilan integrasiyasi.
 38. Birinchi tartibli chiziqli odalar va Bernulli tenglamalarini integrallash.
 39. Birinchi tartibli odening qutbli differensiallarda integrasiyasi. Birlashtiruvchi omil.
 40. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Parametrlarni kiritish usuli.
 41. Doimiy koeffitsientli n-tartibli tenglama. Xarakteristik tenglama. Bir jinsli tenglamaning fundamental yechimlar tizimi (fsr), bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi.
 42. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar tizimi. Bir hil sistemaning Fsr. Bir jinsli sistemaning umumiy yechimi.
30. Grin formulasi. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari.
Grin formulasi: Agar C D sohasining yopiq chegarasi boʻlsa va P (x, y) va Q (x, y) funktsiyalari ularning birinchi tartibli qisman hosilalari bilan birgalikda D yopiq sohada (shu jumladan chegarada) uzluksiz boʻladi. C), u holda Yashil formulasi to'g'ri keladi: va kontur C atrofida aylanib o'tish D maydoni chapda qolishi uchun tanlangan.
Ma’ruzalardan: Birinchi tartibli qisman hosilalari bilan birgalikda D sohada uzluksiz bo‘lgan P (x, y) va Q (x, y) funksiyalar berilsin. Toʻliq D sohasida joylashgan va D: sohasidagi barcha nuqtalarni oʻz ichiga oluvchi (L) chegara ustidagi integral. Konturning musbat yo'nalishi konturning chegaralangan qismi chap tomonda bo'lsa.
2-turdagi egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi sharti. Buning uchun zarur va etarli shart egri chiziqli integral M1 va M2 nuqtalarini bog'laydigan birinchi turdagi, integratsiya yo'liga bog'liq emas, faqat boshlang'ich va yakuniy nuqtalarga bog'liq, tenglik :.
.
31. Birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari, ularning asosiy xossalari va hisobi.
- sirtni belgilash.
Biz S ni xy tekisligiga proyeksiyalaymiz, D maydonini olamiz. D maydonini chiziqlar to'ri bilan Di deb nomlangan qismlarga ajratamiz. Har bir chiziqning har bir nuqtasidan z ga parallel chiziqlar torting, keyin S Si ga bo'linadi. Integral yig'indini tuzamiz:. Keling, Di diametrining maksimalini nolga aylantiramiz:, biz quyidagilarni olamiz:
Bu birinchi turdagi sirt integralidir

Birinchi turdagi sirt integrali shunday ko'rib chiqiladi.
Qisqacha ta'rif. Agar mavjud bo'lsa yakuniy chegara integral yig'indisi, S ni elementar kesmalarga bo'lish usuliga va nuqtalarni tanlashga bog'liq bo'lmasa, u birinchi turdagi sirt integrali deb ataladi.
X va y o'zgaruvchilardan u va v ga o'tishda:





P S irt integral oddiy integralning barcha xossalariga ega. Yuqoridagi savollarga qarang.
Ikkinchi turdagi sirt integralining ta’rifi, uning asosiy xossalari va hisobi. Birinchi turdagi integral bilan bog'lanish.
L chiziq bilan chegaralangan S sirt berilsin (3.10-rasm). L chegarasi bilan umumiy nuqtalari bo'lmagan S sirtida qandaydir L konturni oling. L konturning M nuqtasida S sirtga ikkita normalni tiklashimiz mumkin. Ushbu yo'nalishlardan birini tanlang. Biz M nuqtasini L kontur bo'ylab normalning tanlangan yo'nalishi bilan chizamiz.
Agar M nuqta normalning bir xil yo'nalishi bilan (va aksincha emas) dastlabki holatiga qaytsa, u holda S sirt ikki tomonlama deyiladi. Biz faqat ikki tomonlama yuzalarni ko'rib chiqamiz. Tenglamaga ega bo'lgan har qanday silliq sirt ikki tomonlama sirtdir.
S o'z-o'zidan kesishish nuqtalari bo'lmagan L chiziq bilan chegaralangan ikki tomonlama yopiq bo'lmagan sirt bo'lsin. Keling, sirtning ma'lum bir tomonini tanlaylik. Biz L konturini kesib o'tishning ijobiy yo'nalishini shunday yo'nalish deb ataymiz, sirtning tanlangan tomoni bo'ylab harakatlanayotganda, sirtning o'zi chap tomonda qoladi. Shu tarzda o'rnatilgan konturlarni kesib o'tishning ijobiy yo'nalishi bo'lgan ikki tomonlama sirt yo'naltirilgan sirt deb ataladi.
Keling, ikkinchi turdagi sirt integralini qurishga o'tamiz. Kosmosda har biri shakl tenglamasi bilan berilgan yoki generatorlar bilan silindrsimon yuza bo'lgan cheklangan sonli bo'laklardan iborat ikki tomonlama S sirtini oling, parallel o'q Oz.
R (x, y, z) S sirtida aniqlangan va uzluksiz funksiya bo‘lsin. Chiziqlar tarmog‘i orqali biz S ni ixtiyoriy ravishda n ta “elementar” bo‘limga DS1, DS2, ..., DSi, .. bo‘limlariga ajratamiz. ., DSn umumiy ichki nuqtalari yo'q. Har bir DSi segmentida biz o'zboshimchalik bilan Mi (xi, yi, zi) nuqtasini tanlaymiz (i = 1, ..., n). Agar Mi (xi, yi, zi) nuqtasida S sirtiga normal bo'lsa, "+" belgisi bilan olingan DSi kesmaning Oksi koordinata tekisligiga proyeksiyasi maydoni (DSi) xy bo'lsin ( i = 1, ..., n) Oz oʻqi bilan oʻtkir burchak, bu burchak oʻtmas boʻlsa “-” belgisi bilan hosil qiladi. R (x, y, z) funksiya uchun x, y: o‘zgaruvchilarda S sirt ustida integral yig‘indini tuzamiz. l diametrlarning eng kattasi DSi (i = 1, ..., n) bo'lsin.
Agar S sirtni "elementar" kesmalarga bo'lish usuliga DSi va nuqtalarni tanlashga bog'liq bo'lmagan chekli chegara mavjud bo'lsa, u R funksiyaning S sirtining tanlangan tomoni ustidagi sirt integrali deb ataladi. (x, y, z) koordinatalari bo'ylab x, y (yoki ikkinchi turdagi sirt integrali) va quyidagicha belgilanadi.  .
Xuddi shunday, sirtning mos tomoni bo'ylab x, z yoki y, z koordinatalari bo'yicha sirt integrallarini qurish mumkin, ya'ni.  va  .
Agar ushbu integrallarning barchasi mavjud bo'lsa, siz sirtning tanlangan tomoniga "umumiy" integralni kiritishingiz mumkin:.
Ikkinchi turdagi sirt integrali integralning odatiy xossalariga ega. Biz shuni ta'kidlaymizki, ikkinchi turdagi har qanday sirt integrali sirt tomoni o'zgarganda belgini o'zgartiradi.
Birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari orasidagi bog'lanish.
S sirt tenglama bilan berilgan bo'lsin: z = f (x, y) va f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) yopiq holda uzluksiz funktsiyalardir. sohasi t (S sirtining Oxy koordinata tekisligiga proyeksiyalari) va R (x, y, z) funksiya S sirtda uzluksizdir. Cos a, cos b yo‘nalish kosinuslariga ega bo‘lgan S sirt uchun normal. cos g, S sirtining ustki tomoniga tanlanadi. Keyin.
Umumiy holat uchun bizda:
= 

Integratsiya yo'lidan 2-tur
Ikkinchi turdagi egri chiziqli integralni ko'rib chiqaylik, bu erda L - M va N nuqtalarini bog'laydigan egri chiziq. P (x, y) va Q (x, y) funktsiyalari butun egri chiziqni o'z ichiga olgan ba'zi D sohasida uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin. L. Ko'rib chiqilayotgan egri chiziqli integral L egri chiziqning shakliga emas, balki faqat M va N nuqtalarning joylashishiga bog'liq bo'lgan shartlarni aniqlaymiz.
D sohasida yotgan va M va N nuqtalarni tutashtiruvchi ikkita ixtiyoriy MSN va MTN egri chiziqlarni chizamiz (14-rasm).
Aytaylik, ya'ni

bu erda L - MSN va NTM egri chiziqlaridan tashkil topgan yopiq tsikl (shuning uchun uni ixtiyoriy deb hisoblash mumkin). Demak, ikkinchi turdagi egri chiziqli integralning integrallash yo`lidan mustaqilligi sharti har qanday yopiq kontur bo`yicha bunday integralning nolga teng bo`lishi shartiga ekvivalentdir.
5-teorema (Yashil teorema). P (x, y) va Q (x, y) funktsiyalari va ularning qisman hosilalari va D sohasining barcha nuqtalarida uzluksiz bo'lsin. Keyin, D sohasida yotgan har qanday yopiq kontur L shartni qondirish uchun
1) yetarlilik: shart = qanoatlansin. S domenini chegaralovchi D domenidagi ixtiyoriy yopiq L konturni ko‘rib chiqing va uning uchun Green formulasini yozing:
funksiya mavjud bo‘lgani uchun u musbat va ba’zilaridan katta bo‘ladimi? > 0 kichik D domenida P nuqtasini o'z ichiga oladi. Shunday qilib,