Predikatlar va kvantorlar. Paradokslar va sofizmlar

PREDIKATLAR VA KVANTORLAR. PARADOKSLAR VA SOFIZMLAR

Reja:

1. 
   To’plamlar haqida tushunchalar.
   
2. 
   Qism to’plam.
   
3. 
   To’plamlar ustida amallar va ularning xossalari.
   
4. 
   Predikatlar haqida tushunchalar;
   
5. 
   Kvantorlar va ularning turlari;
   
6. 
   Predikatli formulalar;
   
7. 
   Muloxazalarni mantiqiy belgilar yordamida yozish;
   

Mulohazalar algebrasi yordamida sodda mulohazalardan murakkab mulohazalar hosil qilinishi 1-2 - ma’ruzalarda o’rgandik. Lekin mulohazalar mantiqi kamchiliklarga ega, ya’ni uning yordamida ob’yektlarning xossalari va ular orasidagi munosabatlarni yoritish mumkin emas. Bunday kamchiliklarni bartaraf qilishda peridikat tushunchasi muhimdir.

Ta’rif: Tarkibida erkin o’zgaruvchilar qatnashib, bu o’zgaruvchilarning qabul qilish mumkin bo’lgan qiymatlarida muloxazaga aylanadigan darak gapga predikat deyiladi.
x ob’yektning biror P xossaga ega bo’lishi P(x) kabi belgilanib, uni bir o’rinli predikat deyiladi.
Predikat ikki, uch, ...,n o’rinli ham bo’lishi mumkin. n o’rinli predikat P(x₁, x₂, …, x_n) orqali belgilanib, bu predikat biror A to’plamning x₁, x₂, …, x_n elementlari orasidagi P munosabatni bildiradi. Bir o’rinli predikatni unar, ikki o’rinli predikatni binar, uch o’rinli predikatni ternar predikatlar deyiladi. Nol o’rinli predikat o’zgarmas muloxazani bildiradi.
Masalan, P(x): “x – tub son” – bir o’rinli predikat, P(x; y): “x+y=5” – ikki o’rinli predikat, P(x; y; z): “x+2y+z=0” – uch o’rinli predikat bo’ladi.
Ta’rif: M to’plamning P(x) predikatni rost muloxazaga aylantiruvchi D qism to’plamiga P(x) predikatning rostlik sohasi deyiladi.
Ta’rif: Agar P(x) predikat M to’plamning barcha elementlarida rost (yolg’on) bo’lsa, u holda P(x) predikat M to’plamda aynan rost (yolg’on) deyiladi.
Bundan tashqari bajariluvchi predikat ham mavjud bo’lib, ular [1, 2] da keltirilgan.
n o’rinli predikatlar uchun ham aynan rost, aynan yolg’on predikatlar tushunchasini aniqlash mumkin.
Masalan, “x<0” – predikat N to’plamda aynan yolg’on, “x -musbat” predikat N to’plamda aynan rost predikat, “x-toq son” predikat esa N to’plamda bajariluvchi predikat bo’ladi.
Predikatlardan muloxaza hosil qilishning quyidagi ikkita usuli bilan tanishaylik:
Biror M to’plamning “Barcha (ixtiyoriy) x elementlari uchun” degan jumla qisqa , “Ba’zi bir x elementi uchun” degan jumla esa orqali belgilanib, ular mos ravishda umumiylik (ixtiyoriylik) va mavjudlik kvantorlari deyiladi.
“A to’plamning barcha x elementlari uchun f(x) predikat rost” degan jumla qisqacha f(x) ko’rinishda yoziladi. f(x) yozuvda belgi esa “A to’plamning shunday x elementi mavjudki (topiladiki), bu element uchun f(x) predikat rost” degan ma’noni bildiradi.
f(x) predikat A to’plamning barcha elementlar uchun rost bo’lgandagina f(x) muloxaza rost qiymatga ega, f(x) predikat aynan yolg’on bo’lganda f(x) muloxaza yolg’on, ya’ni yolg’on bo’ladi.
Ikki, uch, ..., n o’rinli predikatlar orqali ham kvantorli muloxazalar hosil qilish mumkin. Bu muloxazalarning har biri aynan rost yoki aynan yolg’on bo’lishi mumkin.
M to’plam qaralayotgan predikatlarning rostlik sohasi bo’lsin.
Ta’rif: 1) M to’plamda aniqlangan har qanday muloxaza va predikat predikatlar logikasining formulasidir;
2) Agar formula bo’lsa, u holda ┐ lar ham formuladir;
3) Agar F va G formula bo’lsa, u holda va ham predikatlar logikasining formulasi bo’ladi;
4) Predikatlar mantiqidagi formulalar faqat 1), 2), 3) formulalar orqali tuziladi.
Matematik muloxazalarni mantiqiy belgilar yordamida yozish uchun odatda chekli sondagi bazis predmetlar tanlab olinadi. Qolgan xossa va munosabatlar bazis predikatlar hamda erkli o’zgaruvchilar yordamida tuzilgan ta’rif, teoremalar orqali ifodalanadi.

Matematikada eng muhim tushunchalardan biri to’plam tushunchasidir. Bu tushunchaga birinchi marta nemis matematigi Georg Kantor asos soldi.

To’plamga ta’rif berib bo’lmaydi, uni ba’zi bir narsalar, buyumlar, ob’yektlarning majmui deb qaraladi.
To’plamni lotin yoki grek alifbosining bosh xarflari orqali belgilanadi.
Ta’rif: To’plamni tashkil etuvchi ob’yektlar shu to’plamning elementlari deyiladi.
To’plamning elementlari lotin yoki grek alifbosining kichik xarflari orqali belgilanadi.
Elementlari a, b, c, ... bo’lgan A to’plamni A={a, b, c,…} ko’rinishda yoziladi.
Ta’rif: Elementlari soni chekli bo’lgan to’plamni chekli to’plam, elementlarining soni cheksiz ko’p bo’lgan to’plamni cheksiz to’plam deyiladi.
Masalan, A={0}, B={0, 1}, C={1, 2, …, n} - to’plamlar chekli, N={1, 2, …,n,…} to’plam cheksiz to’plam bo’ladi. Ba’zi to’plamlarni o’z elementlari orqali yozish mumkin emas. Bunday vaqtda u to’plamlar o’z elemetlarining xarakteristik xossalari orqali beriladi. Agar A to’plamning barcha elementlari biror P xossaga ega bo’lsa, u holda A to’plamni A={x/P(x)} ko’rinishda yoziladi.
Masalan, x²+2x-3=0 tenglamaning ildizlari to’plami A={x/ x²+2x-3=0}, barcha ratsional sonlar to’plami esa ko’rinishda yoziladi.
Agar a element A to’plamga tegishli bo’lsa, u holda uni , agar a element A to’plamga tegishli bo’lmasa u holda ko’rinishlarda belgilanadi.
Ta’rif: Agar B to’plamning ixtiyoriy elementi A to’plamda mavjud bo’lsa va aksincha, A to’plamning ixtiyoriy elementi B to’plamda mavjud bo’lsa, u holda A va B to’plamlar teng deyiladi va uni A=B ko’rinishda belgilanadi.
Ta’rif: Agar B to’plamning barcha elementi A to’plamda mavjud bo’lsa, u holda B to’plam A to’plamning qism to’plami (to’plamosti) deyiladi va uni belgilanadi.
belgi saqlanish belgisi deyiladi.
Masalan, - barcha natural sonlar to’plami barcha butun sonlar to’plamining to’plamostisi bo’ladi.
Ta’rif: B to’plamning barcha elementlari A to’plamda mavjud bo’lib, A da yana B ga tegishli bo’lmagan elementlar ham mavjud bo’lsa, u holda B to’plam A to’plamning xos qism to’plami (xosto’plamosti) deyiladi va uni orqali belgilanadi.
Ta’rif: Bitta ham elementga ega bo’lmagan to’plam bo’sh to’plam deyiladi va uni Ø yoki {} ko’rinishda belgilanadi.
Masalan, x²+4=0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to’plami bo’sh to’plam bo’ladi.
Ta’rif: A to’plamning o’zi va Ø to’plam shu A to’plamning xosmas qism to’plami deyiladi.
Ø to’plam har qanday to’plamning to’plamostisi bo’ladi.
Istalgan n ta elementli to’plamning barcha qism to’plamlari soni 2ⁿ ga teng.
To’plamlar ustida birlashma, kesishma, ayirma amallari mavjud.
Ta’rif: A va B to’plamlarning birlashmasi deb shu to’plamlarning kamida bittasiga tegishli bo’lgan barcha elementlardan tuzilgan to’plamga aytiladi va uni ko’rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko’ra bo’ladi.
To’plamlarning birlashmasi chekli sondagi A₁, A₂, …, A_n to’plamlar uchun kiritish mumkin, ya’ni bo’lib, bu to’plam larning kamida bittasiga tegishli elementlardan tuzilgan.
Misol. A={0, 1, 2}, B={1, 2, 3} bo’lsa, u holda bo’ladi.
To’plamlarning birlashmasi quydagi xossalarga ega:

1. 
   - (kommutativ xossa);
   
2. 
   (assotsiativ xossa);
   
3. 
   ;
   
4. 
   (idempotentlik qonuni).
   

Bu xossalar to’plamlar tengligi ta’rifidan foydalanib isbotlanadi. (Bu xossalardan ayrimlarining isboti [1, 2] da keltirilgan).
Ta’rif: A va B to’plamlarning kesishmasi deb shu to’plamlarning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to’plamga aytiladi va u ko’rinishda belgilanadi.
Ta’rifga ko’ra bo’ladi.
To’plamlarning kesishmasini chekli sondagi A₁, A₂, …, A_n to’plamlar uchun kiritish mumkin, ya’ni bo’lib, bu to’plam larning barchasiga tegishli bo’lgan elementlardan tuziladi.
Misol. A={0, 1, 2}, B={1, 2, 3} bo’lsa, u holda bo’ladi.
To’plamlarning kesishmasi quydagi xossalarga ega:

1. 
   ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   .
   

Bu xossalarning ayrimlarining isboti [1, 2] da keltirilgan.
To’plamlarning birlashmasi va kesishmasidan quyidagi xossalar kelib chiqadi:

1. 
   - (birlashmaning kesishmaga nisbatan tarqatish (distributiv) qonuni);
   
2. 
   (kesishmaning birlashmaga nisbatan tarqatish (distributiv) qonuni);
   

1-xossaning isboti [1] da keltirilgan.
1, 2-xossalar istalgan sondagi to’plamlar uchun ham o’rinli bo’ladi, ya’ni
,
bo’ladi.
Ta’rif: A to’plamdan B to’plamning ayirmasi deb A ga tegishli, lekin B ga tegishli bo’lmagan barcha elementlardan tuzilgan to’plamga aytiladi va uni A\B ko’rinnishda belgilanadi.
Misol. bolsa u holda A\B={0}, B\A={3} bo’ladi.
Quydagi de-Morgan qonunlari o’rinli: , .
Invalyutsiya qonuni: .
Ta’rif: A ning B da va B ning A da bo’lmagan elementlaridan tuzilgan to’plamga A va B to’plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va uni ko’rinishda belgilanadi.