Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler




  bulunur. Böylece  
1
2
0
2
0
1
4
3
0
0 4
3
4
2
0
4 0
2
0
3 2
0
3
2
0
k
k
k
k
k
k






 






 
olup sistemdeki ilk iki bağıntı alınarak  
1
0
2
2
3
4
k
k
k



  ilişkisine varılır. Bu sistemdeki üçüncü bağıntıyı da sağlar.  
Uygulamada pratik bir yaklaşımla 
0
1
2
, ,
k k k  ile orantılı sayılar seçilir. 
Buna göre 
0
1
2
2,
3,
4
k
k
k
 

  için payda sıfır olacaktır. Öyleyse pay
1
2
3
4
dF
x
y
zC
  

   
şeklinde çözümlenerek 1.asal integral bulunmuş olur. 
İkinci  asal  integrali  bulmak  üzere  bu  kez  paydayı,  katsayıları  esas  alarak,  yeniden 
düzenleyelim : 
0
1
0
2
1
2
4(
) 3(
) 2(
) 0
k y k x
k z k x
k z k y





    bulunur. Buradan 
0
1
0
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
k y k x
y x
k z k x
z
x
z
y
k z k y





 







 
olup, ilk işleme benzer şekilde, ilk iki bağıntı alınırsa bunlardan       
0
1
2
k
k
k
x
y
z




 
ilişkisine varılır. En basit uygulama şekli, orantılı olarak seçilen k lar için  
0
1
2
,
,
k
x k
y k
z

 
   
olarak payda sıfır olacaktır. Öyleyse  
2
2
2
2
0
2
2
2
2
dF
xdx ydy zdz
C
x
y
z
F








 
olup, bu ise  
2
2
2
2
x
y
z
C



  şeklinde düzenlenerek 2.asal integral de bulunmuş olur. Ancak 
sistemin genel çözümü, bu iki asal integral bir araya getirilerek ifade edilir. Genel çözüm : 
1
2
2
2
2
2
3
4
x
y
z C
x
y
z
C
 








           
olarak bulunmuştur. 
 

27 
 
 
 
Örnek. 
(
)
(
)
(
)
pdx
qdy
rdz
q r yz
r
p xz
p q xy





     denklem sistemini çözelim: 
Çözümü asal integralleri bulmak suretiyle gerçekleştirelim. Bu amaçla 
0
1
2
, ,
k k k    keyfi sabit 
ya da değişkenleri önerilmiş olsun. 
0
1
2
0
1
2
0
(
)
(
)
(
)
0
0
k pdx k qdy k zdz
dF
k q r yz k r
p xz k p q xy









 
formundan  hareketle,  paydanın  hangi  keyfi   
0
1
2
, ,
k k k   için  sıfır  olabileceği  koşullarını 
araştıralım. 
İlk olarak paydayı p,q,r için yeniden düzenleyelim: 
2
1
0
2
0
1
(
)
(
)
(
)
0
p k y k z x q k z k x y r k y k x z



 

  
olur. Buradan  
2
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
k y k z
z
y
k z k x
z
x
y
x
k x k y






  
 






 
olup, bu lineer-homojen sistemin ilk iki bağıntısı alınırsa buradan       
0
1
2
k
k
k
x
y
z


 
ilişkisine ulaşılır. Böylece 
2
0
1
,
,
k
x k
y k
z



  olarak seçmek en uygun olanıdır. Bu seçime 
göre artık  
2
2
2
1
0
2
2
2
2
dF
pxdx qydy rzdz
C
px
qy
rz
F








 
yazılarak, buradan 1.asal integral 
2
2
2
1
px
qy
rz
C



  olarak bulunur. 
2.asal  integrali  bulmak  için  bu  kez  daha  farklı  bir  düzen  oluşturalım.  Bu  kez 
, ,
x y z
değişkenine göre  
0
1
2
0
1
2
(
)
(
)
(
)
k qy k px z
k px k rz y
k rz k qy z





  yazılabilir. Buradan 
0
1
2
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
k qy k px
qy
px
k px k rz
rz
px
rz
qy
k rz k qy






 








 
olup ilk iki bağıntıdan hareketle  
                                     
0
1
2
k
k
k
px
qy
rz


 

28 
 
 
 
ilişkisi bulunur. Buradan en basit şekliyle 
0
1
2
,
,
k
px k
qy k
rz


  seçilir. Buna göre yapılacak 
düzenlemeyle  
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
0
1
1
1
1
2
2
2
2
dF
p xdx q ydy r zdz
F
p x
q y
r z
C
p x
q y
r z
C











 
şeklinde 2.asal integral de bulunmuş olur. Böylece sistemin genel çözümü  
2
2
2
1
2 2
2 2
2 2
2
px
qy
rz
C
p x
q y
r z
C










 
şeklinde ifade edilmiş olur. 
02.12. Mertebe Düşürmeye Dair Teorem.  
n. mertebeden bir normal sistemin bir asal integrali belirlenebilmiş ise, sistemin mertebesi bir 
mertebe  düşürülebilecektir.  Bunun  için  (2.11)  sistemini  göz  önüne  alalım. Sistemin  bir  asal 
integrali 
1
2
1
( , , ,..., )
n
G x y y
y
C

 
olur. Bunu değişkenlerden biri için, örneğin 
1
y   için çözelim : 
1
2
3
1
( , , ,..., , )
n
y
H x y y
y C

  olur.  Bu  sistemdeki  denklemlerde 
1
y   yerine  konarak  sistem 
yeniden düzenlenirse, sistemin mertebesi  (n-1)  olacaktır. Çünkü sistemdeki iki bağıntı lineer 
bağıntılı hale gelecektir. Öyleyse bunlardan biri atılarak sistem yeniden düzenlenirse, sistemin 
(n-1). mertebeden olduğu görülür. 
 
Örnek. 
dx
dy
dz
x
x z
z




 sistemini bu teoremden yararlanarak çözelim. Önce asal integrallerden birini 
bulalım. Bunun için  
dx
dz
x
z
 
 seçilerek, integre edilirse   
1
1
ln
ln
ln
C
x
x
C
z
x
 

 
 
olur ki, bu sistemin 1.asal integralidir. Şimdi ikinci bir bağıntı olarak     
dx
dy
x
x z


 
seçilmiş olsun. 1.asal integral burada yerleştirilerek 
1
2
1
(1
)
C
dx
dy
dy
dx
C
x
x
x
x


 

    olur. İntegre edilirse 

29 
 
 
 
1
2
C
y
x
C
x
 

  bulunur. 
1
C
z
x

 olduğundan,  böylece   
2
z y x C
  
   çözümüne ulaşılır ki 
bu da sistemin 2.asal integralidir. Demek ki sistemin çözümü 
1
2
xz C
z y z C


   

            şeklinde bulunmuş olacaktır. 
 
02.13 Sabit Katsayılı  Homojen Denklem Sistemleri 
Homojen  denklem  sisteminin  tanımı  02.09.alt-başlığı  ile  verilen  birimde  yapılmıştır.  Orada 
model olarak önerilen sistem yeniden göz önüne alınacaktır : 
 
 
        
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(2.14)
dx
a x b y c z
dt
dy
a x b y c z
dt
dz
a x b y c z
dt









 
Bu  tür  sistemlerin 
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0
x t
y t
z t



    dan  oluşan  bir  çözüm  takımı  vardır  ve  buna 
Aşikar Çözüm (Trivial Çözüm) denir. Ancak bu çözüm takımı keyfi sabitleri içermediğinden 
‘sistemin genel çözümü’ anlamına gelmemektedir. 
Bu açıklama ışığında, öyleyse yapılması gereken çalışma, sistemin genel çözümü olan aşikâr 
çözümden başkaca çözümlerinin varlığının araştırılması olacaktır. 
Burada incelenecek sistem,  özel olarak,  ‘sabit katsayılı’ olarak seçilmiştir.   Amaç bu tür bir 
sistemi incelemektir.  
Burada  
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, , ; , , ; , ,
a a a b b b c c c   sabit katsayılardır.  
Bu  tür  sistemler,  ilk  olarak  önerilen,  ‘türetme-yok  etme  yöntemi’  uygulanarak  da 
çözümlenebilir. Ancak bu yöntem yerine burada daha farklı bir yöntem önerilecektir. 
1
2
3
, ,
k k k   sabit  katsayılar  olmak  üzere  ,  (2.14) de  görülen  homojen  sistemin  çözüm  takımı  
1
2
3
,
,
t
t
t
x k e
y
k e
z
k e






    şeklinde seçilmiş olsun. Bunlar sistemdeki her denklemi özdeş 
olarak sağlamalıdır. 
1
2
3
,
,
t
t
t
dx
dy
dz
k e
k e
k e
dt
dt
dt









   
olup,  bunlar için sistem 
 
 
        
1
1 1
1 2
1 3
2
2 1
2 2
2 3
3
3 1
3 2
3 3
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
k e
a k e
b k e
c k e
k e
a k e
b k e
c k e
k e
a k e
b k e
c k e

































 
 şeklini alır. 

30 
 
 
 
 
 
        
1
1
1 2
1 3
2 1
2
2
2 3
3 1
3 2
3
3
(
)
0
(
)
0
(2.15)
(
)
0
a
k
b k
c k
a k
b
k
c k
a k
b k
c
k















 
sistemine ulaşılır. Buna ‘karakteristik sistem’ denir. Bu, cebirsel anlamda bir lineer-homojen 
denklem sistemidir. Açık olarak görülür ki bu sistemin 
1
2
3
0
k
k
k


  olan bir çözümü vardır 
ve  buna  ‘Aşikar  Çözüm’  denir.  Sistem 
1
2
3
, ,
k k k   için  düzenlendiğinden  bu  değerler  için 
çözüm  takımından 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



  sonucuna  ulaşılır.  Bu,  denklem  sisteminin  aşikâr 
çözümünden başkaca çözümlerinin olabilmesi koşulunun, sistemin katsayılar determinantının 
sıfıra  eşit  olması  demektir.  Buna  göre, 
( )


  ile  göstereceğimiz  bu  determinant  aşağıda 
görüldüğü gibi oluşacaktır: 
 
 
        
1
1
1
2
2
2
3
3
3
( )
0
(2.16)
a
b
c
a
b
c
a
b
c










 
Bu  ise 

  ya  göre  3.dereceden  bir  cebirsel  denklem  olup, 
, ,
A B C
  bu  denklemdeki  sabit 
katsayıları göstermek üzere; 
 
 
        
3
2
( )
0
(2.17)
A
B
C








 
 
olur. Buna ‘Karakteristik Denklem’ denir. Bu cebirsel denklem olup  
1
2
3
, ,
  
 gibi üç adet 
kökü  bulunacağını  varsayıyoruz.  Bunların  her  biri  için 
1
2
3
( )
( )
( ) 0




 
 
   olup,  her 
kök için karakteristik sistem yeniden düzenlenmelidir. 
( ) 0



  dan  bulunacak 
1
2
3
, ,
  
  kökleri  çeşitli  şekillerde  oluşabilir.  Bunlar  basit  kökler 
olabileceği  gibi,  çakışık  kökler  ya  da  kompleks  kökler  de  olabilecektir.  Bu  gibi  durumların 
her  birinde,  ilk  önerilen  çözüm  takımı,  uygun  şekilde  yeniden  düzenlenmelidir.  Bu 
düzenlemeler  yapılırken,  önceden  edindiğimiz  diferansiyel  denklemlere  ait  bilgiler  bize 
rehber olacaktır.  
Bundan  sonraki  çalışma  bu  köklerin  yapısıyla  doğrudan  ilgili  olduğu  için  onları  ayrı  alt-
başlıklar halinde inceleyeceğiz. 
 
02.13.01 Karakteristik Denklemin Basit Kökleri Olması Hali: 
( ) 0



  karakteristik  denkleminin 
1
2
3
, ,
  
  olarak  belirlediğimiz  kökleri,  basit  kökler 
olsunlar. Önceden belirtildiği gibi bunların her biri için 
1
2
3
( )
( )
( ) 0




 
 
  
olacaktır. Bu üç durum ayrı ayrı incelenmelidir. 
1
 
  için : 

31 
 
 
 
1
( )
( ) 0



 
  olup, (2.15) sistemi bunun için yeniden düzenlenirse, sistemin çözümünden 
bulunacak 
1
2
3
, ,
k k k   değerleri,  sırasıyla   
11
21
31
,
,
k k k   olsunlar. 

  nın  bu  değer  için  çözüm 
takımı 
1
1
1
11
21
31
,
,
t
t
t
x k e
y
k e
z
k e






olarak bulunur. 
2
 
  için : 
2
( )
( ) 0



 
  olup, (2.15) sistemi bunun için yeniden düzenlenirse, sistemin çözümünden 
bulunacak 
1
2
3
, ,
k k k   değerleri,  sırasıyla   
12
22
32
,
,
k k
k   olsunlar. 

  nın  bu  değer  için  çözüm 
takımı 
2
2
2
12
22
32
,
,
t
t
t
x
k e
y
k e
z
k e






olarak bulunur. 
3
 
  için : 
3
( )
( ) 0



 
  olup, (2.15) sistemi bunun için yeniden düzenlenirse, sistemin çözümünden 
bulunacak 
1
2
3
, ,
k k k   değerleri,  sırasıyla   
13
23
33
,
,
k k k   olsunlar. 

  nın  bu  değeri  için  çözüm 
takımı 
3
3
3
13
23
33
,
,
t
t
t
x
k e
y
k e
z
k e






 
olarak  bulunur.  (2.6)  da  belirtilen  çözüm  takımı  bu  şekilde  belirlenmiş  olup,  bunlar  için 
oluşturulacak 
( , , )
w w x y z

  Wronskieni 
0
   olacaktır.  Öyleyse  bunlar,  bu  sistemin  genel 
çözümünü  oluşturmak  için  yeterlidir. 
1
2
3
,
,
C C C   keyfi  sabitler  olmak  üzere  sistemin  genel 
çözüm ; 
 
 
         
 
şeklinde ifade edilir. 
Örnek. 
Konuyu önce basit bir örnek üzerinde inceleyelim. Seçtiğimiz sistem 
0
3
2
3
2
0
dx
dx
y
y
dt
dt
dy
dy
x
y
x
y
dt
dt


 
 









  







 
olsun.  Burada  iki  bilinmeyenle  iki  denklemli  bir  sistem  vardır.  Bu  sistemin  çözüm  takımı 
1
2
,
t
t
x k e
y
k e




 şeklinde önerilmiş olsun. Bunlar sistemi özdeş olarak sağlamalıdır. 
1
2
,
t
t
dx
dy
k e
k e
dt
dt






 
olup, sistem bunlar için düzenlenir ve de sadeleştirse, karakteristik sistem, 
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1 11
2 12
3 13
1 21
2 22
3 23
1 31
2 32
3 33
( )
( )
(2.18)
( )
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
c k e
c k e
c k e
y t
c k e
c k e
c k e
y t
c k e
c k e
c k e



















32 
 
 
 
1
2
2
2
0
3
(
2)
0
k
k
k
k










    olur.   
1
2
0
k
k

   sistemin aşikar çözümü olup bunlar için çözüm takımından  
( )
( ) 0
x t
y t


 bulunur ki, bu da diferansiyel denklem sisteminin aşikar çözümü olur.  
Sistemin diğer çözümlerini araştıralım. Bu amaçla, öncelikle karakteristik denklemi yazalım : 
2
1
( )
2
3 0
3
2









 

 
Çözüm 
1
2
1,
3


 
  verir. 
1
1

   için: 
1
( )
( )
( 1) 0



 
     olur. 
Sistem bu değer için düzenlenirse 
1
2
1
2
1
2
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
 


 




  olur. Keyfi olarak 
1
2
1
k
k

  seçilirse 
1

   için ilk çözüm takımı  
,
t
t
x e
y e




 olur. 
2
3

  için : 
2
( )
( )
(3) 0



 
 
  olur. Sistem bu değer için düzenlenirse :  
1
2
2
1
1
2
3
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
 


 

 

  olur  Keyfi  olarak 
1
1
k
   alınırsa 
2
3
k
    olup 
3

   için  ikinci 
çözüm takımı 
3
3
,
t
t
x e y
e

   olur. 
1
2
,
c c  keyfi sabitler olmak üzere sistemin genel çözümü  
3
1
2
3
1
2
3
t
t
t
t
x C e
C e
y C e
C e


 






      
olarak ifade edilecektir. 
Örnek. 
2
3
2
dx
x y z
dt
dy
x z
dt
dz
x y
z
dt
   
  

 
 
diferansiyel  denklemini  çözelim.  Bu  bir  lineer-homojen  denklem  sistemi  olup,  bunun  bir 
çözüm takımının 
1
2
3
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
x t
k e
y t
k e
z t
k e






 şeklinde olduğunu varsayalım. 
1
2
3
,
,
t
t
t
dx
dy
dz
k e
k e
k e
dt
dt
dt









  
olup bunlar birlikte diferansiyel  

33 
 
 
 
denklem sistemini özdeş olarak sağlarlar.  
Böylece 
1
1
2
3
1
2
3
2
1
3
1
2
3
1
2
3
3
1
2
3
2
(
2)
0
0
(
2)
0
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
k e
k e
k e
k e
k
k
k
k e
k e
k e
k
k
k
k
k
k
k e
k e
k e
k e


















 



  



 



 



   






     olur. 
Bu sistem (Karakteristik Sistem) 
1
2
3
0
k
k
k


  için sağlanır Bu sistemin aşikâr çözümüdür. 
Buna karşı gelen 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



 ise, diferansiyel denklem sisteminin aşikâr çözümüdür.  
Şimdi bundan başka çözümleri olup olmadığı araştırılmalıdır. Öncelikle 
2
2
1