Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

C e
C e
t
y t
C e
C e
t




 
 

 
 
2) 
'( )
0
'( )
1
x t
y
y t
x
 
    
 
Yanıt:  
1
2
1
2
( )
1
( )
t
t
t
t
x t
C e
C e
y t
C e
C e





 

 
3) 
''( )
''( )
x t
x
y t
y
 

  
 
Yanıt:  
1
2
3
4
( )
( ) 0 Aşikar çözüm
( )
cos
sin
( )
t
t
x t
y t
x t
C
t C
t
y t
C e
C e







 
4) 
''( )
2
''( )
2
x t
x
y t
y
 
   
 
Yanıt: 
1
2
3
4
1
2
3
4
( )
cos
sin
2
( )
cos
sin
2
t
t
t
t
x t
C e
C e
C
t C
t
y t
C e
C e
C
t C
t












 

40 
 
 
 
5)  
'( ) 7
'( )
2
6
2
'( )
2
5
x t
x y
y t
x
y
z
z t
y
z


  

 

 
Yanıt:
3
6
9
1
2
3
3
6
9
1
2
3
3
6
9
1
2
3
( )
( )
( ) 0 Aşikar çözüm
( )
2
2
( ) 2
2
( ) 2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
y t
z t
x t
C e
C e
C e
y t
C e
C e
C e
z t
C e
C e
C e












 
Aşağıdaki  diferansiyel  denklem  sistemlerinin  çözümlerini,  verilen  başlangıç  değerlerine 
uyacak şekilde bulunuz: 
 
1) Başlangıç koşulları : 
(0) 1; (0)
0
x
y


 
'( )
'( )
x t
x
y t
x y

 
   
 
Yanıt: 
( )
( ) 0 Aşikar çözüm
( )
; ( )
t
t
x t
y t
x t
e
y t
te




 
 
2) Başlangıç koşulları :  (0) 1; (0)
2
x
y

  
'( ) 3
'( ) 2
x t
x y
y t
x



   
 
Yanıt: 
( )
( ) 0 Aşikar çözüm
( )
; ( ) 2
t
t
x t
y t
x t
e
y t
e




 
 
Aşağıdaki sistemleri, asal integrallerini bularak çözünüz: 
1)  
dx
dy
dz
yz
zx
xy


 
 
Yanıt: 
2
2
1
2
2
2
2
2
x
y
C
x
y
z
C





 
2)  
dx
dy
dz
x z
y
x y z



  
 
Yanıt: 
1
1
2
ln
x
y
z
C
x
y C
y
C
  
 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
3.BÖLÜM 
 
SİSTEMLERİN İNCELENMESİNDE MATRİSLERİN KULLANILMASI 
 
 
03.01. Giriş 
Önceki  bölümde  diferansiyel  denklem  sistemlerinin  elemanter  anlamda  incelenmesine  yer 
verdik.  Hayli  ayrıntılardan  söz  ettik.  Ancak  biliyoruz  ki  bu  bilgiler  dahi  yerine  göre  yeterli 
olmuyor.  Bir  de  aynı  problemi  çok  daha  kolay  ve  hızlı  çözebilmenin  yol  ve  çareleri 
araştırılıyor.  İşte  bu  konu,  aynı  ya  da  farklı  türden  diferansiyel  denklemlerin  çözümünde 
matrislerin kullanılması esasına dayanmaktadır. Konu işlenirken okuyucunun yeterli düzeyde 
matris bilgisi olduğu varsayılmaktadır. Gerek matris cebiri ve gerekse matris analizi konuları 
kullanılırken,  gerek  görüldüğü  yerlerde  ve  metnin  baş  tarafında  matrisler  hakkında 
açıklamalar  yapılacaktır. Kuşkusuz bu konunun da ayrıntıları olacaktır. Onları da konu işle-
nirken göreceğiz. 
 
03.02. Bazı Tanımlar 
Tanım 1.  Birinci mertebeden bir diferansiyel denklem sisteminin normal biçimi 
 
 
 
1
1
1
2
2
1
1
( , ,..., ),
( , ,..., ),
( , ,..., ),
n
n
n
n
n
x
f t x
x
x
f t x
x
x
f t x
x
 
 
 

   
 
 
 
          
(3.1) 
ile  tanımlanır.  Burada, 
t
 bağımsız  değişken, 
1
{ ,..., }
n
x
x
 bağımlı  değişkenler  ve 
1
,...,
n
f
f
 
verilmiş fonksiyonlardır. 
Verilen  bir 
a t b
 
 aralığında 
t
nin  her  değeri  için  (3.1)  sistemini  sağla-  yan 
1
{ ,..., }
n
x
x
 
fonksiyonlarının  tümüne  birden  denklem  sisteminin  çözümü  denir.  Yani,  bu  fonksiyonlar 
sistemde yerine yazıldığında her  
t
 için özdeş olarak sağlanır. 
Sistem için başlangıç değer probleminden de söz edebiliriz. (3.1) sistemi ile birlikte 
a t b
 
 
aralığında bir 
0
t
 noktasında 
 
 
1
0
1,0
2
0
2,0
0
,0
( )
, ( )
,..., ( )
,
n
n
x t
x
x t
x
x t
x



 
 
      
 
 (3.2) 

42 
 
olarak,  n  tane  verilen  başlangıç  koşulları  tarafından  sağlanan  probleme,  sistemin  başlangıç-
değer problemi denir. . 
(3.1) sistemini ve (3.2) başlangıç koşullarını vektörel olarak, kısaca 
1
( )
( , ,..., ),
n
x t
f t x
x
 
0
0
( )
x t
x

 biçiminde yazabiliriz. Burada  
1
2
( )
,
n
x
x
x t
x
 
 
 

 
 
 

   
1
2
,
n
f
f
f
f
 
 
 

 
 
 

 
     
1
0
2
0
0
0
( )
( )
( )
n
x t
x t
x
x t














 
olarak  tanımladık. 
0
,
x
 n-bileşenli  reel  sayılar  kümesi 
n
R
de  bir  nokta  veya  vektör,  x(t)  ise 
vektör-değerli bir fonksiyon, yani 
n
R
 de bir eğri gösterir.  
Tanım 2. Bir diferansiyel denklem sisteminin boyutu, denklem sayısı olarak tanımlanır. (3.1) 
sistemi f nin yapısına bağlı olarak, lineer ya da lineer olmayan diye iki sınıfa ayrılır. Burada 
esas  olarak  lineer  sistemler  incelenecektir.  Eğer  f  vektör-değerli  fonksiyonu 
1
{ ,...., }
n
x
x
 
değişkenlerine göre lineer ise, sisteme birinci mertebeden lineer denklem sistemi denir. Aksi 
halde lineer olmayan bir sistemdir denir. Buna göre, birinci mertebeden lineer bir sistem 
 
 
 
1
1
11
1
1
1
2
2
21
1
2
2
1
1
( )
( )
...
( )
( ),
( )
( )
...
( )
( ),
( )
( )
...
( )
( ),
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x t
f
a t x
a t x
g t
x t
f
a t x
a t x
g t
x t
f
a t x
a t x
g t

 
 




 




 





  
  
 
(3.3)        
şeklinde yazılır. Bu sistem kısaca, aşağıdaki matrisler yardımıyla,  
( )
( ) ( )
( )
x t
A t x t
g t
 

 
olarak yazılabilir. Burada 
( )
g t
, 
1
n

sütun-vektör fonksiyonu ve 
( )
A t
, 
n n

   matris-değerli bir 
fonksiyondur. 
 
 
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
( )
( )
n
n
n
n
nn
a t
a t
a t
a t
a t
a t
A t
a t
a t
a t




















 
 
1
2
( )
( )
( )
( )
n
g t
g t
g t
g t














 . 
 
Tanım  3.  Eğer  (3.3)  sisteminde 
( ),
j
g t
 (
1,2,...,
j
n

)  fonksiyonları  özdeş  olarak  sıfır  ise 
sistem homojen, değilse homojen olmayan sistemdir. Ayrıca, 
( ),
ij
a t
(
1,2,..., ,
i
n

 
1,2,...,
j
n

) 
katsayıları sabit ise, sisteme sabit katsayılı lineer sistem adı verilir. Böyle bir sistem, matris 
gösterimi  ile   
x
Ax g
 

 olarak  yazılır.  Yüksek  mertebeden  bir  denklem  her  zaman  bir 
sisteme dönüştürülebilir.  
 

43 
 
Örnek . 
2.  mertebeden  lineer  ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
y t
p t y t
q t y t
r t





 diferansiyel  denklemini  2-boyutlu  bir 
sisteme dönüştürerek yazınız. 
1
,
x
y

 
2
1
x
x

   olarak tanımlanırsa 
2
1
2
1
( )
( )
( )
x
x
y
p t x
q t x
r t





 


 
yazılabilir. Yani, verilen denklem (3.1) sisteminin 
2
n

 ve  
1
2
,
f
x

 
2
2
1
( )
( )
( )
f
p t x
q t x
r t
 


 için özel biçimi olur. 
Genel olarak 
.
n
 mertebeden lineer 
 
 
 
( )
(
1)
1
1
( )
( )
( ) ...
( ) ( )
( ) ( )
( )
n
n
n
n
y
t
p t y
t
p
t y t
p t y t
r t




 


     
 
 (3.4) 
diferansiyel denklemi, birinci mertebe 
n

boyutlu bir sisteme dönüştürülebilir. 
Bunun için 
1
2
1
,
,...,
n
n
x
y x
x
x
x






   tanımlamaları yapılırsa sistem 
 
 
 
1
2
2
3
1
2
1
1 2
1
,
,
,
( ),
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
p x
p x
p x
r t



 
 
 
  





  
 
       
  
(3.5) 
biçimini alır. 
 
 
1
2
1
0
1
0
0
0
0
1
0
( )
,
n
n
A t
p
p
p
p




















  

 
0
0
( )
0
( )
g t
r t


















 
olarak tanımlanırsa, (3.5) sistemini 
( )
( ) ( )
( )
x t
A t x t
g t



 vektör biçiminde yazabiliriz. Yani, 
(3.5) sistemi, (3.3) sisteminin özel bir biçimi olur. Eğer 
( )
y t
, (3.4) denkleminin bir çözümü 
ise, o zaman      
 
 
 
1
2
( ), ( ),..., ( )
n
x t x t
x t
 
fonksiyonları (3.5) sistemini sağlar. Tersine, (3.5) sistemi (3.4) denklemine indirgenebilir. Bu 
geçiş yalnızca lineer denklemler için değil lineer olmayan 
.
n
 mertebe 
( )
( 1)
( , , ,...,
)
n
n
y
f x y y
y



 
         
denklemi  için  de  uygulanabilir.  Bu  durumda  denk  sistem  (3.1)  sisteminin  özel  bir  durumu 
olacaktır. 
 
 

44 
 
03.03. Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 
Sabit katsayılı bir lineer diferansiyel denklem sistemi;  ,
1, 2,..., ; ( )
i
i j
n x t

 ler birinci 
mertebeden türevi olan fonksiyonlar 
ij
a
 ve 
i
u
 ler reel sabit büyüklükler ve 
1
2
( )
( )
( )
,
( )
n
x t
x t
x t
x t














    
11
12
1
21
22
2
1
2
,
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a













 
1
2
,
n
u
u
u
u
 
 
 

 
 
 

 
1
2
( )
( )
( )
( )
n
f t
f t
f t
f t














 
olmak üzere 
 
 
 
( )
( )
( )
x t
Ax t
f t
 

   
 
 
   
                   
(3.6) 
veya daha açık bir formda ifade etmek istersek, 
 
1
11 1
12 2
1
1
2
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n n
n n
n
n
n
nn n
n
x t
a x t
a x t
a x t
f t
x t
a x t
a x t
a x t
f t
x t
a x t
a x t
a x t
f t



 




 




 









 
formunda bir sistemdir. 
03.04. Sabit Katsayılı  Lineer Homojen Diferansiyel Denklem Sistemleri  
( ) 0
f t

 ise (3.6) sistemi, lineer homojen diferansiyel denklem sistemi olarak isimlendirilir. 
Bu sistemin 
                                   
 
 
rt
x ue

 
 
 
 
 
 
(3.7) 
formunda  bir  çözümünü  araştıralım.  Bu  amaçla  (3.7)  yi  (3.6)  de  yerine  koyalım  ve 
düzenleyelim. 
( )
( )
x t
Ax t


 

 
rt
rt
ure
Aue

 

 
 
1
11
12
1
1
2
21
22
2
2
1
2
n
n
rt
rt
n
n
n
nn
n
u
a
a
a
u
u
a
a
a
u
re
e
u
a
a
a
u
 

 
 

 
 

 

 

 
 

 
 

 




  


 

 
 
1
11 1
12 2
1
2
21 1
22 2
2
1 1
2 2
n n
n n
n
n
n
nn n
u r
a u
a u
a u
u r
a u
a u
a u
u r
a u
a u
a u




 


 





 



 


 





 






 

 

45 
 
  
 
 






11
1
12 2
1
21 1
22
2
2
1 1
2 2
0
0
0
n n
n n
n
n
nn
n
a
r u
a u
a u
a u
a
r u
a u
a u
a u
a
r u



















   
 
               
(3.8) 
 
veya buna denk olmak üzere 


0
A rI u

  elde edilir. Burada 
,
I
 
n n

 boyutlu bir matristir. 
(3.8)  in   
1
2
0
n
u
u
u





’dan  farklı  bir  çözümünün  olması,  katsayılar  matrisinin 
determinantının sıfır olmasıyla olanaklıdır. 
 
 
 
11
12
1
21
22
2
1
2
0
n
n
n
n
nn
a
r
a
a
a
a
r
a
a
a
a
r




                
 
 
 
(3.9) 
 
Bu  determinant  açılırsa, 
r
 ye  göre  yazılmış 
.
n
 dereceden  bir  denklem  elde  edilecektir.  Bu 
denklemin 
1
2
, ,...,
n
r r
r  ile göstereceğimiz kökleri 
A
 matrisinin özdeğerleri olarak bilinir. 
i
r r

 değerini (3.8) de yerine koyalım ve burada bulunan  
1
2
, ,...,
n
u u
u
  değerleri ile oluşan 
u
 matrisini 
( )
i
u
 ile ve böylece elde edilen çözümü 
( )
( )
i
x t
 ile gösterelim : 
( )
( )
( )
i
r t
i
i
x t
u e

 
demektir. 
(1)
(2)
( )
( ),
( ),....,
( )
n
x
t x
t
x
t
 çözümlerinin  Wronski  determinantı  sıfırdan  farklı  olduğu  için 
bunlar  bir  temel  çözüm  takımı  oluştururlar.  (3.9)  un  katlı  kökü  yoksa 
( )
( )
x t
Ax t
 
’nin 
genel çözümü, 
1
2
(1)
(2)
( )
1
2
( )
,
,...,
n
r t
r t
r t
n
n
x t
c u e c u e
c u e

 
ile  verilir.  (3.9)’ün  köklerinin  bazıları  kompleks  sayı  ise  bunların  eşlenik-leri  de  köktür. 
(3.9)’ün  kökleri  tamamının  reel  ve  tek  katlı,  tamamının  reel  fakat  bazıları  çok  katlı, 
bazılarının  kompleks  olduğu  durumlarda  problemin  nasıl  çözüleceğine,  aşağıda  verilen 
örneklerde açıklık getirilecektir. 
03.05. Sabit Katsayılı Lineer Homojen Olmayan Diferansiyel Denklem Sistemleri 
Önce  lineer  homojen  diferansiyel  denklem  sistemi  çözülür.  Sonra  sağ  taraf  için  bir  özel 
çözüm bulunur. Bu iki çözümün toplamı genel çözümü verecektir. İki değişkenli hal için özel 
çözümün  nasıl  bulunacağı  aşağıda  ayrıntılı  olarak  anlatılmaktadır.  Daha  fazla  değişken  için 
genelleştirme kolayca yapılabilir. 
İki değişkenli sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklem sistemi 

46 
 
 
 
 
1
11 1
12 2
1
2
21 1
22 2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t
a x t
a x t
f t
x t
a x t
a x t
f t








 
formundadır. Sağ tarafsızın çözümü, 
 
 
 
1
1 11
2 12
2
1 21
2 22
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t
c x t
c x t
x t
c x t
c x t




 
ya da matrisyel olarak 
 
 
 
1
11
12
1
2
2
21
22
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t
x t
x t
x t
c
c
x t
x t
x t





















 
dir. 
1
( )
x t
 ve 
2
( )
x t
 nin bu değerleri sağ tarafsız sistemde, yani 
 
 
 
1
11 1
12 2
2
21 1
22 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x t
a x t
a x t
x t
a x t
a x t






 
de yerine konursa 








1 11
2 12
11
1 11
2 12
12
1 21
2 22
1 21
2 22
21
1 11
2 12
22
1 21
2 22
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
c x t
c x t
a c x t
c x t
a c x t
c x t
c x t
c x t
a c x t
c x t
a c x t
c x t














 
ve düzenlenirse 







