Prof. Yav Ksoy uz a cilt 2 Dİferansiyel denklemler

D
a
c k
a
c k
k
D
a
b
a
D
b











 
bulunur. Bunlar ise 
 
 
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
3
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
.
c
b
b
c
D
b
D
b
k
k
D
a
b
D
a
b
a
D
b
a
D
b
















 
 
 
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
.
D
a
c
D
a
a
c
a
k
k
D
a
b
D
a
b
a
D
b
a
D
b
















 
şeklinde de ifade edilebilirler ki buradan açık olarak, 
1
k  ve 
2
k  parametrelerinin 
3
k cinsinden ne 
şekilde ifade edilmiş olduğu görülmektedir. Determinantların tamamı sabit değerlerden ibarettir 
ki bu da ilişkilerdeki katsayıları oluşturacaktır. 
3
k  keyfi seçilerek, bu ilişki düzeni içinde 
1
k  ve 
2
k  değerleri 
3
k  parametresinin seçimine bağlı olarak değerlendirilmiş olur. Örneğin, keyfi bir 
değer olarak 
3
3
k

 olursa, buna göre 
1
1
2
2
,
k
k



  değerlerini almış olsun. Öyleyse çözüm 
takımı 
 
 
2
2
2
3
2
1
3
2
2
3
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
e
y
t
e
z
t
e












 
olarak belirlenecektir. 
Çözüm  takımlarının  belirlenmesi,  genel  çözümün  yazılabilmesini  gerekli  ve  olanaklı  kılar. 
Buna göre 
1
2
3
,
,
C C C  keyfi sabitler olmak üzere ; 

146 
 
 
 
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1
2
2
3
2
1
1 1
2 2
3
2
2
1 1
2 2
3
2
3
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
x t
C e
C
e
C
t
e
y t
C e
C
e
C
t
e
z t
C e
C
e
C
t
e





























 
yazılabilecektir. 
Çakışık kök olmasının daha genel hali 
 
 
3
1
( ) (
)
0
F D
D D
 



 
olmasıdır. Sistemimiz 
3
n
  için düzenlendiğinden, burada bütün kökler için katlılık hali söz 
konusudur.  Bu  durum  da  genel  çözümün  yazılabilmesi  için,  çözüm  takımlarının  ne  şekilde 
belirlenebileceğini tartışacağız. 
1
D D

 katlı 
köklerin 
ilki 
olup, 
1
( ) 0
F D

 dır. 
Bunun 
için 
sistem 
 
 
1
1
1
1
2
1
2
2
3
3
1
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D
a x b y c z
a x
D b y c z
a x b y
D
c z





  



 




 
olur. Bu önceden incelediğimiz türden bir sistem olup, aşikar çözümden başka çözümlerinin 
bulunabilmesi  koşulu,  katsayılar  determinantının  sıfıra  eşit  olmasıdır.  Bu  sistemin  ilk  iki 
denklemi 
 
 
1
1
1
2
1
2
0
D
a
b
a
D
b





 
olması koşuluyla, 
 
 
1
1
1
1
2
1
2
2
(
)
(
)
D
a x b y c z
a x
D b y c z




  


 
şeklinde düzenleyelim.  
 
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
;
;
D
a
b
c
b
D
a c
a
D
b
c
D
b
a
c














 
olarak alınırsa, bunlardan ve sistemden 
 
 
1
1
1
x
y
z





 
ilişkisi yazılabilecektir. 
1
D D

 için 
1
D t
e
çarpan olarak kullanılacağından, 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
D t
D t
D t
x
e
y
e
z
e






 
çözüm takımı bu şekilde bulunacaktır. 
1
D D

 çakışık  köklerin  ikincisi  olup  bunun  için  de 
1
( ) 0
F D

 dır.  Bu  kez 
1
1
1
, ,
  
 önceki 
çözüm takımında kullandığımız sabitler olmak üzere ; 
 
 
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t k e
y
t k e
z
t k e









 

147 
 
almak suretiyle düzenlenirse, uygulama açısından bazı kolaylıklar sağlanmış olacaktır. Burada 
t  lerin  katsayısı  olarak  sırasıyla  μ
1
,   

1
,    λ
1 
sayılarının  kullanıldığına  dikkat  edilmelidir.  Bu 
çalışmanın sonuçlarının ikinci çakışık kök için nasıl değerlendirildiğini bir önceki incelememiz 
sırasında gördük; bu ayrıntıyı burada yinelemiyoruz. Yukarıdaki benzerinin aynı sonuçlarını 
aynı yorumlarla alırsak, ikinci çözüm takımını 
 
 
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
e
y
t
e
z
t
e












 
şeklinde ifade etmiş oluruz. 
1
D D

çakışık  köklerin  üçüncüsü  ve  bu  modelimiz  için  sonuncusudur.  Bunun  için  de 
1
( ) 0
F D

 dır.  Bu  kez  öncekinden  de  farklı  bir  uygulamaya  girme  zorunluluğu  ortaya 
çıkacaktır.  Bu  kez  çözüm  takımını 
2
2
2
, ,
x y z  de  olduğu  şekilde  de  seçemeyiz.
1
2
3
,
,
m m m  
hesaplanması gerekli parametreler olmak üzere, yeni çözüm takımı ; 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
3
1
2
2
3
1
3
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
t m e
y
t
t m e
z
t
t m e















 
şeklinde seçilmelidir. Bu kez 
1
D t
e
nin katsayıları t ye göre ikinci dereceden çok terimlilerdir ve 
yine uygulamada bazı kolaylıklar sağlamak üzere t
2
 ve  t li terimlerin katsayıları, önceki çözüm 
takımlarındaki katsayılar olarak alınmıştır. 
Bunların türevleriyle sisteme gidilir ve gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılırsa, 
 
 
1
1
1
1
2
1
3
1
1 1
1
1
2
1
3
2
1 1
1
2
1
1
3
3
(
)
(
)
(
)
D
a m
b m
c m
a m
D b m
c m
a m
b m
D
c m












 





 

 
olur. Burada 
1
2
3
, ,
  
 ile 
1
2
3
,
,
m m m  sayılarının ve 
1
1
1
, ,
  
 sayılarının orantılı ilişkiler içinde 
oldukları  anlaşılır.  Bu  sistemdeki  bağıntıların,  lineer  bağımlı  oluşlarının  ortaya  koyduğu 
kaçınılmaz  bir  sonuçtur.  Bu  sistemin  katsayılar  determinantı 
1
( ) 0
F D

 dır.  Yani  m
1, 
m
2, 
m
3  
sayıları 
1
D D

 için 
, ,
x y z
 ile orantılı ilişkiler içinde demektir ve bu da yukarıdaki açıklamanın 
ışığında  değerlendirilmelidir.  Öyleyse 
1
2
3
,
,
m m m  parametreleri  bu  sistemden,  bir  lineer 
bağımlılık  ilişkisi  içinde,  tıpkı 
1
2
3
, ,
k k k  sabitlerinin  hesaplanmasında  olduğu  gibi 
hesaplanabilecektir. 
3
3
3
, ,
x y z  çözüm takımı da bu şekilde belirlenmiş olacaktır. Artık genel 
çözüm yazılabilecektir. 
 
Örnek. 
2
3
2
2
dx
x
y z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
y
dt

 




 




 

 
diferansiyel  denklem  sistemi,  normal-homojen  bir  sistem  olup,  bunun 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



aşikar çözümünden başka çözümleri bulunup bulunmadığını araştırmak istiyoruz. 

148 
 
 
d
D
dt

 
türev operatörü olmak üzere, 
 
 
(
1)
2
0
(
3)
2
0
2
0
D
x
y z
x
D
y
z
y Dz


 

    





 
şeklinde düzenlenir. 
 
 
2
(
1)
2
1
( )
1
3
2
(
2)(
1)
0
0
2
D
F D
D
D
D
D



 



 



 
olup buradan 
1
2
3
2,
1
D
D
D



 (iki katlı kök) bulunur. 
1
2
D D


 için : 
1
( )
( )
(2) 0
F D
F D
F



  dır. 
 Sistem 
1
2
D

 için : 
 
 
2
0
2
0
2
2
0
x
y z
x y
z
y
z

 

   





 
şeklinde bir cebirsel sisteme dönüşür. Bu bağıntılar, aralarında lineer bağımlıdır. Bunlardan 
 
 
x
y
z
  
 
ilişkisine  varılır. 
1
2
D
  için 
2t
e
çarpanı  kullanılacağından, 
2t
z e

 alınırsa  yukarıdaki  ilişki 
yardımıyla, 
 
 
2
2
2
1
1
1
;
;
t
t
t
x
e
y
e
z
e
 
 

 
bulunur. 
2
1
D D


 için : 
Bu  çakışık  (katlı)  köklerin  ilki  olup  bunun  için   
2
( )
(
)
(1) 0
F D
F D
F



 dır.  Bu  kök  için 
uygulama basit kökte olduğu gibi yapılacaktır. Sistem, 
 
 
2
0
2
0
2
0
y z
x y
z
y z

 

   


 

 
şeklini alır. Buradan, bağıntıların aralarında lineer bağımlı olmadıklarının bir sonucu olarak 
 
 
2
x
y
z

 
 
ilişkisine varılır. 
1
1
D

 için
t
e
çarpanı kullanılacağından, 
t
z
e

 alınırsa, 

149 
 
 
 
2
2
2
1
;
;
2
t
t
t
x
e y
e z
e
 
 

 
bulunur. 
3
1
D D


 için : 
Bu  çakışık  köklerin  ikincisidir.  Bunun  için  de 
3
( )
(
)
(1) 0
F D
F D
F


 dır.  Bu  kök  için 
hesaplar öncekinde olduğu gibi düzenlenemez. Bu kez, 
2
2
2
, ,
x y z  çözüm takımının katsayıları 
kullanılarak, çözüm takımı 
 
 
3
1
3
2
3
3
1
(
) ;
(
) ;
(
)
2
t
t
t
x
t k e y
t k e z
t k e
  
 

 
 
olarak  seçilmelidir.  Buradaki 
1
2
3
, ,
k k k  sabitler,  sistemi  sağlayacak  şekilde  hesaplanmalıdır. 
Önerilen çözüm takımını sisteme uygulayalım: 
 
 
1
2
3
1
2
3
2
3
1
(
1)(
)
2(
)
(
)
0
2
1
(
)
(
3)(
)
2(
)
0
2
1
2(
)
(
)
0
2
t
t
t
t
t
t
t
t
D
t k e
t k e
t k e
t k e
D
t k e
t k e
t k e
D t k e

  
 

 



  
















 
Gerekli işlemler ve sadeleştirmelerden sonra, 
 
 
2
3
1
2
3
2
3
2
1
1
2
2
2
2
1
k
k
k
k
k
k
k

 




 



 

 
sistemine  varılır.  Bu  elde  edilirken,  katsayılar  önceden  uygun  seçildiği  için  t  li  terimlerin 
(katsayıları sıfır olduğu için) ortadan kalktığına dikkat edilmelidir. Bu sistem gerçekte 
 
 
2
3
1
2
3
2
1
1
2
2
2
k
k
k
k
k

 





 

 
sisteminden ibarettir. Bunlardan, 
3
k  keyfi bilinmeyen seçilmek suretiyle 
 
 
1
3
2
3
1
1 1
;
2
2 2
k
k k
k
 
  
 
ilişkisi yazılabilir. 
3
k keyfi olarak 1 alınırsa ; 
 
 
1
2
3
1
,
1,
1
2
k
k
k
 
 

 
bulunur. Bu değerler için çözüm takımı 
 
 
3
3
3
1
1
(
) ;
(
1) ;
(
1)
2
2
t
t
t
x
t
e y
t
e z
t
e
  
 

 
 

150 
 
olarak belirlenir. 
Bu şekilde, her köke karşı gelen çözüm takımları belirlendiğine göre, 
 
 
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
( )
(
)
2
1
1
( )
(
1)
2
2
( )
(
1)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C e
C t
e
y t
C e
C e
C
t
e
z t
C e
C e
C t
e

 






 











 
yazılır. İstenirse bu sonuç 
 
 
2
1
2
3
3
2
1
2
3
3
2
1
2
3
3
1
( )
(
)
2
1
1
( )
(
)
2
2
( )
(
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C
C e
C te
y t
C e
C
C e
C te
z t
C e
C
C e
C te

 






 











 
şeklinde de düzenlenebilir. 
 
08.02.03. F(D)=0 Denkleminin Karmaşık Köklerinin Bulunması Hali: 
Yine aynı model sistemi kullanarak konuyu incelemeye çalışalım. Bu amaçla normal-homojen 
sistem  olarak  (2.14)  sistemini  göz  önüne  alalım.  Ancak  konuya  yaklaşımımız  operatörlerin 
kullanılması olduğu için sistemin (8.1) ile verilen şekli üzerinde çalışalım. Bu sistemde, (8.2) 
ile ifade edilen F(D)=0 denkleminin, D nin 3. dereceden bir cebirsel denklemi olarak olarak 
belireceğini biliyoruz. Diyelim ki bu denklemin, bir reel kökü yanısıra diğer iki kökü kompleks 
sayılardır.  Bunların  eşlenik  kompleks  kökler  olması  gerektiğini  biliyoruz.  Bu  denklem,  n. 
dereceden bir cebirsel denklem olsaydı, herhalde farklı ya da katlı olmak üzere daha çok sayıda 
kompleks  köklerin  varlığı  da  tasarlanabilirdi.  Burada  ortaya  koyacağımız  ilkeler,  çözüm 
aşamasında,  daha  genel  uygulamalar  için  bir  fikir  vermeye  yeterli  olacaktır. 
( ),
( ),
( )
x x t y
y t z
z t



olmak üzere,  
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D a x b y c z
a x
D
b y c z
a x b y
D
c z





  



 




 
sisteminin katsayılar determinantı  Δ=F(D)  ile gösterilirse 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
( ) 0
D a
b
c
a
D
b
c
F D
a
b
D
c

  







 
olması koşuluyla, 
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t



 aşikar çözümünden başkaca çözümlerinin varlığından 
söz edilebilecektir. 
F(D)=0 denklemi, köklerinden biri reel, diğer ikisi eşlenik kompleks kökler ise : 

151 
 
 
 
2
( ) (
)(
) 0
F D
D
D
D







  
şeklinde ifade edilebilir. Öyle ki burada  
2
4
0



  dır. Buradan kökler, 
 
 
2
1
2,3
1
;
4
.
2
2
D
D
i


 

 


 
olarak belirlenir. Eğer 
2
1
;
4
2
2
A
B

 
 


ile gösterilirse kompleks kökler 
2,3
D
A iB


şeklinde ifade edilmiş olur. 
Katlı  kökler  bulunmaması  nedeniyle,  uygulamaya  konuluşunda,  reel  ya  da  kompleks  kök 
oluşuna bakılmaksızın, önceden uygulandığı tarzda bir yol izlenmesini gerekir. 
1
D D



 için, 
1
( )
( ) 0
F D
F



 olup, sistem bunun için düzenlenirse, 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
a x b y c z
a x
b y c z
a x b y
c z








  



 




 
olur.  Bu  bir  cebirsel  sistem  olup,  ancak  katsayılar  determinantı  sıfıra  eşit  olduğundan,  bir 
Cramer  sistemi  değildir.  Öyleyse  bu  sistemdeki  bağıntılar  aralarında  lineer  bağımlıdır.  Bu 
şekilde  düşünülecek,  keyfi  seçilecek  bağıntılar  ve  bilinmeyene  göre  sistem  düzenlenerek, 
, ,
x y z
 arasındaki  ilişki  belirlendikten  sonra,  bu  çözümde  ℯ
λt
  çarpanının  da  kullanılacağı  ha-
tırlanarak, ilk çözüm takımı 
1
1
1
, ,
x y z  olarak bulunacaktır. 
 
 
2,3
D
D
A iB



 için de 
2,3
(
)
(
) 0
F D
F A iB



 
dır. 
Sistem bu kökler için düzenlenirse ; 
 
 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
[(
)
]
0
((
)
]
0
[(
)
]
0
A iB
a x b y c z
a x
A iB
b y c z
a x b y
A iB
c z






   



    


 
şeklini alır. Gerçekte bu (+) ve (-) sayılar için iki ayrı sistemi temsil etmektedir. Bu sistemdeki 
bağıntılar da aralarında lineer bağımlıdır. Yine lineer cebirin kurallarına uygun hareket edersek, 
buradan 
, ,
x y z
 arasındaki  ilişkiler  ayrı  ayrı  bulunur.  Unutulmamalıdır  ki  bu  ilişkilerden  biri 
(
)
A iB t
e

çarpanını; diğeri 
(
)
A iB t
e

 çarpanını kabul edecektir. Böylece bulunan çözüm takımları;